μαθηματικά (13 άρθρα)

Τα μαθηματικά μέσα από αποφθέγματα

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Σχετικά με τα Μαθηματικά

“Τα μαθηματικά διαθέτουν όχι μόνον αλήθεια, αλλά και ανώτερη ομορφιά […]  τόση όση μόνον η πιο μεγαλιώδης τέχνη μπορεί να επιδείξει.”
– BERTRAND  RUSSELL

“Τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών και η αριθμητική είναι η βασίλισσα των μαθηματικών.”
– CARL  FRIEDRICH  GAUSS

“Ο Αρχιμήδης θα παραμένει στη μνήμη των ανθρώπων όταν ο Αισχύλος θα έχει ξεχαστεί, επειδή οι γλώσσες πεθαίνουν ενώ οι ιδέες των μαθηματικών όχι.”
– G. H.  HARDY

“Εκείνος που κατανοεί τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιο, θαυμάζει λιγότερο τις επινοήσεις των νεότερων μεγάλων ανδρών.”
– G. W.  LEIBNIZ

“Στη βάση όλων των μαθηματικών βρίσκεται η καθαρή θεωρία συνόλων.”
– ANDREI  KOLMOGOROV

“Η έμπνευση στη γεωμετρία είναι το ίδιο απαραίτητη, όσο και στην ποίηση.”
– ΠΟΥΣΚΙΝ

“Οι αριθμοί κυβερνούν το σύμπαν.”
– ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ

“Η φιλοσοφία είναι καταγεγραμμένη σε αυτό το τεράστιο βιβλίο – εννοώ το Σύμπαν – που βρίσκεται συνέχεια μπροστά μας. Δεν μπορούμε όμως να το κατανοήσουμε, εκτός αν καταλάβουμε τη γλώσσα του και ερμηνεύσουμε τα στοιχεία με τα οποία έχει γραφεί.
Είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών και τα στοιχεία του είναι τα τρίγωνα, οι κύκλοι και τα άλλα γεωμετρικά σχήματα, χωρίς τα οποία είναι ανθρωπίνως αδύνατο να γίνει κατανοητή έστω και μία λέξη.”

– GALILEO  GALILEI

“Η γνώση στην οποία στοχεύει η γεωμετρία είναι η γνώση του αιώνιου.”
– ΠΛΑΤΩΝΑΣ

“Δικαιούμαστε να χαρακτηρίσουμε τέλεια μια μαθηματική θεωρία μόνο όταν μπορούμε να την εξηγήσουμε σχεδόν σε κάθε άνθρωπο.”
– DAVID  HILBERT

Τι είναι τα Μαθηματικά;

“Τι είναι λοιπόν τα Μαθηματικά;  Φαίνεται ότι έχουμε τρεις επιλογές:
Τα Μαθηματικά είναι η ανθρωπιστική επιστήμη που υμνεί την αιώνια λογική.
Είναι η φυσική επιστήμη που μελετά το φαινόμενο λογική.
Είναι η τέχνη που πλάθει μορφές αιθέριας ομορφιάς από πρώτη ύλη που ονομάζεται λογική.
Είναι όλα αυτά και άλλα. Πάνω απ’ όλα, όμως, μπορώ να σας διαβεβαιώσω ότι τα Μαθηματικά είναι ευχαρίστηση.”
– W. T. TUTTE

 



“Τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα που χρησιμοποιεί ο εγκέφαλός μας, για να επικοινωνήσει με τον εαυτό του.”
                                                                                                                                                –  GRACIELLA  CHICHILNISKY


“Η ουσία των Μαθηματικών είναι η αλήθεια.”
                                                                                                                                                                       –  GEORG  CANTOR

“Τα Μαθηματικά είναι το αντικείμενο για το οποίο ποτέ δεν ξέρουμε για τι μιλάμε, ούτε αν αυτό που λέμε είναι αλήθεια.”
– BERTRAND  RUSSELL

“Εκείνο το υλικό που μερικές φορές είναι διαυγές … και μερικές φορές ασαφές … είναι … τα μαθηματικά.”
– IMRE  LAKATOS

Περιοχές των Μαθηματικών


“Η Άλγεβρα είναι γεναιόδωρη. Συχνά δίνει περισσότερα από όσα της ζητούνται.”

– D’ ALEMBERT

“Ο κάθε ανόητος μπορεί να κάνει ερωτήσεις σχετικά με τους πρώτους, που και ο σοφότερος μαθηματικός δεν θα μπορεί να απαντήσει.”
– G. H.  HARDY

“Ένα πρόβλημα της θεωρίας αριθμών είναι εξίσου διαχρονικό μ’ ένα αληθινό έργο τέχνης.”
– DAVID  HILBERT


“Η έννοια, η οποία είναι πραγματικά θεμελιώδης, που αποτελεί τη βάση και διεισδύει σε όλη τη μοντέρνα Ανάλυση και Γεωμετρία, είναι αυτή της φανταστικής ποσότητας στην Ανάλυση και του φανταστικού χώρου στη Γεωμετρία.”

– ARTHUR   CAYLLEY

“Σύμφωνα με τον Leibniz, ζούμε στον καλύτερο δυνατό κόσμο. Γι’ αυτό το λόγο οι νόμοι του είναι δυνατόν να περιγραφούν από αρχές ακροτάτων.”
– C. L. SIEGEL

“Αποστρέφομαι με φόβο και φρίκη την αξιοθρήνητη κακία των συναρτήσεων που δεν έχουν παραγώγους.”
– CHARLES  HERMITE

“Ενώ η Ανάλυση ενδιαφέρεται για ολόκληρα μεταλλεία, η Γεωμετρία ψάχνει για τις ωραίες πέτρες.”
– S. S.  CHERN

“Στον κόσμο δεν συμβαίνει τίποτε του οποίου η σημασία να μην συμπίπτει με εκείνη κάποιου μεγίστου ή ελαχίστου.”
– LEONARD  EULER

“Αν κολλήσετε σε ένα πρόβλημα Απειροστικού Λογισμού και δεν ξέρετε τι άλλο να κάνετε, δοκιμάστε να ολοκληρώσετε κατά μέρη ή να κάνετε αλλαγή μεταβλητών.”
– JERRY  KAZDAN

“Όταν μια ποσότητα είναι μέγιστη ή ελάχιστη, εκείνη τη στιγμή η ροή της ούτε αυξάνεται ούτε ελαττώνεται.”
– I.  NEWTON

“Το ζήτημα που τίθεται σε κάθε επιστημονική εργασία είναι τούτο:
μαγεία  ή  γεωμετρία.”

– RENE  THOM

“Η εκθετική συνάρτηση ταυτίζεται με την παράγωγό της
Αυτή είναι η πηγή όλων των ιδιοτήτων της εκθετικής συνάρτησης και ο κύριος λόγος της μεγάλης σημασίας που έχει στις εφαρμογές.”

– R. COURANT    H. ROBBINS

“Νομίζω ότι [η θεωρία του Cantor] είναι ένα από τα σπουδαιότερα δείγματα ανθρώπινης  ευφυΐας και ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της ανθρώπινης δραστηριότητας.”
– DAVID  HILBERT

“Κανείς δεν θα μας εκδιώξει από τον παράδεισο που δημιούργησε ο Cantor για μας.”
– DAVID  HILBERT

Πίνακας με μαθηματικές εξισώσεις

Η μάθηση στα Μαθηματικά


“Όταν ήμουν μικρός, κόμπαζα για το πόσο πολλές σελίδες διάβαζα σε μία ώρα. Στο κολέγιο έμαθα πόσο βλακώδες ήταν αυτό. Το να διαβάζεις δέκα σελίδες μαθηματικά την ημέρα μπορεί να είναι ένας εξαιρετικά γοργός ρυθμός. Ακόμα και μία σελίδα, όμως, μπορεί να είναι αρκετή.”

– WILLIAM THURSTON

“Το ξεκίνηµα της άλγεβρας το βρήκα πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας.
Έπρεπε να αποστηθίσω: ‘το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους’.
Δεν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µου πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι µου, πράγµα που δεν διέγειρε µε κανένα τρόπο τη νόηση µου.”

– BERTRAND  RUSSEL

“Ένα μαθηματικό πρόβλημα πρέπει να είναι αρκετά δύσκολο ώστε να μας κινητοποιεί. Όχι όμως απρόσιτο, ώστε να βρίσκεται πέρα από τις δυνατότητές μας. Πρέπει να λειτουργεί ως οδηγός στα δαιδαλώδη μονοπάτια της κρυμμένης αλήθειας και ως υπόμνηση της χαράς μιας επιτυχούς λύσης.”
– DAVID  HILBERT

Γιατί ασχολούμαστε με τα Μαθηματικά;


“Όποιος τα αγνοεί [τα μαθηματικά] δεν μπορεί να γνωρίσει τις άλλες επιστήμες ούτε και τα αντικείμενα του κόσμου μας …  Και το χειρότερο είναι ότι οι άνθρωποι που τα αγνοούν δεν συνειδητοποιούν την ίδια τους την άγνοια και επομένως δεν προσπαθούν να τη θεραπεύσουν
.
– ΡΟΓΗΡΟΣ  ΒΑΚΩΝ

“Η ζωή είναι ευχάριστη για δύο μόνο λόγους:
για την ανακάλυψη στα Μαθηματικά και για τη διδασκαλία των Μαθηματικών
.
– SIMEON  POISSON

“Όταν ήμουν 11 χρονών άρχισα να διαβάζω τα Στοιχεία του Ευκλείδη… Αυτό ήταν ένα από τα μεγάλα γεγονότα στη ζωή μου, τόσο εκτυφλωτικό όσο και ο πρώτος έρωτας. Δεν είχα ποτέ φανταστεί ότι υπήρχε κάτι τόσο γοητευτικό στον κόσμο.
– BERTRAND  RUSSEL

_______________________

Πηγή: birbakos.gr

Κατηγορίες:
Και κάτι άλλο...

