η ρωσική εμπειρία
Το βιβλίο αυτό δεν είναι διδακτικό εγχειρίδιο. Δεν είναι ένα βοήθημα για μαθηματικούς διαγωνισμούς. Δεν είναι ένα σύνολο από μαθήματα για διδασκαλία στην τάξη. Δεν παρουσιάζει μια σειρά από εργασίες για μαθητές, ούτε προσφέρει μια ανάπτυξη κάποιων μαθηματικών πεδίων για αυτομελέτη.
Τι είδους βιβλίο είναι αυτό;
Είναι ένα βιβλίο που έχει γραφτεί στο πλαίσιο μιας σημαντικής άτυπης εκπαιδευτικής παράδοσης της πρώην Σοβιετικής Ένωσης, η οποία ενθάρρυνε τη δημιουργία ομάδων μαθητών, δασκάλων και μαθηματικών, που ονομάζονταν «μαθηματικοί κύκλοι». Η βασική αντίληψη που το διέπει είναι ότι η μελέτη των μαθηματικών μπορεί να γεννήσει τον ίδιο ενθουσιασμό που προκαλεί και ένα ομαδικό άθλημα – χωρίς να είναι απαραίτητα ανταγωνιστική. Το βιβλίο απευθύνεται σε μαθητές και δασκάλους που αγαπούν τα μαθηματικά και θέλουν να μελετήσουν τους διάφορους κλάδους τους πέρα από τα στενά όρια του σχολικού προγράμματος. Είναι επίσης ένα βιβλίο ψυχαγωγικών μαθηματικών και, ταυτόχρονα, ένα έργο που περιέχει έναν τεράστιο πλούτο θεωρητικής ύλης και προβλημάτων σε βασικούς τομείς «εξωσχολικών μαθηματικών». Το βιβλίο βασίζεται στη μοναδική εμπειρία που έχουν αποκομίσει πολλές γενιές Ρώσων εκπαιδευτών και πανεπιστημιακών δασκάλων.
Υπάρχουν πολλά που μπορούν να ανακαλύψουν, να μάθουν και να απολαύσουν σε αυτό το έργο τόσο οι μαθητές όσο και οι δάσκαλοι… Οι ερασιτέχνες λάτρεις των μαθηματικών επίσης θα γοητευτούν από αυτό… Σε όλα τα κεφάλαια, η παρουσίαση και το ύφος γραφής είναι εξαίσια ελκυστικά και «ανάλαφρα», ακόμα κι όταν εξετάζονται πιο δύσκολα αντικείμενα. Σίγουρα έχει θέση σε κάθε σχολική και προσωπική βιβλιοθήκη. – Mathematical Reviews
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Πρόλογος στην ελληνική έκδοση vii
Πρόλογος xi
Πρόλογος στη ρωσική έκδοση xiii
Κεφάλαιο 0: Κεφάλαιο 0 1
Κεφάλαιο 1: Ισοτιμία 5
Κεφάλαιο 2: Συνδυαστική-1 11
Κεφάλαιο 3: Διαιρετότητα και υπόλοιπα 22
Κεφάλαιο 4: Η Αρχή του Περιστερώνα 37
Κεφάλαιο 5: Γραφήματα-1 46
Κεφάλαιο 6: Η τριγωνική ανισότητα 59
Κεφάλαιο 7: Παίγνια 66
Κεφάλαιο 8: Προβλήματα για τον πρώτο χρόνο 77
Κεφάλαιο 9: Επαγωγή 92
Κεφάλαιο 10: Διαιρετότητα-2: Ισοϋπολοιπικές σχέσεις
και διοφαντικές εξισώσεις 117
Κεφάλαιο 11: Συνδυαστική-2 133
Κεφάλαιο 12: Αναλλοίωτες ποσότητες 153
Κεφάλαιο 13: Γραφήματα-2 167
Κεφάλαιο 14: Γεωμετρία 188
Κεφάλαιο 15: Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 205
Κεφάλαιο 16: Ανισότητες 216
Κεφάλαιο 17: Προβλήματα για τον δεύτερο χρόνο 231
Παράρτημα Α: Μαθηματικοί διαγωνισμοί 252
Παράρτημα Β: Απαντήσεις, υποδείξεις, λύσεις 265
Παράρτημα Γ: Παραπομπές 343
Ακολουθεί ένα απόσπασμα από τον πρόλογο στην ελληνική έκδοση του Γιώργου Λ. Ευαγγελόπουλου:
Το παρόν κείμενο έρχεται να προσθέσει κάποιες σκέψεις στα δύο πολύ ενδιαφέροντα κείμενα που ακολουθούν, δηλαδή στον «Πρόλογο στη ρωσική έκδοση» και τον «Πρόλογο» (στην αμερικανική έκδοση) που έγραψε ο Mark Saul, τα οποία συνιστούμε θερμά στον αναγνώστη να διαβάσει με προσοχή.
