Σωματίδιο παγιδευμένο σε πηγάδι δυναμικού απείρου βάθος

… ή ένα σωματίδιο μέσα σε μονοδιάστατο σωλήνα

Θεωρούμε ένα σωματίδιο μάζας m που βρίσκεται μέσα σε έναν πολύ λεπτό σωλήνα μήκους L, έτσι ώστε να κινείται χωρίς τριβές μόνο κατά την οριζόνται διεύθυνση του άξονα χ, σύφωνα με το παρακάτω σχήμα:

Τα άκρα του σωλήνα βρίσκονται στις θέσεις x=0 και x=L που είναι κλειστά και ακλόνητα. Η μόνη ενέργεια που μπορεί να έχει το σωματίδιο μέσα στον σωλήνα είναι η κινητική E=K=p²/2m – δεν υπάρχει δυναμική ενέργεια. Αν στο σωματίδιο δοθεί με κάποιο τρόπο οποιαδήποτε ταχύτητα, τότε αυτό θα κινείται ελεύθερα κατά μήκος του άξόνα χ, και θα ανακλάται ελαστικά προς την αντίθετη κατεύθυνση όταν θα φτάνει στα άκρα του σωλήνα.

Η συμπεριφορά του σωματιδίου σύμφωνα με την κλασική φυσική

Συνήθως το πρόβλημα αυτό αναφέρεται ως «σωματίδιο σε πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους» δεδομένου ότι η δυναμική ενέργεια του σωματιδίου είναι $U(x)=0$ για 0<x<L και $U(x)=\infty$ για x<0, x>L (αφού θεωρούμε πως όταν το σωματίδιο χτυπάει στα άκρα του σωλήνα η ταχύτητά του αναστρέφεται ακαριαία, δηλ. αποκτά ‘άπειρη’ επιτάχυνση ή δέχεται ‘άπειρη’ δύναμη).

Τίθενται δύο ερωτήματα: (α) Μπορεί το σωματίδιο να κινηθεί με οποιαδήποτε κινητική ενέργεια; (β) όταν το σωματίδιο κινείται, ποιά είναι η πιθανότητα να βρεθεί σε κάποια περιοχή του άξονα χ;

Το πρώτο ερώτημα είναι προφανές.Το σωματίδιο μπορεί να παραμένει ακίνητο ή να του δώσουμε με κάποιο τρόπο την κατάλληλη ώθηση και να κινηθεί με οποιδήποτε κινητική ενέργεια.

Για το δεύτερο ερώτημα μπορούμε να πούμε τα εξής: Εφόσον τα άκρα του σωλήνα είναι ακλόνητα, τότε η πιθανότητα να βρεθεί έξω από αυτόν είναι μηδέν. Όσον αφορά τα σημεία στο εσωτερικό του σωλήνα (0<x<L) υποψιαζόμαστε ότι η πιθανότητα να βρεθεί οπουδήποτε στο εσωτερικό πρέπει να είναι η ίδια.

Ας συμβολίσουμε με ΔP(x) την πιθανότητα το σωματίδιο να βρεθεί σε μια στοιχειώδη απόσταση Δx στο εσωτερικό του σωλήνα, από την θέση x έως την x+Δx. Επειδή τα σημεία είναι άπειρα, βολεύει να εισάγουμε την έννοια της πυκνότητας πιθανότητας ρ(x)=ΔP(x)/Δx (πιθανότητα ανά μονάδα μήκους). Τότε, αφού το σωματίδιο πηγαινοέρχεται συνεχώς με την ίδια ταχύτητα (οι κρούσεις με τα τοιχώματα στα άκρα είναι ελαστικές) η πιθανότητα το σωματίδιο να βρίσκεται στο στοιχειώδες διάστημα Δx θα είναι ΔP(x)=Δx/L ή ρ(x)Δx=Δx/L, οπότε ρ(x)=1/L.

Συμπεραίνουμε λοιπόν σύμφωνα με την κλασική φυσική ότι: (α) το σωματίδιο μπορεί να έχει όποιαδήποτε ενέργεια από 0 έως το άπειρο και (β) η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας να βρεθεί οπουδήποτε το σωματίδιο στο εσωτερικό του σωλήνα είναι ανεξάρτητη του x και ίση με 1/L. Όμως τι συμβαίνει στην πραγματικότητα; Αυτό θα μας το πει η κβαντική φυσική.