«Έτσι ερωτεύτηκα τα μαθηματικά», του Απόστολου Δοξιάδη (συγγραφέα του Logicomix)

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Απόσπασμα από το νέο βιβλίο του Απόστολου Δοξιάδη «Ερασιτέχνης επαναστάτης» (Πρώτο μέρος, Κεφ. 5, σελ. 224 – 226), Εκδόσεις Ίκαρος, Δεκέμβριος 2018.

[…] Ξεκινώ από την παρατήρηση ότι δεν είναι για όλους ίδιος ο δρόμος που φτάνει στην τέχνη του Πυθαγόρα και του Ευκλείδη. Άλλοι αποφασίζουν να ασχοληθούν με τα μαθηματικά επειδή τους έρχονται εύκολα, άλλοι επειδή τους μαγνητίζουν ως διανοητικά προβλήματα, σαν σπαζοκεφαλιές ας πούμε, ενώ κάποιοι, όχι οι περισσότεροι νομίζω, επειδή αποκτούν μαζί τους, όπως απέκτησα κι εγώ, μια έντονη συναισθηματική σχέση. Η τελευταία αυτή κατηγορία εκδηλώνει όλα τα συμπτώματα του έρωτα, και μάλιστα του εφηβικού – αφού κατά κανόνα σε αυτή την εποχή της ζωής εμφανίζεται ο έρωτας για τα μαθηματικά. Έτσι κι εγώ, όπως όλοι οι παθιασμένοι εραστές κάθε λογής, έβλεπα στο αντικείμενο του πάθους μου ανυπέρβλητη ομορφιά. Και, καθώς ήμουν φύση ρομαντική – θα μου πείτε, δεν είναι, έστω πρόσκαιρα, ο κάθε ερωτευμένος; –, αυτή την ομορφιά δεν την έβλεπα για ανθρώπινη, γήινη, αλλά σαν ακτινοβολία ενός άλλου κόσμου.

Αυτού του τύπου την ομορφιά στα μαθηματικά τη γεύτηκα αρχικά, σε μικρότερες δόσεις, σε κάποιες σπουδαίες αποδείξεις που μελέτησα, όπως των Πυθαγορείων για το γεγονός ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα ακεραίων ή του Ευκλείδη για την απειρία των πρώτων αριθμών. Αντιδρώντας στην ομορφιά της μεγάλης ποίησης, ένιωθα ένα ρίγος συγκίνησης. Εδώ πήγαινα παραπέρα. Σε εκείνο το κλάσμα του δευτερολέπτου που συνειδητοποιούσα την απόλυτη αλήθεια της απόδειξης –πάντα είναι ένα κλάσμα του δευτερολέπτου, έστω κι αν έρθει ύστερα από ώρες συνειδητού κόπου– ένιωθα μέσα μου ένα ρίγος που την υφή του δεν μπορώ να τη βάλω σε λόγια. Ήταν μια κατάσταση στην οποία δεν είχα ξαναβρεθεί στη ζωή μου, που επιπλέον ήταν εθιστική: κάθε νέο ρίγος που μου δημιουργούσε ένα θεώρημα με έκανε να αποζητώ περισσότερα παρόμοια.

Αριστερά: Οι Nicolas Bourbaki (Dieulefit, 1938). Από αριστερά προς τα δεξιά, Charles Pisot, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chabauty, Charles Ehresmann, Jean Delsarte. Στην άκρη αριστερά η φιλόσοφος Simone Weil. (Πηγή φωτογραφίας: Wikipedia). Δεξιά: «Το πέρασμα από το υπερσύνθετο στο πολύ απλό και από εκεί πάλι προς τα πάνω, στην κατασκευή του υπερσύνθετου, έτσι όπως παρουσιάζεται στη ‘‘Θεωρία των Συνόλων’’, μου φάνηκε ότι κινούνταν στα όρια της μαγείας, μιας μαγείας όμως αληθινής, όχι σαν των ταχυδακτυλουργών», γράφει ο Απόστολος Δοξιάδης. (Στη φωτογραφία η έκδοση του βιβλίου «Θεωρία των Συνόλων» είναι του 1970).

Το απόγειο της αίσθησης της υπερβατικής ομορφιάς των μαθηματικών το άγγιξα για πρώτη φορά σε ένα βιβλίο στην Αθήνα, προτού πάω στο Κολούμπια. Το είχα βρει στα ράφια του ξενόγλωσσου τμήματος του παλιού Ελευθερουδάκη, και με είχε τραβήξει το όνομα του συγγραφέα: Νικολά Μπουρμπακί. Το αγόρασα βέβαιος ότι το παράξενο όνομα δήλωνε κάποιον άγνωστό μου συμπατριώτη, σπουδαίο μαθηματικό που σταδιοδρομούσε στη Γαλλία –αφού το βιβλίο ήταν στα γαλλικά–, σύντομα όμως έμαθα ότι άνθρωπος με αυτό το όνομα δεν υπήρχε. Ήταν το συλλογικό ψευδώνυμο μιας ομάδας σπουδαίων μαθηματικών, όλων Γάλλων, με μονάχα ένα ξένο μέλος στην αρχή: τον Σάμιουελ Άιλενμπεργκ. Το βιβλίο λεγόταν Θεωρία των Συνόλων, την οποία μέσα στην τύφλα μου νόμιζα ότι ήξερα. Όμως, αρχίζοντας να διαβάζω το βιβλίο, κατάλαβα ότι παρουσίαζε κάτι που ήταν εντελώς άγνωστο. Στις πρώτες του σελίδες, που λόγω της εννοιολογικής τους πυκνότητας μου πήραν μέρες να τις καταλάβω, διάβασα με δέος την αναγωγή της θεωρίας σε κάποια στοιχειώδη αξιώματα και, μέσα από αυτό το χτίσιμο, από κάτω προς τα πάνω, ολόκληρου του λογικού της οικοδομήματος – κάτι αντίστοιχο, δηλαδή, με αυτό που είχε κάνει πριν από είκοσι τρεις αιώνες ο Ευκλείδης για τη γεωμετρία, αλλά εδώ σε ένα επίπεδο διανοητικής αφαίρεσης πολύ πιο υψηλό, και γι’ αυτό ασύγκριτα πιο γοητευτικό.

Το πέρασμα από το υπερσύνθετο στο πολύ απλό και από εκεί πάλι προς τα πάνω, στην κατασκευή του υπερσύνθετου, έτσι όπως παρουσιάζεται στο βιβλίο των –και όχι του– Νικολά Μπουρμπακί, μου φάνηκε ότι κινούνταν στα όρια της μαγείας, μιας μαγείας όμως αληθινής, όχι σαν των ταχυδακτυλουργών. Στη μαγεία των μαθηματικών, όπως τη βίωσα τότε, είδα την υπόσχεση για την αποκάλυψη της πεμπτουσίας της αλήθειας. Είχα την αίσθηση ότι, προχωρώντας κι άλλο στη μελέτη τους, αργά ή γρήγορα θα αντίκριζα το Απόλυτο. Και αυτό, πέρα από την ομορφιά του, θα ήταν γιατρικό για κάθε ψυχικό μου βάσανο, ακόμα και για τον φόβο του θανάτου.[…]

Σημ. 1: Ο Απόστολος Δοξιάδης, με «όχημα» μια εργασία του με μαθηματικό θέμα, έγινε δεκτός, στα 15 του χρόνια, στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια της Νέας Υόρκης για να σπουδάσει μαθηματικά, προσκεκλημένος από τον Σάμιουελ Άιλενμπεργκ, «τον πατέρα της Θεωρίας των Κατηγοριών, η οποία μεταμόρφωσε τα μαθηματικά στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα» («Ερασιτέχνης επαναστάτης», σελ. 221) και ενός εκ των μη Γάλλων μελών των Νικολά Μπουρμπακί. Ακολούθως συνέχισε με μεταπτυχιακές σπουδές στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά στην École Pratique des Hautes Études στο Παρίσι.