Διότι μόνον έτσι θα καταλάβει πώς προέκυψε ο θεσμός των «Μαθηματικών Κύκλων» μέσα από μια συγκεκριμένη εκπαιδευτική λογική για τη μαθηματική παιδεία στην τότε ΕΣΣΔ. Αλλά και γιατί η American Mathematical Society (AMS), επιλέγοντας να εκδώσει αυτό το βιβλίο στα αγγλικά, το μακρινό 1996, ξεκίνησε ένα πείραμα που αφορούσε τη «μετεμφύτευση» στην αμερικανική μαθηματική κουλτούρα ενός θεσμού που προερχόταν από μια άλλη μαθηματική παράδοση. Ενός θεσμού του οποίου η λειτουργία στην Αμερική «υποστηρίχθηκε», στην αρχή, κυρίως από Ρώσους και Ανατολικοευρωπαίους (π.χ. Ούγγρους και Ρουμάνους) μαθηματικούς οι οποίοι μετά το τέλος του Ψυχρού Πολέμου μετακινήθηκαν στις ΗΠΑ και δίδαξαν σε αμερικανικά πανεπιστήμια, αλλά και από κάποιους Αμερικανούς εκπαιδευτικούς που είχαν πρωτοποριακές αντιλήψεις για το είδος και τους σκοπούς της μαθηματικής παιδείας στην πατρίδα τους –η οποία είναι σήμερα ηγέτιδα δύναμη στην επιστημονική και τεχνολογική ανάπτυξη παγκοσμίως–, οπότε είδαν το όλο θέμα με εξαιρετικό ενδιαφέρον. Περίπου 30 χρόνια μετά την έκδοση του ανά χείρας βιβλίου στα αγγλικά, στις ΗΠΑ ο θεσμός των «Μαθηματικών Κύκλων» έχει γνωρίσει εντυπωσιακή ανάπτυξη. Αν ρίξει κανείς, π.χ., μια ματιά στα βιβλία της σειράς «MSRI Mathematical Circles» της AMS, θα διαπιστώσει ότι αρκετά από αυτά δεν αποτελούν μεταφράσεις από τα ρωσικά αλλά έχουν γραφεί απευθείας στα αγγλικά και περιλαμβάνουν εξαιρετικής ποιότητας μαθηματική ύλη που αποτέλεσε αντικείμενο διδασκαλίας σε «Μαθηματικούς Κύκλους» σε διάφορα μέρη των ΗΠΑ. Ανάμεσα σε αυτά είναι και το δίτομο έργο των Zvezdelina Stankova και Tom Rike (επιμ.), A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience, Volume I (AMS, 2008) και A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience, Volume IΙ (AMS, 2014), γεγονός που δεν εκπλήσσει αφού ο θεσμός των «Μαθηματικών Κύκλων» γνωρίζει ιδιαίτερη άνθηση στην Καλιφόρνια. Από πλευράς μου θα ήθελα να προσθέσω, στη συνέχεια, δύο παραμέτρους που θεωρώ κρίσιμες για την κατανόηση του τρόπου λειτουργίας αυτού του θεσμού, οπότε και για την αξία του παρόντος βιβλίου.
