βραχυκύκλωμα Archives

Απόδειξη μαθηματικής ανισότητας με ηλεκτρικό βραχυκύκλωμα

1 Φεβρουαρίου 2022

Θεωρούμε το παρακάτω κύκλωμα τεσσάρων αντιστατών (δυο με αντίσταση α και δυο με αντίσταση b):

H ολική αντίσταση θα είναι R=(α+b)/2. Στη συνέχεια συνδέουμε τα σημεία P και Q του κυκλώματος κλείνοντας τον διακόπτη. Παρατηρούμε ότι το αμπερόμετρο δείχνει πως το ηλεκτρικό ρεύμα αυξήθηκε. Αυτό σημαίνει πως η νέα ολική αντίσταση του κυκλώματος μειώθηκε(*): R’=2αb/(α+b)≤R=(α+b)/2 (στην περίπτωση που α=b η ολική αντίσταση παραμένει η ίδια).

Έχουμε λοιπόν ότι αb≤(α+b)²/4, δηλαδή … αποδείξαμε την γνωστή ανισότητα μεταξύ γεωμετρικού και αριθμητικού μέσου δύο θετικών αριθμών α και b: $\sqrt{a \cdot b} \leq \frac{a+b}{2}$

Κι όχι μόνο. Από την R=(α+b)/2≥R’=2αb/(α+b) παίρνουμε: $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{(\frac{a+b}{2})(\frac{2ab}{a+b})} \geq \frac{2ab}{a+b}$ , δηλαδή την διπλή ανισότητα που εκτός από τον αριθμητικό και γεωμετρικό μέσο, περιλαμβάνει και τον αρμονικό μέσο των αριθμών α και b:

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a \cdot b} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$

Mπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω μέθοδο αποδεικνύοντας την γενικευμένη ανισότητα μεταξύ αριθμητικού και αρμονικού μέσου, θεωρώντας το παρακάτω κύκλωμα αντιστατών:

Η κάθε οριζόντια σειρά του παραπάνω κυκλώματος περιέχει τους αντιστάτες, α₁, α₂, …, α_n σε διαφορετική διάταξη κάθε φορά

Όπως προηγουμένως διαπιστώνουμε πειραματικά ότι η ολική αντίσταση του κυκλώματος, όταν όλοι οι διακόπτες είναι ανοιχτοί, είναι μεγαλύτερη από την ολική αντίσταση όταν όλοι οι διακόπτες είναι κλειστοί, και έτσι εύκολα καταλήγουμε στην ανισότητα:

$\frac{a_{1}+a_{2}+ \dots +a_{n}}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+ \frac{1}{a_{2}} + \cdots +\frac{1}{a_{n}}}$

(*) Αποδεικνύεται και θεωρητικά πως όταν σ’ ένα κύκλωμα προκαλούμε βραχυκύκλωμα (μετατρέποντας κάποιες διαδρομές με άπειρη αντίσταση σε μηδενική αντίσταση), τότε η συνολική αντίσταση του κυκλώματος μειώνεται.

Πηγή

Κατηγορίες:

Φυσική & Φιλοσοφία