Σημ. 2: Ο Απόστολος Δοξιάδης είναι ο συγγραφέας, μεταξύ άλλων, του πολυμεταφρασμένου μυθιστορήματος «Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ» (Εκδόσεις Καστανιώτη 1992), το οποίο χαρακτηρίστηκε από την Independent ως «η γένεση του είδους της μαθηματικής λογοτεχνίας», και συνιδρυτής, μαζί με τον Τεύκρο Μιχαηλίδη και τον Πέτρο Δελλαπόρτα, της ομάδας «Θαλής + Φίλοι», που δημιουργήθηκε το 2005 «από την ανάγκη των εμπνευστών της να εξερευνήσουν τη σχέση ανάμεσα στα μαθηματικά και την αφήγηση».

Σημ. 3: Η 14η Μαρτίου (σήμερα) [3(oς μήνας), 14]είναι η Παγκόσμια Ημέρα της Σταθεράς π.

Πηγή: andro.gr

Κατηγορίες:
Φυσική & Φιλοσοφία

Μαθηματικά και Γλώσσα

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Κατηγορίες:
Βίντεο Φυσικής

Τα Μαθηματικά της Αγάπης – TED

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

 

Η ομιλία Ted της Χάνα Φράι που εξηγεί πώς θα βρεις την αληθινή αγάπη μέσω των μαθηματικών. Αποδεικνύει με οξυδέρκεια, ευφυΐα και χιούμορ ότι τα μαθηματικά είναι ένα αναπάντεχα χρήσιμο εργαλείο για να διαπραγματευόμαστε τα πολύπλοκα, άλλοτε μπερδεμένα κι άλλοτε εξοργιστικά, μα πάντα ενδιαφέροντα, μαθηματικά μοντέλα της αγάπης.

 ——–  ——- ——–

 

——–  ——- ——–

Η ΟΜΙΛΙΑ

Στην αγαπημένη μου έρευνα γι’ αυτό το θέμα, που ονομάζεται, «Γιατί δεν έχω κοπέλα» — (Γέλια) ο Πίτερ Μπάκους προσπαθεί να εκτιμήσει την πιθανότητα να βρει την αγάπη. Ο Πίτερ δεν είναι άπληστος άνθρωπος. Απ’ όλες τις διαθέσιμες γυναίκες στο Ηνωμένο Βασίλειο, το μόνο που ψάχνει ο Πίτερ είναι κάποια που να μένει κοντά του, κάποια στο σωστό εύρος ηλικίας, κάποια με πτυχίο πανεπιστημίου, κάποια με την οποία μάλλον θα τα πάει καλά, κάποια που μάλλον θα είναι ελκυστική, κάποια που μάλλον θα τον βρει ελκυστικό. (Γέλια) Και του βγαίνει μια εκτίμηση με 26 γυναίκες σε ολόκληρο το Ηνωμένο Βασίλειο. Δεν φαίνονται καλά τα πράγματα, έτσι Πίτερ; Για να έχουμε μια προοπτική των πραγμάτων, είναι περίπου 400 φορές λιγότερες από τις καλύτερες εκτιμήσεις για το πόσες ευφυείς εξωγήινες μορφές ζωής υπάρχουν. Επίσης δίνει στον Πίτερ μία πιθανότητα στις 285.000 να συναντήσει κάποια από αυτές τις ξεχωριστές κυρίες σε μια νυχτερινή έξοδο. Πιστεύω ότι γι’ αυτό οι μαθηματικοί δεν ασχολούνται πια με τις νυχτερινές εξόδους.

Το θέμα είναι ότι προσωπικά δεν έχω τόσο απαισιόδοξη οπτική. Επειδή γνωρίζω, όπως και όλοι εσείς, ότι η αγάπη δεν λειτουργεί έτσι. Τα ανθρώπινα αισθήματα δεν έχουν τάξη, ούτε είναι λογικά και εύκολα προβλέψιμα. Αλλά επίσης ξέρω πως αυτό δεν σημαίνει ότι τα μαθηματικά δεν έχουν κάτι να μας προσφέρουν επειδή, η αγάπη, όπως και τα περισσότερα στη ζωή, είναι γεμάτη μοτίβα και τα μαθηματικά τελικά έχουν να κάνουν με τη μελέτη μοτίβων. Μοτίβα πρόβλεψης καιρού έως τα σκαμπανεβάσματα του χρηματιστηρίου, έως την κίνηση των πλανητών ή την ανάπτυξη των πόλεων. Ειλικρινά, τίποτα από αυτά δεν είναι τακτοποιημένο και εύκολα προβλέψιμο. Επειδή πιστεύω ότι τα μαθηματικά είναι τόσο ισχυρά, που έχουν τη δυνατότητα να μας προσφέρουν έναν νέο τρόπο να δούμε σχεδόν οτιδήποτε. Ακόμη και κάτι τόσο μυστηριώδες όσο η αγάπη. Κι έτσι, για να σας πείσω για το πόσο εκπληκτικά, εξαιρετικά και σχετικά είναι τα μαθηματικά, σας δίνω τις τρεις καλύτερες μαθηματικά επαληθεύσιμες συμβουλές μου για την αγάπη.

Λοιπόν, Συμβουλή Νο. 1: Πώς να κερδίσετε στα διαδικτυακά ραντεβού. Η αγαπημένη μου σελίδα διαδικτυακών γνωριμιών είναι η OkCupid, αν μη τι άλλο επειδή την ξεκίνησε μια ομάδα μαθηματικών. Επειδή είναι μαθηματικοί, συλλέγουν δεδομένα για οποιονδήποτε χρησιμοποιεί την ιστοσελίδα επί σχεδόν δέκα χρόνια. Προσπαθούν να βρουν μοτίβα στον τρόπο που μιλάμε για τον εαυτό μας και στον τρόπο που αλληλεπιδρούμε μεταξύ μας σε μια διαδικτυακή ιστοσελίδα γνωριμιών. Βρήκαν κάποια πολύ ενδιαφέροντα πράγματα. Αλλά το αγαπημένο μου είναι ότι τελικά σε μια διαδικτυακή σελίδα γνωριμιών, το πόσο ελκυστικός είσαι δεν έχει να κάνει με το πόσο δημοφιλής είσαι, και στην πραγματικότητα, το να πιστεύει ο κόσμος ότι είσαι άσχημος μπορεί να είναι προς το συμφέρον σου. Ας σας δείξω πώς λειτουργεί. Σε ένα ευτυχώς εθελοντικό κομμάτι του OkCupid, μπορείτε να βαθμολογήσετε πόσο ελκυστικούς βρίσκετε τους άλλους σε μια κλίμακα από το 1 έως το 5. Τώρα, αν συγκρίνουμε αυτό το σκορ, τον μέσο όρο, με το πόσα μηνύματα λαμβάνουν κάποια επιλεγμένα άτομα, αρχίζετε να παίρνετε μια ιδέα για τη σχέση γοητείας και δημοτικότητας σε μια ιστοσελίδα γνωριμιών.

Αυτό είναι το γράφημα που έφτιαξαν τα παιδιά στο OkCupid. Είναι σημαντικό να σημειώσουμε ότι δεν ισχύει απόλυτα ότι όσο πιο ελκυστικοί είστε, τόσο πιο πολλά μηνύματα θα λάβετε. Αλλά εγείρεται το ερώτημα για το τι συμβαίνει με αυτούς εδώ πάνω που είναι πολύ πιο δημοφιλείς από αυτούς εδώ κάτω αν και έχουν το ίδιο σκορ ελκυστικότητας; Ο λόγος είναι ότι το παρουσιαστικό δεν είναι το μόνο σημαντικό. Ας σας δείξω τα ευρήματά τους με ένα παράδειγμα. Παίρνετε κάποια σαν την Πόρσια ντε Ρόσι, για παράδειγμα, όλοι συμφωνούν ότι η Πόρσια ντε Ρόσι είναι μια πολύ όμορφη γυναίκα. Κανείς δεν πιστεύει ότι είναι άσχημη, αλλά δεν είναι και σούπερ μόντελ. Αν συγκρίνετε την Πόρσια ντε Ρόσι με κάποια σαν τη Σάρα Τζέσικα Πάρκερ, πολλοί άνθρωποι, κι εγώ ανάμεσά τους θα έλεγα, πιστεύουν ότι η Σάρα Τζέσικα Πάρκερ είναι πραγματικά υπέροχη και μάλλον είναι ένα από τα πιο όμορφα πλάσματα που έχουν πατήσει ποτέ στη Γη. Αλλά μερικοί, δηλαδή το μεγαλύτερο κομμάτι του διαδικτύου, φαίνεται να πιστεύουν ότι μοιάζει λιγάκι με άλογο. (Γέλια) Νομίζω ότι αν ρωτήσετε τον κόσμο πόσο ελκυστικές βρίσκουν τη Σάρα Τζέσικα Πάρκερ ή την Πόρσια ντε Ρόσι, και τους ζητήσετε να τους δώσουν ένα σκορ από το 1 έως το 5, πιστεύω ότι κατά μέσο όρο θα έχουν περίπου το ίδιο σκορ. Αλλά ο τρόπος που θα ψήφιζε ο κόσμος θα ήταν πολύ διαφορετικός. Η βαθμολογία της Πόρσια θα μαζευτεί γύρω στο 4, επειδή όλοι συμφωνούν ότι είναι πολύ όμορφη, ενώ η Σάρα Τζέσικα Πάρκερ διχάζει τελείως τις απόψεις. Θα υπήρχε ένα μεγάλο χάσμα στη βαθμολογία της. Αυτό που μετράει όμως είναι αυτό το χάσμα. Αυτό το χάσμα σας κάνει πιο δημοφιλή σε μια ιστοσελίδα διαδικτυακών γνωριμιών. Αυτό που σημαίνει είναι ότι αν μερικοί πιστεύουν ότι είστε γοητευτικοί, είναι καλύτερα να έχετε μερικούς άλλους να σας βρίσκουν κακάσχημους. Είναι πολύ καλύτερα από το να πιστεύουν όλοι ότι είστε η ομορφούλα γειτόνισσα.