Πρώτον, στους «Μαθηματικούς Κύκλους» στην τότε ΕΣΣΔ δεν είχαν πρόσβαση μόνον οι ταλαντούχοι στα Μαθηματικά μαθητές αλλά, αντιθέτως, είχε πρόσβαση όποιος το επιθυμούσε. Οι ταλαντούχοι «προέκυπταν» στην πορεία, μέσα από τη μαθηματική εκπαίδευση που έπαιρναν όσες και όσοι ήθελαν, χάρη στις διαλέξεις, τους μαθηματικούς διαγωνισμούς και τις συζητήσεις που διοργανώνονταν στο πλαίσιο των «Μαθηματικών Κύκλων». Όπως τονίζει ο André Toom στη βιβλιοκρισία που έγραψε για το ανά χείρας βιβλίο και δημοσιεύθηκε στο ακαδημαϊκό περιοδικό The American Mathematical Monthly (1997, τεύχος 104:5, σελ. 468471), στους ρωσικούς «Μαθηματικούς Κύκλους» δεν γινόταν κάποιο είδος επιλογής –και αυτή είναι η ειδοποιός διαφορά με τους «Μαθηματικούς Κύκλους» που διοργανώνονται σήμερα στις ΗΠΑ–, καθώς μπορούσε να συμμετάσχει σε αυτούς ο καθένας. Και συνεχίζει ως εξής: «Έτσι έκανα ο ίδιος σαράντα χρόνια πριν. Απλώς, πήρα το τρόλεϋ, πήγα στην παλαιά πανεπιστημιούπολη στο κέντρο της Μόσχας και άρχισα να παρακολουθώ ‘ανεπίσημες’ τάξεις στις οποίες δίδασκαν φοιτητές του Πανεπιστημίου της Μόσχας. Δεν υπέβαλα ‘επίσημη’ αίτηση, δεν πλήρωσα δίδακτρα, δεν βαθμολογήθηκα, όμως εκεί έγινα επαγγελματίας μαθηματικός» (ό.π., σελ. 468469).
Η πρώτη αυτή παράμετρος, την οποία μόλις επεσήμανα, έχει τη σημασία της για την ύλη του παρόντος βιβλίου. Το βιβλίο αποτελεί μια εξαιρετική συλλογή προβλημάτων αλλά ταυτόχρονα περιέχει και σημαντικές «οδηγίες» για όσους θα τα διδάξουν. Κανονικά, οι «Μαθηματικοί Κύκλοι» που έχετε μπροστά σας απευθύνονται σε μαθητές ηλικίας 1214 ετών, όμως, όπως παρατηρεί και ο André Toom (σελ. 470), το βιβλίο μπορεί να διαβαστεί από αναγνώστες οποιασδήποτε ηλικίας. Σκοπός του είναι να πάρει τον αναγνώστη από το χέρι και, μέσα από μια σειρά προβλημάτων, που ξεκινούν από απλούς γρίφους και φτάνουν μέχρι πολύ δύσκολα μαθηματικά προβλήματα, να τους μάθει πριν απ’ όλα να σκέπτονται «αυτονόμως» και δημιουργικά, δηλαδή να χρησιμοποιούν τις θεωρητικές τους γνώσεις για να προσπαθήσουν να λύσουν προβλήματα «μη καθιερωμένου τύπου» ή αλλιώς «μη τετριμμένα προβλήματα» (συνήθως προβλήματα «Μαθηματικών Ολυμπιάδων» και λοιπών μαθηματικών διαγωνισμών, γραπτών ή προφορικών).
Είναι χαρακτηριστική η διαφωνία του Toom ακόμα και με τους συγγραφείς του βιβλίου, οι οποίοι θεωρούν ότι το αρχικό κεφάλαιο, δηλαδή το «Κεφάλαιο 0», που περιλαμβάνει προβλήματα τα οποία απευθύνονται σε μαθητές 10-11 ετών, δεν έχει κατ’ ουσία μαθηματικό περιεχόμενο. Χαρακτηρίζει αφελή αυτόν τον ισχυρισμό, καθώς πιστεύει ότι η επίλυση των προβλημάτων αυτού του κεφαλαίου «προϋποθέτει την πιο θεμελιώδη ικανότητα, την ικανότητα για αφαιρετική σκέψη» (ό.π., σελ. 471).