Η συμπεριφορά του σωματιδίου σύμφωνα με την κβαντική φυσική

Σύμφωνα με τον Louis de Broglie αφού τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα (φως) μπορούν να συμπεριφέρονται ως σωματίδια (φωτόνια) όπως έδειξε το Einstein με την ερμηνεία του φωτοηλεκτρικού φαινομένου, τότε και τα σωματίδια θα μπορούσαν να συμπεριφέρονται ως κύματα. Αν η εξίσωση της ενέργειας ενός φωτονίου $E=hf= hc/\lambda$ συνδυαστεί με την εξίσωση ισοδυναμίας μάζας – ενέργειας $E=mc^2$ προκύπτει για το μήκος κύματος $\lambda= h/mc= h/p$ , όπου p=mc η ορμή του φωτονίου. Ο de Broglie επέκτεινε τη σχέση μήκους κύματος – ορμής και στα σωματίδια, θεωρώντας την κίνηση σωματιδίου ισοδύναμη με “κύμα” μήκους κύματος: $\lambda=h/p$ . Πολλές φορές είναι βολική η έννοια του κυματαριθμού $k=2\pi/\lambda$ που γράφεται ως $k=p/\hbar$ , δεδομένου ότι $\hbar=h/2\pi$ .

Σύμφωνα λοιπόν με αυτή την πρωτόγονη κβαντική θεωρία το σωματίδιο (με κινητική ενέργεια Ε) στον μονοδιάστατο σωλήνα έχει κυματικές ιδιότητες και η συμπεριφορά του περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση $\psi(x)$ . Η κυματοσυνάρτηση υψωμένη στο τετράγωνο εκφράζει την πυκνότητα πιθανότητας $\rho(x)= \psi(x)^{2}$ , την πιθανότητα ανά μονάδα μήκους να βρεθεί το σωματίδιο σε κάποια περιοχή του άξονα χ. Όμως το σωματίδιο είναι αδύνατον να βγεί από το απειρόβαθο πηγάδι και όπως στην κλασική φυσική, η πιθανότητα να βρεθεί έξω από το διάστημα 0<x<L είναι μηδενική. Το ίδιο θα ισχύει και στα όρια $\psi(0)= \psi(L)=0$ , επομένως στο εσωτερικό θα έχουμε ένα στάσιμο κύμα μήκους κύματος λ, με δεσμούς στα άκρα του.

Σύμφωνα με την γνωστή θεωρία των στάσιμων κυμάτων, θα πρέπει: $L=n \frac{\lambda}{2}=n \frac{\pi \hbar}{p}$ όπου $n=1, 2, 3 \cdots \infty$ . Όμως $E=\frac{p^2}{2m}$ και συνδιάζοντας τις δυο τελευταίες εξισώσεις προκύπτει ότι η ενέργεια του σωματιδίου μέσα στον σωλήνα θα είναι: $E=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}n^{2}$ , με $n=1, 2, 3 \cdots \infty$ .

Συμπεραίνουμε λοιπόν σύμφωνα με την κβαντική φυσική ότι (α) το σωματίδιο δεν μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή στην κινητική του ενέργεια, αλλά συγκεκριμένες διακριτές τιμές και (β) Αφού η κυματοσυνάρτηση ως στάσιμο κύμα θα έχει την μορφή τριγωνομετρικής συνάρτησης, τότε η πυκνότητα πιθανότητας $\rho(x)= \psi(x)^{2}$ να βρεθεί οπουδήποτε το σωματίδιο στο εσωτερικό του σωλήνα δεν θα είναι σταθερή.

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση Schrödinger

Η κυματοσυνάρτηση υπακούει στην μονοδιάστατη (χρονοανεξάρτητη) εξίσωση του Schrödinger: $\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + E\psi(x)=0$ ή $\psi(x)'' + \frac{2mE}{\hbar^{2}} \psi(x)=0$ . Δεδομένου ότι $E=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}$ , η εξίσωση γράφεται στην απλούστερη μορφή: $\psi(x)'' + k^{2} \psi(x)=0$ . Εύκολα διαπιστώνεται ότι η $\psi(x)=A \sin(kx+\theta)$ είναι λύση της εξίσωσης. Χρησιμοποιώντας τις οριακές συνθήκες $\psi(0)= \psi(L)=0$ , παίρνουμε ότι $\theta=0$ και $\sin k L=0$ ή $k=n\pi/L$ , όπου $n=1, 2, 3 \cdots \infty$ . Αντικαθιστώντας το $k=n\pi/L$ στην $E=\frac{p^{2}}{2m}=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}$ , παίρνουμε ξανά την ενέργεια του σωματιδίου $E=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}n^{2}$ , ενώ η κυματοσυνάρτηση θα δίνεται από την εξίσωση: $\psi(x)=A \sin \frac{n \pi \,x}{L}$ , όπου $n=1, 2, 3 \cdots \infty$ .

ΑΡΘΡΑ

ΣΧΟΛΙΑ

Σωματίδιο παγιδευμένο σε πηγάδι δυναμικού απείρου βάθος