 

Νομίζω ότι αυτό αρχίζει να γίνεται πιο κατανοητό όταν σκεφτείτε ποιος στέλνει αυτά τα μηνύματα. Έστω ότι πιστεύετε ότι κάποιος είναι γοητευτικός, αλλά υποψιάζεστε ότι οι άλλοι ίσως να μην ενδιαφερθούν και τόσο. Αυτό σημαίνει ότι θα έχετε μικρότερο ανταγωνισμό και είναι ένα επιπλέον κίνητρο για να επικοινωνήσετε. Συγκρίνετέ το με το αν βρίσκετε κάποιον γοητευτικό αλλά υποψιάζεστε ότι όλοι θα τον βρίσκουν γοητευτικό. Γιατί να ασχοληθείτε και να ντροπιαστείτε, ας είμαστε ειλικρινείς. Εδώ έρχεται το ενδιαφέρον κομμάτι. Επειδή όταν ο κόσμος επιλέγει τη φωτογραφία που θα χρησιμοποιήσει, συχνά προσπαθεί να ελαχιστοποιήσει τα πράγματα που πιστεύει ότι μερικοί δεν θα βρουν ελκυστικά. Το κλασικό παράδειγμα είναι άτομα που είναι -ίσως- λιγάκι υπέρβαρα και επιλέγουν επίτηδες μια φωτογραφία που έχει ψαλιδιστεί αρκετά, ή φαλακροί άντρες, για παράδειγμα, επιλέγουν επίτηδες φωτογραφίες που φοράνε καπέλα. Αλλά πρέπει να κάνετε ακριβώς το αντίθετο αν θέλετε να έχετε επιτυχία. Αντιθέτως, θα πρέπει να δώσετε έμφαση σε ό,τι σας κάνει διαφορετικό, ακόμη κι αν νομίζετε ότι μερικοί δεν θα το βρουν ελκυστικό. Επειδή σε όσους αρέσετε, θα αρέσατε έτσι κι αλλιώς και οι ασήμαντοι χαμένοι που δεν τους αρέσετε, είναι προς το συμφέρον σας.

Τότε, το ερώτημα είναι, πώς ξέρετε πότε είναι η σωστή στιγμή να κατασταλάξετε αν σκεφτείτε με πόσους μπορείτε να βγείτε ραντεβού στη ζωή σας; Ευτυχώς, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα ζουμερό κομμάτι μαθηματικών για να μας βοηθήσει, που ονομάζεται θεωρία βέλτιστης παύσης. Ας φανταστούμε, λοιπόν, ότι ξεκινάτε να βγαίνετε ραντεβού στα 15, και ιδανικά, θα θέλατε παντρευτείτε μέχρι τα 35 σας. Υπάρχουν πολλά άτομα με τα οποία θα μπορούσατε να βγείτε ραντεβού στη ζωή σας, σε διάφορα επίπεδα καταλληλότητας. Αφού εξαργυρώσετε την επιτυχία και παντρευτείτε, δεν μπορείτε να δείτε μπροστά τι θα μπορούσατε να έχετε, ούτε μπορείτε να πάτε πίσω και ν’ αλλάξετε γνώμη. Τουλάχιστον από την εμπειρία μου, βρίσκω ότι συνήθως δεν αρέσει και τόσο στους ανθρώπους να τους ανακαλούν χρόνια αφού τους έχουν προσπεράσει για κάποιον άλλον, ή ίσως να το πιστεύω εγώ.

Τα μαθηματικά λένε ότι αυτό που πρέπει να κάνετε στο πρώτο 37 τοις εκατό του περιθωρίου των ραντεβού σας, είναι να τους αποκλείσετε όλους για ενδεχόμενο σοβαρό γάμο. (Γέλια) Και μετά, θα πρέπει να επιλέξετε το επόμενο άτομο που θα τύχει και είναι καλύτερο από όλους όσους έχετε δει πιο πριν. Να ένα παράδειγμα. Αν το κάνετε αυτό, και μπορεί να αποδειχτεί μαθηματικά, ότι είναι ο καλύτερος δυνατός τρόπος να μεγιστοποιήσετε τις πιθανότητές σας στην εύρεση του τέλειου συντρόφου. Δυστυχώς, πρέπει να σας πω ότι αυτή η μέθοδος έχει μερικά ρίσκα. Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι ο τέλειος σύντροφος εμφανιζόταν κατά τη διάρκεια του πρώτου 37 τοις εκατό. Δυστυχώς θα πρέπει να τον απορρίψετε. (Γέλια) Αν ακολουθείτε τα μαθηματικά, φοβάμαι ότι δεν θα βρεθεί κανένας καλύτερος από όλους όσους είχατε δει πριν, έτσι θα πρέπει να συνεχίσετε απορρίπτοντάς τους όλους και να πεθάνετε μόνοι. (Γέλια) Ίσως περιτριγυρισμένοι από γάτες που να τσιμπολογάνε τα απομεινάρια σας.

Ένα άλλο ρίσκο τώρα, ας φανταστούμε αντιθέτως ότι τα πρώτα άτομα με τα οποία βγήκατε ραντεβού στο πρώτο 37 τοις εκατό είναι απίστευτα μονότονα, βαρετά, απαίσια άτομα. Δεν πειράζει, επειδή είστε στη φάση της απόρριψης, οπότε μπορείτε να τους απορρίψετε. Αλλά φανταστείτε ότι μετά, το επόμενο άτομο που θα συναντήσετε είναι οριακά λιγότερο μονότονο, βαρετό και απαίσιο απ’ όλους όσους έχετε δει πιο πριν. Αν ακολουθείτε τα μαθηματικά, φοβάμαι ότι θα πρέπει να τον παντρευτείτε και να καταλήξετε σε μια σχέση που φοβάμαι πως δεν είναι η βέλτιστη. Συγγνώμη γι’ αυτό. Αλλά νομίζω ότι εδώ υπάρχει μια ευκαιρία να επωφεληθεί από αυτό η Χάλμαρκ και να τροφοδοτήσει αυτή την αγορά. Μια κάρτα Αγίου Βαλεντίνου σαν αυτήν. (Γέλια) «Αγαπημένε μου σύζυγε, είσαι οριακά λιγότερο χειρότερος απ’ ό,τι το πρώτο 37 τοις εκατό των ατόμων με τους οποίους έχω βγει ραντεβού». Είναι πιο ρομαντικό απ’ ό,τι καταφέρνω συνήθως.

Αυτή η μέθοδος δεν σας δίνει ποσοστό επιτυχίας 100 τοις εκατό, αλλά δεν υπάρχει άλλη στρατηγική που να μπορεί να τα πάει καλύτερα. Στη φύση, υπάρχουν κάποια είδη ψαριών που ακολουθούν και χρησιμοποιούν αυτήν ακριβώς τη στρατηγική. Απορρίπτουν όλους τους μνηστήρες στο πρώτο 37 τοις εκατό της εποχής ζευγαρώματος, και μετά επιλέγουν το επόμενο ψάρι που έρχεται μετά από αυτό το παράθυρο που είναι, δεν ξέρω, μεγαλύτερο και πιο εύσωμο απ’ όλα τα άλλα ψάρια που είδαν πιο πριν. Επίσης πιστεύω ότι υποσυνείδητα, το κάνουμε αυτό εμείς οι άνθρωποι. Μας δίνουμε λίγο περισσότερο χρόνο να κάνουμε παιχνίδι, να πάρουμε μια ιδέα για την αγορά όταν είμαστε νέοι. Και τότε μόνο αρχίζουμε να ψάχνουμε σοβαρά πιθανούς υποψήφιους για γάμο μόλις φτάσουμε τα 25 με 30. Νομίζω ότι αυτό είναι αδιαμφισβήτητη απόδειξη, αν χρειάζεται, ότι οι εγκέφαλοι είναι προγραμματισμένοι να είναι λίγο μαθηματικοί.