Μάλιστα, δίνει ως παράδειγμα το πρώτο πρόβλημα του «Κεφαλαίου 0», το οποίο έχει ως εξής: «Ένας αριθμός βακτηρίων τοποθετούνται σε έναν δοκιμαστικό σωλήνα. Ένα δευτερόλεπτο αργότερα το κάθε βακτήριο διαιρείται σε δύο βακτήρια, στο επόμενο δευτερόλεπτο καθένα από τα βακτήρια που έχουν προκύψει διαιρείται και πάλι σε δύο, κ.λπ. Μετά από ένα λεπτό, ο σωλήνας έχει γεμίσει. Πότε ήταν ακριβώς μισογεμάτος;».
Η απάντηση έχει ως εξής: Αν σκεφτούμε αντίστροφα, καταλαβαίνουμε ότι, αν ο σωλήνας είναι γεμάτος μετά από 60 δευτερόλεπτα, θα πρέπει να είναι μισογεμάτος ένα δευτερόλεπτο νωρίτερα. Δηλαδή, μετά από 59 δευτερόλεπτα.
Εντούτοις, όπως σημειώνει ο Toom στη βιβλιοκρισία του, ορισμένοι μαθητές απαντούν ότι μισογεμάτος θα είναι ο σωλήνας μετά από μισό λεπτό, εκλαμβάνοντας, συνειδητά η ασύνειδα, την αύξηση ως γραμμική. Κι όμως, λέει ο Toom, αυτό το πρόβλημα δείχνει πόσο πολύ διαφέρει η εκθετική αύξηση από τη γραμμική.
Αναφερόμενος, τώρα, στη δομή που έχουν οι ενότητες των προβλημάτων και στον τρόπο που πρέπει ο διδάσκων να χρησιμοποιεί τα προβλήματα για να μεγιστοποιεί την αποτελεσματικότητα της διδασκαλίας του, ο Toom εφιστά την προσοχή μας σε μια πολύ σημαντική, κατά την άποψή του, έννοια, την οποία αποκαλεί «μεταφορά της εξάσκησης» (transfer of training): «Ας φανταστούμε το σύνολο όλων των πιθανών προβλημάτων ενός κλάδου των Μαθηματικών ως έναν μετρικό χώρο. Κάθε χωριστό πρόβλημα είναι ένα σημείο αυτού του χώρου και όμοια προβλήματα βρίσκονται κοντά το ένα στο άλλο. Συζητώντας ένα πρόβλημα με τους μαθητές μας, καλύπτουμε μια σφαίρα στης οποίας το κέντρο βρίσκεται το πρόβλημα, ενώ η ακτίνα της ισούται με την ικανότητα των μαθητών μας να μεταφέρουν την εξάσκησή τους από αυτό το πρόβλημα σε όμοια προβλήματα. Ο σκοπός μας είναι να καλύψουμε τον μέγιστο δυνατό χώρο με αυτές τις σφαίρες. Είναι η μεταφορά της εξάσκησης δυνατή; Για τους συγγραφείς των Κύκλων, για μένα, και για όλους όσοι έχουμε διδάξει με αυτό τον τρόπο, η απάντηση είναι προφανής: “Ναι, φυσικά, η μεταφορά της εξάσκησης είναι δυνατή και συνδέεται στενά με μια άλλη πολύτιμη ανθρώπινη ικανότητα, τη γενίκευση”» (ό.π., σελ. 469). Σε αυτή την παράγραφο συμπυκνώνεται
παραστατικά και μάλλον πλήρως η όλη λογική του τρόπου διδασκαλίας των προβλημάτων στο πλαίσιο των «Μαθηματικών Κύκλων». (…)