Αυτή ήταν η Συμβουλή Νο. 2. Τώρα, η Συμβουλή Νο. 3: Πώς να αποφύγετε το διαζύγιο. Ας φανταστούμε ότι επιλέξατε τον τέλειο για σας σύντροφο και κατασταλάζετε σε μια ισόβια σχέση μαζί τους. Θέλω να πιστεύω ότι ιδανικά όλοι θα ήθελαν να αποφύγουν το διαζύγιο, εκτός από, δεν ξέρω, ίσως τη γυναίκα του Πιρς Μόργκαν; Είναι όμως ένα δυσάρεστο δεδομένο της μοντέρνας ζωής ότι ένας στους δύο γάμους στις Ηνωμένες Πολιτείες καταλήγει σε διαζύγιο, με τον υπόλοιπο κόσμο να ακολουθεί από κοντά. Τώρα, ίσως να σας συγχωρέσουμε που πιστεύετε ότι οι λογομαχίες που προηγούνται μιας συζυγικής διάλυσης δεν είναι ο ιδανικός υποψήφιος για μαθηματική εξέταση. Αφενός, είναι πολύ δύσκολο να γνωρίζετε τι πρέπει να μετρήσετε ή τι πρέπει να ποσοτικοποιήσετε. Αλλά αυτό δεν εμπόδισε έναν ψυχολόγο, τον Τζον Γκότμαν, που έκανε ακριβώς αυτό. Ο Γκότμαν παρατήρησε εκατοντάδες ζευγάρια που συζητούσαν και κατέγραψε ό,τι μπορείτε να φανταστείτε. Κατέγραψε τι ειπώθηκε στη συζήτηση, κατέγραψε την αγωγιμότητα του δέρματός τους, κατέγραψε τις εκφράσεις του προσώπου τους, τον καρδιακό τους ρυθμό, την αρτηριακή τους πίεση, βασικά όλα εκτός από το αν η σύζυγος είχε όντως πάντα δίκιο ή όχι, που παρεμπιπτόντως είχε. Αλλά αυτό που βρήκε ο Γκότμαν και η ομάδα του ότι ήταν ένας από τους πιο σημαντικούς προγνωστικούς παράγοντες για το αν θα πάρει διαζύγιο ή όχι ένα ζευγάρι ήταν το πόσο θετικός ή αρνητικός ήταν κάθε σύντροφος στη συζήτηση.

Τα ζευγάρια με χαμηλό ρίσκο πήραν πολλούς περισσότερους θετικούς πόντους στην κλίμακα Γκότμαν, απ’ ό,τι αρνητικούς. Ενώ σε κακές σχέσεις, και με αυτό εννοώ, που μάλλον θα πάρουν διαζύγιο, βρήκαν τους εαυτούς τους σε έναν φαύλο κύκλο αρνητικότητας. Απλώς χρησιμοποιώντας αυτές τις πολύ απλές ιδέες, ο Γκότμαν και η ομάδα του μπόρεσαν να προβλέψουν αν κάποιο ζευγάρι θα έπαιρνε διαζύγιο με ακρίβεια 90 τοις εκατό. Αλλά μόνο όταν συνεργάστηκε με έναν μαθηματικό, τον Τζέιμς Μάρεϊ, άρχισαν να καταλαβαίνουν πραγματικά τι προκαλεί αυτούς τους φαύλους κύκλους αρνητικότητας και πώς εμφανίζονται. Τα αποτελέσματα που βρήκαν νομίζω ότι είναι απίστευτα εντυπωσιακά απλά και ενδιαφέροντα. Αυτές οι εξισώσεις προβλέπουν πώς θα ανταποκριθεί η σύζυγος ή ο σύζυγος όταν έρθει η σειρά τους στη συζήτηση, πόσο θετικοί ή αρνητικοί θα είναι. Και αυτές οι εξισώσεις εξαρτώνται από τη διάθεση των ατόμων όταν είναι μόνοι τους, τη διάθεση των ατόμων όταν είναι με τον σύντροφό τους, αλλά πιο σημαντικό, εξαρτώνται από το πόσο ο σύζυγος και η σύζυγος επηρεάζουν ο ένας τον άλλον.

Αλλά ο πραγματικά σημαντικός όρος σε αυτή την εξίσωση είναι η επιρροή που έχουν μεταξύ τους οι άνθρωποι, και συγκεκριμένα, κάτι που ονομάζεται το κατώφλι της αρνητικότητας. Το κατώφλι της αρνητικότητας, μπορείτε να το σκεφτείτε ως το πόσο ενοχλητικός μπορεί να είναι ο σύζυγος πριν αρχίσει να τσαντίζεται πραγματικά η σύζυγος, και το αντίθετο. Πάντα πίστευα ότι οι καλοί γάμοι είχαν να κάνουν με τον συμβιβασμό και την κατανόηση και το να επιτρέπουμε στον άλλον να έχει χώρο να είναι ο εαυτός του. Θα πίστευα ότι ίσως οι πιο επιτυχημένες σχέσεις ήταν αυτές με πολύ υψηλό κατώφλι αρνητικότητας. Όπου τα ζευγάρια το άφηναν να περάσει έτσι και ανέφεραν κάτι μόνο αν πίστευαν ότι ήταν πολύ σημαντικό. Στην πραγματικότητα όμως, τα μαθηματικά και τα επακόλουθα ευρήματα της ομάδας έδειξαν ότι αληθεύει ακριβώς το αντίθετο. Τα καλύτερα ζευγάρια, ή τα πιο επιτυχημένα ζευγάρια, είναι αυτά με πολύ χαμηλό κατώφλι αρνητικότητας. Είναι τα ζευγάρια που δεν αφήνουν τίποτα να περάσει απαρατήρητο και επιτρέπουν ο ένας στον άλλον να έχει χώρο για παράπονα. Είναι τα ζευγάρια που συνεχώς προσπαθούν να διορθώσουν τη σχέση τους, που έχουν μια πολύ θετικότερη εικόνα για τον γάμο τους. Τα ζευγάρια που δεν αφήνουν τίποτα να περάσει και τα ζευγάρια που δεν αφήνουν τα μικροπράγματα να γίνουν πολύ σημαντικά.

Αυτές είναι οι τρεις συμβουλές μου για το πώς τα μαθηματικά μπορούν να βοηθήσουν με την αγάπη και τις σχέσεις. Αλλά ελπίζω ότι εκτός από τη χρήση τους ως συμβουλές, θα σας δώσουν και λίγη γνώση σχετικά με τη δύναμη των μαθηματικών. Επειδή για μένα, οι εξισώσεις και τα σύμβολα δεν είναι απλώς ένα πράγμα. Είναι μια φωνή που μιλά για τον απίστευτο πλούτο της φύσης και την εντυπωσιακή απλότητα στα μοτίβα που μας περιτριγυρίζουν, από το πώς λειτουργεί ο κόσμος έως πώς θα πρέπει να συμπεριφερόμαστε. Ελπίζω ότι ίσως για μερικούς από σας, λίγη γνώση για τα μαθηματικά της αγάπης μπορεί να σας πείσει να έχετε λίγη περισσότερη αγάπη για τα μαθηματικά. Σας ευχαριστώ. (Χειροκρότημα)

_______________________

H δρ Xάνα Φράι είναι μαθηματικός στο UCL, στο Κέντρο Χωρικής Ανάλυσης (CASA). Στη δουλειά της χρησιμοποιεί τα μαθηματικά μοντέλα προκειμένου να μελετήσει τα μοτίβα της ανθρώπινης συμπεριφοράς, από τις επαναστάσεις και την τρομοκρατία μέχρι το εμπόριο και τις καθημερινές μας αγορές.

Παράλληλα με την ακαδημαϊκή θέση της, είναι πρέσβειρα του UCL, μεταφέροντας έτσι την απόλαυση των μαθηματικών από τα πανεπιστημιακά αμφιθέατρα σε θέατρα, μπαρ και σχολεία. Είναι επίσης συμπαρουσιάστρια στο Υoutube Channel του BBC Worldwide και εμφανίζεται τακτικά στην τηλεόραση και το ραδιόφωνο στη Μεγάλη Βρετανία.

by Αντικλείδι , https://antikleidi.com

Κατηγορίες:
Και κάτι άλλο..., Νέα

Όλα τα μαθηματικά σε ένα όμορφο video

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Κατηγορίες:
Νέα

Τα αναπάντεχα μαθηματικά πίσω από την “Έναστρη νύχτα” του Van Gogh

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

 

Η Έναστρη Νύχτα είναι ένας από τους πιο διάσημους ζωγραφικούς πίνακες του Ολλανδού μετα-ιμπρεσιονιστή ζωγράφου Βίνσεντ βαν Γκογκ. Απεικονίζει τη θέα από το δυτικό παράθυρο του δωματίου του, στο άσυλο Σεν Ρεμί ντε Προβάνς, μόλις πριν την ανατολή του ηλίου, τον Ιούνιο του 1889.

Γράφει ο ζωγράφος στον αδερφό του στις 23 Μαΐου του 1889: «Μέσα από το παράθυρο με τα σιδερένια κάγκελα, μπορώ να διακρίνω ένα τετράγωνο κομμάτι γης με σιτάρι… πάνω από το οποίο, το πρωί, βλέπω τον ήλιο να ανατέλλει σε όλο του το μεγαλείο.»

Ο Βέρνερ Καρλ Χάιζενμπεργκ (νόμπελ φυσικής 1932) είχε πει : “Όταν συναντήσω τον Θεό θα τού θέσω δύο ερωτήματα: γιατί σχετικότητα; Και γιατί τυρβώδης ροή; Πιστεύω ειλικρινά ότι για το πρώτο θα έχει μια απάντηση να μου δώσει”.

Η Natalya Clair δείχνει στο παρακάτω video πώς ο Van Gogh κατανόησε αυτό το βαθύ μυστήριο της κίνησης, της ρευστότητας και του φωτός στο έργο του.

(Υπάρχει μετάφραση στα ελληνικά την οποία μπορείτε να επιλέξετε από το κουμπί των ρυθμίσεων στην μπάρα του video)

Αντικλείδι , http://antikleidi.com

Κατηγορίες:
Νέα

Πως τα μαθηματικά και η φιλοσοφία διατηρούν μια ιδιαίτερη ερωτική σχέση

| 0 ΣΧΟΛΙΑ
 

 

Αδιαμφισβήτητα, μαθηματικά και φιλοσοφία είναι δυο διαφορετικές επιστήμες. Ειδικότερα στην εποχή μας, όπου κάθε επιστήμη εμβαθύνει όσο το δυνατόν παραπάνω στην εξειδίκευση, όπου κάθε σχολή έχει τη τάση να διαφοροποιείται από τις διπλανές της, η βαθιά και σημαντική σχέση που διατηρούσαν οι θεωρητικές και οι θετικές επιστήμες έχει αποδυναμωθεί εμφανώς.

Προφανώς και οι ανάγκες που έχουν δημιουργηθεί στη σημερινή εποχή, ως ένα σημείο «εμποδίζουν» τη συστηματική ενασχόληση με θεματικούς κύκλους που ξεφεύγουν από το καθαρό γνωστικό αντικείμενο κάθε επιστήμονα. Η τεχνολογική ανάπτυξη σίγουρα έχει «βοηθήσει» στο διαχωρισμό κάθε επιστήμης. Η πλήρης αφοσίωση κάθε επιστήμονα στα… γνωστά μονοπάτια του αντικειμένου του όμως ήδη εμφανίσει αρνητικά στοιχεία.

Οταν ο Πλάτωνας δημιουργούσε τη φημισμένη σχολή του το 387 π.Χ, φρόντισε με μια επιγραφή σε κεντρικό κτίριο να περάσει ένα σημαντικότατο μήνυμα. Το ρητό «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην» εξηγούσε ακριβώς τη στάση που κρατούσε ο αρχαίος φιλόσοφος απέναντι στα μαθηματικά, την επιστήμη που πλέον κανένας θεωρητικός επιστήμονας δεν… παίρνει στα σοβαρά.

Σε όλες τις εποχές της κουλτούρας και της μάθησης υπήρξαν φιλόσοφοι-μαθηματικοί και μαθηματικοί–φιλόσοφοι. Ο γνωστός μαθηματικος Μπερνάντ Μπολζάνο, το 19ο αιώνα είχε δηλώσει πως: «Ενας αδύνατος μαθηματικός δεν θα γίνει ποτέ δυνατός φιλόσοφος.» Η σχέση που συνδέει μαθηματικά και φιλοσοφία, αλλά και γενικότερα θεωρητικές και θετικές επιστήμες, είναι τόσο δυνατή που δεν μπορεί να περνά ανυπολόγιστη από όσους επιστήμονες θέλουν να διακριθούν.

Ο βασικός συνδετικός κρίκος μεταξύ των δυο επιστήμων είναι η έννοια της λογικής, Οποιος έχει εμβαθύνει έστω και λίγο σε κάποια θεωρητική ή θετική επιστήμη, γνωρίζει τη βασική τους λογική. Είτε μαθηματικά είτε φιλοσοφία όμως, ο τρόπος σκέψης είναι κατά βάση ίδιος. Η λογική της απόδειξης, της πλήρους τεκμηρίωσης κάθε δεδομένου που προκύπτει, είναι κοινή και για τις δύο επιστήμες. Τα λογικά βήματα που ακολουθούνται, είναι σε μεγάλο βαθμό κοινά.

Φιλοσοφία και μαθηματικά είναι δυο επιστήμες που αναπτύσσονται ταυτόχρονα. Το εντυπωσιακό χαρακτηριστικό τους όμως είναι πως και όσο διαφορετικά και να δείχνουν, αλληλοστηρίζονται ώστε να αναπτυχθούν. Το πρακτικό στοιχείο των μαθηματικών βοηθά την εξέλιξη της φιλοσοφίας και αντίστοιχα το θεωρητικό κομμάτι της φιλοσοφίας αποτελεί πηγή έμπνευσης νεοφώτιστων μαθηματικών. Εχοντας κοινή λογική, εφαρμόζοντας τους ίδιους νοηματικούς κανόνες, οι δύο επιστήμες συμπλέουν αρμονικά.

Αλλωστε, κάθε μαθηματική ανακάλυψη αποτελεί αντικείμενο φιλοσοφικών αναζητήσεων. Κάθε μαθηματικό μοντέλο χρειάζεται τη συμβολή της φιλοσοφίας ώστε να αναδειχθεί και να μετατραπεί σε πρακτική εφαρμογή μέσα στη κοινωνία. Με την ίδια λογική, κάθε φιλοσοφική ρήση αποτελεί πηγή ιδεών για τους θετικούς επιστήμονες, δίνοντας τους την ευκαιρία να ανακαλύψουν νέες πτυχές του αντικειμένου τους,

Λαμβάνοντας υπόψιν τα σημαντικά κοινά χαρακτηριστικά δύο τόσο… διαφορετικών επιστημών, είναι απορίας άξιο πως μαθηματικά και φιλοσοφία έχουν καταλήξει να είναι δυο εκ διαμέτρου αντίθετα γνωστικά αντικείμενα. Με βάση την… ερωτική σχέση που διατηρούν εδώ και τόσους αιώνες, θα έπρεπε κάθε φιλόσοφος και κάθε μαθηματικός να «αγαπούν» εξίσου και τις δύο επιστήμες. Ισως αυτό αποτελέσει μια λύση στη μονοδιάστατη λογική που τείνει να αφομοιώσει η σημερινή κοινωνία.

_______________________

   Πηγή: iefimerida.gr

by Αντικλείδι , http://antikleidi.com

Κατηγορίες:
Νέα

Ο χρυσός αριθμός φι

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Phi

Τι κοινό έχουν μια πιστωτική κάρτα, η αναπαραγωγή των κουνελιών, το κουνουπίδι και ο Παρθενώνας; Η απάντηση ακούει στο όνομα 1,618033..., το χρυσό αριθμό. Μάθετε τι τον καθιστά τόσο μαγικό!

Τι το ιδιαίτερο έχει, λοιπόν, αυτός ο αριθμός; Σε τι διαφέρει από τους άλλους; Όπως ο π (3,141592...) εκφράζει το πιο τέλειο γεωμετρικό σχήμα, τη σφαίρα, έτσι και ο φ (1,618033...) είναι ο αριθμός της ομορφιάς. Ο μοναχός του 15ου αιώνα Λούκα Πατσιόλι, επηρεασμένος από την αντίληψη της εποχής ότι οι νέες γνώσεις της επιστήμης έπρεπε να ενταχθούν στο εκκλησιαστικό δόγμα, τον ονόμασε Η θεία αναλογία. Πού αναφέρεται αυτή η φράση, που θα ταίριαζε μάλλον σε αλχημιστή ή αποκρυφιστή παρά σε μαθηματικό; Στο «χρυσό αριθμό», ονομασία που αποδίδεται στον Λεονάρντο Ντα Βίντσι. Αιώνες αργότερα, ο Αμερικανός μαθηματικός Μαρκ Μπαρ θα τον προσδιόριζε με το ελληνικό γράμμα φι, προς τιμήν του γλύπτη Φειδία, ο οποίος με βάση αυτόν τον αριθμό δημιουργούσε τα έργα του.

Μαθηματική ομορφιά

Ο φ ανήκει στους άρρητους αριθμούς, δηλαδή εκείνους που δεν μπορούμε να εκφράσουμε ως κλάσμα δύο ακέραιων. Για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι άρρητος αριθμός: αυτή η ανακάλυψη προκάλεσε τέτοια αμηχανία στους πυθαγόρειους, που την απέκρυψαν από τον υπόλοιπο κόσμο. Σήμερα, για να υπολογίσουμε το χρυσό αριθμό, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε ένα κομπιουτεράκι και να ακολουθήσουμε τις εξής απλές οδηγίες: πρώτα υπολογίζουμε την τετραγωνική ρίζα του 5. Μετά προσθέτουμε 1 στο αποτέλεσμα και τέλος το διαιρούμε διά 2.

Σε μαθηματικούς όρους, χρυσός αριθμός είναι εκείνος που αν του προσθέσουμε το 1 θα μας δώσει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο θα έχουμε και αν τον υψώσουμε στο τετράγωνο. Δηλαδή, αν ο χρυσός αριθμός ήταν το 4, θα έπρεπε να είχαμε το ίδιο αποτέλεσμα είτε κάναμε τον πολλαπλασιασμό 4 επί 4 είτε κάναμε την πρόσθεση 4 συν 1, που όμως δεν ισχύει. Στην πραγματικότητα, πάντως, υπάρχουν δύο χρυσοί αριθμοί, ένας θετικός (1,618033...) και ένας αρνητικός (-1,618033...), αλλά ο πρώτος έχει κλέψει όλη τη δόξα.

Πανταχού παρών

Όμως, το μυστήριο με αυτόν τον παράξενο αριθμό είναι ότι το συναντάμε στην ανάπτυξη των φυτών, την κατανομή των φύλλων σε ένα μίσχο και τα όστρακα. Κρύβεται επίσης στις πιστωτικές κάρτες, στις αναλογίες του Παρθενώνα και στο διαχρονικό πρότυπο του αρμονικού ανθρώπινου σώματος, στον Άνθρωπο του Βιτρούβιου, έργο του Λεονάρντο Ντα Βίντσι.

Ακολουθώντας τα βήματα του αρχιτέκτονα της Αναγέννησης Λεόν Μπατίστα Αλμπέρτι και του γλύπτη Αντόνιο Φιλαρέτε, ο Λεονάρντο πίστευε ότι υπάρχει στενή σχέση ανάμεσα στην ανατομία και την αρχιτεκτονική. Τη δεκαετία του 1480, όταν προσέφερε τις υπηρεσίες του στον δούκα του Μιλάνου, εμβάθυνε στη σχέση των δύο επιστημών και δημιούργησε το διάσημο σχέδιο το 1487. Το σχέδιο αυτό βασίστηκε στην πραγματεία που είχε γράψει για το ανθρώπινο σώμα ο Ρωμαίος αρχιτέκτονας Μάρκος Πολλίωνας Βιτρούβιος.

Η χρυσή τελειότητα

Vitruvian_man_mixed

mona-lisa-golden ratio

Στην περιγραφή του, ο Πολλίωνας αναφέρει: «Στο ανθρώπινο σώμα, το κέντρο είναι ο ομφαλός. Επομένως, αν ένας άντρας ξαπλώσει με το πρόσωπο προς τα πάνω, τα χέρια και τα πόδια του αναπτυγμένα, και σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο τον ομφαλό, τα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών θα αγγίξουν την περιφέρεια του κύκλου. Μπορούμε επίσης να περικλείσουμε το σώμα με ένα ορθογώνιο σχήμα». Αν διαιρέσουμε τη μια πλευρά του ορθογωνίου (το ύψος του ανθρώπου) με την ακτίνα του κύκλου (την απόσταση από τον ομφαλό μέχρι την άκρη των δαχτύλων), θα έχουμε το χρυσό αριθμό. Έτσι, για να ανακαλύψει κάποιος κατά πόσο ανταποκρίνεται στο πρότυπο της αισθητικής τελειότητας, δεν έχει παρά να πάρει μια μεζούρα.

Σιγά σιγά ο Λεονάρντο παθιάστηκε με την αναζήτηση μοτίβων που συνέδεαν την ανατομία με την αρχιτεκτονική, με την αρμονία της μουσικής, ακόμη και με την ίδια τη φύση. Η προσπάθειά του να βρει αναλογίες και να συσχετίσει την περιφέρεια των κορμών των δέντρων με το ύψος των κλαδιών τους ήταν επίπονη αλλά μάταια. Ωστόσο, δεν επρόκειτο απλώς για μια εμμονή, καθώς, όταν παρατηρούμε τη φύση, μπορούμε να εντοπίσουμε το χρυσό αριθμό σε πολλά διαφορετικά παραδείγματα. Αλλά προτού ασχοληθούμε με αυτό το ζήτημα θα ταξιδέψουμε ακόμη πιο πίσω στο παρελθόν, και πιο συγκεκριμένα στο 13ο αιώνα, όταν ένας μαθηματικός είχε μια περίεργη εμμονή με τα κουνέλια και τη διαδικασία αναπαραγωγής τους.

Αχ, κουνελάκι

Το 1202 ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι προσπάθησε να υπολογίσει την ταχύτητα αναπαραγωγής των κουνελιών στη Γη σε ιδανικές συνθήκες. Ας υποθέσουμε, έλεγε, ότι έχουμε ένα μοναδικό ζευγάρι, το οποίο αρχίζει να αναπαράγεται από τον πρώτο κιόλας μήνα και μετά από κάθε μήνα κύησης γεννά ένα ακόμη ζεύγος. Και ότι κάθε νέο ζεύγος γίνεται γόνιμο σε δύο μήνες μετά τη γέννησή του και αρχίζει να αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα έχουμε στο τέλος του πρώτου χρόνου; Στο τέλος του πρώτου μήνα το αρχικό ζευγάρι είναι έτοιμο να τεκνοποιήσει, αλλά υπάρχει μόνο αυτό. Στο τέλος του δεύτερου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι και το πρώτο ζευγάρι παιδιών του. Στο τέλος του τρίτου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι, το πρώτο ζευγάρι παιδιών του, που είναι έτοιμα κι αυτά να τεκνοποιήσουν, και ένα δεύτερο ζεύγος παιδιών του. Στο τέλος του τέταρτου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι και το τρίτο ζεύγος παιδιών του, το πρώτο ζεύγος παιδιών και το πρώτο δικό τους ζεύγος παιδιών, καθώς και το δεύτερο ζεύγος παιδιών, που είναι έτοιμο να τεκνοποιήσει. Πιο συγκεκριμένα, η ακολουθία των ζευγαριών κουνελιών είναι: 1, 1, 2, 3, 5. Μπορείτε να εντοπίσετε το μοτίβο που κρύβεται πίσω από αυτή την αλληλουχία; Αν την επεκτείνουμε λίγο ακόμα, τα πράγματα αρχίζουν να ξεκαθαρίζουν: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... Δηλαδή, για να δημιουργήσουμε τη λεγόμενη ακολουθία Φιμπονάτσι (γνωστή και ως «αριθμοί Φιμπονάτσι»), αρκεί να προσθέσουμε τα δύο προηγούμενα νούμερα για να έχουμε το αμέσως επόμενο.

Όμως, τι σχέση έχει αυτή η ακολουθία με το χρυσό αριθμό; Κάντε το παρακάτω πείραμα: πάρτε ένα κομπιουτεράκι και διαιρέστε οποιοδήποτε νούμερο με το αμέσως προηγούμενό του. Όσο προχωράτε στην ακολουθία, το πηλίκο θα προσεγγίζει ολοένα και περισσότερο το χρυσό αριθμό. Σε μαθηματικούς όρους, αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία που δημιουργείται από τη διαίρεση κάθε αριθμού Φιμπονάτσι με τον αμέσως προηγούμενό του έχει ως όριο το χρυσό αριθμό.

Παρθενογένεση στο μελίσσι

Το πρόβλημα με τα κουνέλια του Φιμπονάτσι είναι ότι αποτελούν μια εξιδανικευμένη υπόθεση. Υπάρχει λοιπόν στη φύση κάποιο υπαρκτό παράδειγμα όπου συναντάμε αυτή τη χρυσή ακολουθία; Υπάρχει, στο γενεαλογικό δέντρο κάθε κηφήνα σε ένα μελίσσι. Το εν λόγω έντομο γεννιέται από ένα μη γονιμοποιημένο αβγό της βασίλισσας, δηλαδή έχει μητέρα αλλά όχι και πατέρα. Αντιθέτως, τόσο η βασίλισσα (η μοναδική που μπορεί να κάνει αβγά) όσο και οι εργάτριες γεννιούνται από αβγά που έχουν γονιμοποιηθεί από αρσενικό. Αυτές, λοιπόν, έχουν και πατέρα και μητέρα. Επομένως, το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα διαμορφώνεται ως εξής: έχει 1 μητέρα, 2 παππούδες (αρσενικό και θηλυκό), 3 προπαππούδες (δύο από την οικογένεια της γιαγιάς και μία του παππού), 5 προ-προπαππούδες, 8 προ-προ-προπαππούδες και ούτω καθεξής. Το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα είναι μια ακολουθία Φιμπονάτσι! Και όχι μόνο αυτό. Το 1966, ο Νταγκ Γιανέγκα, από το Μουσείο Έρευνας στην Εντομολογία του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας, ανακάλυψε ότι η αναλογία που υφίσταται ανάμεσα σε εργάτριες μέλισσες και κηφήνες σε ένα μελίσσι προσεγγίζει το χρυσό αριθμό.

nautilus-vs-golden-spiralΗ διάσημη σπείρα

Ας μετατρέψουμε τώρα τους αριθμούς σε τετράγωνα. Τοποθετούμε δύο ίσα τετράγωνα οποιουδήποτε μεγέθους το ένα δίπλα στο άλλο, έτσι ώστε οι πλευρές τους να εφάπτονται. Στην κορυφή τους σχεδιάζουμε ένα ακόμη, με διπλάσια πλευρά. Στα δεξιά προσθέτουμε ένα ακόμη, με τριπλάσια πλευρά. Από κάτω ζωγραφίζουμε κι άλλο, με πενταπλάσια πλευρά. Συνεχίζουμε έτσι ώστε η πλευρά κάθε νέου τετραγώνου να αποτελεί το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Στη συνέχεια, αν σχεδιάσουμε σε κάθε τετράγωνο το ένα τέταρτο μιας καμπύλης γραμμής (ξεκινώντας από το πρώτο), όπως στο σχέδιο της δεύτερης σελίδας του θέματος, θα έχουμε μια λογαριθμική σπείρα, πανομοιότυπη με το σχήμα ενός οστρακοειδούς, του ναυτίλου.

Τώρα πάρτε ένα μολύβι και χαράξτε μια γραμμή από το κέντρο της σπείρας προς τα έξω. Τονίστε δύο σημεία όπου αυτή η γραμμή τέμνει τη σπείρα, με την προϋπόθεση ανάμεσά τους η σπείρα να εκτελεί μία ολοκληρωμένη περιστροφή. Θα διαπιστώσετε ότι το εξωτερικό σημείο είναι 1,618 φορές πιο μακριά από το κέντρο από το εσωτερικό. Δηλαδή, ο χρυσός αριθμός είναι ο παράγοντας ανάπτυξης του ναυτίλου.

fibonaciΠού αλλού συναντάμε τους αριθμούς Φιμπονάτσι; Στον αριθμό της σπείρας που μπορούμε να μετρήσουμε αριστερά και δεξιά στους σπόρους των ηλίανθων, στον αριθμό των πετάλων των λουλουδιών (3 στο αγριόκρινο, 5 ή 8 σε κάποια φυτά του γένους ranunculus, ενώ οι μαργαρίτες και οι ηλίανθοι συνήθως έχουν 13, 21, 34, 55 ή 85 πέταλα...) και στον αριθμό των ανθών στα σπιράλ του κουνουπιδιού και του μπρόκολου. Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να εντοπίσουμε τους αριθμούς Φιμπονάτσι στον πλάτανο και τη μηλιά.

Το καλύτερο σύστημα οργάνωσης

Για ποιο λόγο η φύση δείχνει ιδιαίτερη αδυναμία στην ακολουθία Φιμπονάτσι; Τα φύλλα, τα πέταλα και οι σπόροι οργανώνονται στα φυτά ακολουθώντας ένα συγκεκριμένο μοτίβο γιατί έτσι, καθώς αναπτύσσονται, αξιοποιούν με τον καλύτερο δυνατό τρόπο το διαθέσιμο χώρο. Αν κατανείμουμε τα φύλλα στο μίσχο σύμφωνα με το χρυσό αριθμό, όλα θα επωφελούνται στο μέγιστο βαθμό από το φως του ήλιου, χωρίς να κρύβει το ένα το άλλο. Τα λουλούδια, χάρη στο χρυσό αριθμό, προσελκύουν όσο το δυνατόν καλύτερα τα έντομα που μεταφέρουν τη γύρη. Η ακολουθία Φιμπονάτσι είναι η πιο επιτυχημένη προσέγγιση του αριθμού φ.

Parthenon-Phi-Golden-Ratio-4Μετά από όλα αυτά, δε μας κάνει εντύπωση το γεγονός ότι ο Παρθενώνας είναι κατασκευασμένος σύμφωνα με το χρυσό αριθμό. Το ίδιο συμβαίνει και με τις διαστάσεις των πιστωτικών καρτών. Εξάλλου, υπάρχει τίποτα ωραιότερο στη φύση από μια Visa χωρίς πιστωτικό όριο;

Πηγή: Περιοδικό Focus , εικόνες διαδίκτυο , για να μάθετε πιο πολλά: goldennumber

Κατηγορίες:
Νέα

Γιατί κάποιοι είναι καλοί στα μαθηματικά και κάποιοι άλλοι στη γλώσσα

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

mathimatika-1

Γάλλοι νευροεπιστήμονες ανακάλυψαν στον εγκέφαλο των επαγγελματιών μαθηματικών τα διακριτά νευρωνικά «αποτυπώματα» της προχωρημένης μαθηματικής σκέψης.

Τα εγκεφαλικά αυτά «κυκλώματα», που ενεργοποιούνται από τις δύσκολες μαθηματικές έννοιες, αποτελούν σε μεγάλο βαθμό το ίδιο νευρωνικό δίκτυο που «χαρίζει» στους ανθρώπους την κατανόηση των απλών αριθμών. Απλώς στην περίπτωση των «υψηλών» μαθηματικών, η δραστηριοποίηση αυτού του δικτύου είναι πιο έντονη. Όμως είναι τελείως διακριτό από το αντίστοιχο νευρωνικό δίκτυο για τη γλώσσα που υπάρχει στο αριστερό ημισφαίριο του ανθρώπινου εγκεφάλου.

Οι ερευνητές, με επικεφαλής τον κορυφαίο Γάλλο νευροεπιστήμονα Στανισλάς Ντεάν του Κολεγίου της Γαλλίας και της Μονάδας Γνωσιακής Νευροαπεικόνισης, που έκαναν τη σχετική δημοσίευση στο περιοδικό της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών των ΗΠΑ (PNAS), μελέτησαν με την τεχνική της λειτουργικής μαγνητικής απεικόνισης (fMRI) τους εγκεφάλους 15 υψηλού επιπέδου μαθηματικών και -για λόγους σύγκρισης- 15 μη μαθηματικών, που ήσαν επίσης υψηλού ακαδημαϊκού επιπέδου. Και οι δύο ομάδες συμμετεχόντων κλήθηκαν να χαρακτηρίσουν ως αληθείς, ψευδείς ή άνευ νοήματος μια σειρά από μαθηματικές και μη μαθηματικές έννοιες και δηλώσεις.

Διαπιστώθηκε ότι έννοιες που προέρχονταν από τα μαθηματικά (ανάλυση, άλγεβρα, γεωμετρία, τοπολογία), ενεργοποιούσαν συγκεκριμένες εγκεφαλικές περιοχές στους μαθηματικούς, αλλά όχι στους μη μαθηματικούς. Οι περιοχές αυτές είναι διαφορετικές από εκείνες που σχετίζονται με την επεξεργασία της γλώσσας και την κατανόηση του νοήματος του λόγου και οι οποίες ενεργοποιούνται σε όλους τους ανθρώπους, μαθηματικούς και μη.

Από την άλλη, οι περιοχές του εγκεφάλου που ενεργοποιούνται από τις προχωρημένες μαθηματικές έννοιες, «πυροδοτούνται» επίσης, αν και σε μικρότερο βαθμό, όταν οι άνθρωποι -μαθηματικοί και μη- κάνουν απλούς υπολογισμούς με αριθμούς.

Ο ανθρώπινος εγκέφαλος είναι μοναδικός στο ζωικό βασίλειο – από όσο γνωρίζουμε τουλάχιστον- στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών. Το πώς και γιατί εξελίχθηκε αυτή η ικανότητα στους προγόνους μας τους πιθήκους, παραμένει ακόμη ένα επιστημονικό μυστήριο.

Δύο είναι οι βασικές θεωρίες που έχουν προταθεί. Είτε ότι η μαθηματική ικανότητα αναπτύχθηκε παράλληλα και ως παρακλάδι της γλωσσικής ικανότητας (κάτι που υποστηρίζει και ο Νόαμ Τσόμσκι), είτε ότι η μαθηματική ικανότητα είναι ουσιαστικά άσχετη με τη γλώσσα (κάτι που π.χ. πίστευε ο Αϊνστάιν). Η νέα νευροεπιστημονική έρευνα έρχεται να ενισχύσει τη δεύτερη άποψη και μάλλον θα ικανοποιήσει τους περισσότερους μαθηματικούς.

Σύμφωνα με τους γνωσιακούς νευροεπιστήμονες, θεωρείται πιθανό ότι τα μαθηματικά αναδύθηκαν στον ανθρώπινο εγκέφαλο μέσα από τις αρχαίες και μη γλωσσικές διαισθήσεις που είχαν οι πρόγονοί μας σχετικά με το χώρο, το χρόνο και τον αριθμό. Ακόμη και τα νήπια φαίνεται να έχουν τέτοιες αφηρημένες πρωτο-μαθηματικές διαισθήσεις, οι οποίες αποτελούν το θεμέλιο για την πιο προχωρημένη μαθηματική σκέψη.

__________________

  Πηγή: medicalland.gr

by Αντικλείδι , http://antikleidi.com

Κατηγορίες:
Νέα

Η ομορφιά των μαθηματικών

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Εκτός από την προφανή "ακαδημαϊκή" τους χρησιμότητα, οι μαθηματικές εξισώσεις μας ακολουθούν σχεδόν σε όλες τις εκφάνσεις τις καθημερινής μας ζωής και πολλές φορές μπορούν να θεωρηθούν έργα τέχνης. Μια καλή απόδειξη αποτελεί το παρακάτω video των Yann Pineill και Nicolas Lefaucheux.

 "Τα μαθηματικά διαθέτουν όχι μόνον αλήθεια, αλλά και ανώτερη ομορφιά, τόση όση μόνον η πιο μεγαλειώδης τέχνη μπορεί να επιδείξει.",  Μπέρτραντ Ράσελ, μαθηματικός και φιλόσοφος.

 "Τα μαθηματικά είναι, κατά κάποιο τρόπο, η ποίηση των λογικών ιδεών.", Αϊνστάιν.

by Αντικλείδι , http://antikleidi.com

Κατηγορίες:
Νέα
web design by