Ένας καθηγητής του MIT δίδασκε το ίδιο μάθημα μαθηματικών για 62 χρόνια, και την ημέρα που συνταξιοδοτήθηκε, φοιτητές από κάθε χώρα της γης εμφανίστηκαν διαδικτυακά για να παρακολουθήσουν την τελευταία του διάλεξη. Το όνομά του είναι Gilbert Strang και το μάθημα είναι η Γραμμική Άλγεβρα (MIT 18.06). Γεννημένος το 1934 και κάτοχος διδακτορικού από το UCLA, ο Strang δεν ήταν απλώς ένας λαμπρός μαθηματικός. Ήταν ένας δάσκαλος με όλη τη σημασία της λέξης.

Eιδικοί στη μηχανική μάθηση, επιστήμονες δεδομένων, αναλυτές ποσοτικών μοντέλων, αυτοδίδακτοι προγραμματιστές που κατανοούν πραγματικά πώς λειτουργεί η Τεχνητή Νοημοσύνη, έμαθαν τα μαθηματικά από αυτόν τον άνθρωπο. Οι περισσότεροι από αυτούς δεν πάτησαν ποτέ το πόδι τους στην πανεπιστημιούπολη του MIT. Απλώς άνοιξαν μια δωρεάν playlist στο YouTube και τον άφησαν να τους διδάξει.

Ο Strang εντάχθηκε στο μαθηματικό τμήμα του MIT το 1962. Συνταξιοδοτήθηκε το 2023. Επί 61 χρόνια στεκόταν στον ίδιο μαυροπίνακα διδάσκοντας το ίδιο αντικείμενο σε 18χρονους.

Όταν το 2002 στο MIT ξεκίνησε το OpenCourseWare, οι περισσότεροι καθηγητές ήταν σκεπτικοί. Ανησυχούσαν ότι βάζοντας τις διαλέξεις τους στο διαδίκτυο, θα έκαναν τις αίθουσές τους περιττές. Ο Strang δεν δίστασε. Είπε ότι η αποστολή της ζωής του ήταν να ανοίξει τα μαθηματικά σε φοιτητές παντού. Βιντεοσκόπησε κάθε διάλεξη και την πρόσφερε δωρεάν. Η απόφαση αυτή άλλαξε αθόρυβα τον τρόπο με τον οποίο ο κόσμος μαθαίνει μαθηματικά.

Για δεκαετίες η γραμμική άλγεβρα διδασκόταν με τον λάθος τρόπο. Οι καθηγητές ξεκινούσαν με αφηρημένους διανυσματικούς χώρους και αποδείξεις για τα αξιώματα πεδίων. Οι φοιτητές πνίγονταν στην αφαίρεση. Οι περισσότεροι τα παρατούσαν. Έφευγαν πιστεύοντας ότι ήταν κακοί στα μαθηματικά, ενώ απλώς είχαν διδαχθεί με μια σειρά που κανενός ο εγκέφαλος δεν είναι φτιαγμένος να αφομοιώσει. Ο Strang αντέστρεψε ολόκληρο το πρόγραμμα σπουδών. Ξεκίνησε με τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Κάτι που μπορείς να γράψεις στο χαρτί. Κάτι που μπορείς να υπολογίσεις με το χέρι. Κάτι που μπορείς να δεις. Στη συνέχεια, έδειξε στους φοιτητές του ότι όλα τα υπόλοιπα στην γραμμική άλγεβρα – τα ιδιοδιανύσματα, η ορθογωνιότητα, η ιδιάζουσα παραγοντοποίηση πίνακα, οι τέσσερις θεμελιώδεις υπόχωροι – ήταν απλώς ένας διαφορετικός φακός για να κατανοήσεις τι πραγματικά έκανε ο πίνακας στο παρασκήνιο.

Ο κανόνας του ήταν αυστηρός. Αν ένας φοιτητής δεν μπορούσε να εξηγήσει μια έννοια χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα (έναν πίνακα 3×3), τότε ο φοιτητής αυτός δεν είχε κατανοήσει πραγματικά την έννοια. Η αφαίρεση έπρεπε να έρχεται τελευταία, όχι πρώτη. Η διαίσθηση ήταν το θεμέλιο. Οι αποδείξεις ήταν απλώς η επιβεβαίωση ότι η διαίσθηση ήταν σωστή.

Το δεύτερο χαρακτηριστικό του Strang ότι στην τάξη του έλεγε «παρακαλώ» και «ευχαριστώ» στους μαθητές του. Σε κάθε διάλεξη. Σταματούσε στη μέση μιας παραγωγής μαθηματικού τύπου για να ρωτήσει «τα λέω καλά;» για να ελέγξει αν είχε χαθεί κανείς. Ποτέ δεν χρησιμοποίησε τη λέξη «προφανώς» ή «τετριμμένα», επειδή ήξερε ακριβώς τι κάνουν αυτές οι λέξεις σε έναν φοιτητή που βρίσκεται ένα βήμα πίσω. Αντιμετώπιζε 19χρονους που μάθαιναν μαθηματικά για πρώτη φορά με τον ίδιο τρόπο που αντιμετώπιζε τους συναδέλφους του. Με υπομονή. Με σεβασμό. Με την παραδοχή ότι η θέση τους ήταν μέσα σε αυτή την αίθουσα. Για 62 χρόνια.

Το αποτέλεσμα είναι κάτι που δεν έχει συμβεί ποτέ στην ιστορία της εκπαίδευσης. Ένας μόνο καθηγητής μαθηματικών έγινε ο βασικός δάσκαλος του αντικειμένου του για ολόκληρο τον πλανήτη. Πανεπιστήμια στην Ινδία, την Κίνα, τη Βραζιλία, τη Νιγηρία, σε κάθε χώρα με τμήμα επιστήμης υπολογιστών, άρχισαν να λένε στους δικούς τους φοιτητές απλώς να παρακολουθούν τις διαλέξεις του Strang. Το Πανεπιστήμιο του Ιλινόις αναθεώρησε το μάθημα της γραμμικής άλγεβρας ώστε να μην έχει σχεδόν καμία δια ζώσης διάλεξη. Ο λόγος ήταν ειλικρινής. Ο καθηγητής είπε ότι δεν μπορούσαν να ανταγωνιστούν τα βίντεο.

Η τελευταία του διάλεξη έγινε τον Μάιο του 2023. Το αμφιθέατρο ήταν γεμάτο με φοιτητές που δεν τον είχαν γνωρίσει ποτέ πριν. Περπάτησε μέχρι τον μαυροπίνακα, δίδαξε για μια ώρα, και στο τέλος ολόκληρη η αίθουσα σηκώθηκε όρθια και χειροκρότησε. Για μια στιγμή φάνηκε μπερδεμένος, σαν να μην καταλάβαινε ειλικρινά γιατί τον επευφημούσαν. Μετά χαμογέλασε, τους χαιρέτησε με το χέρι του και βγήκε έξω.

Το γραπτό του σχόλιο κάτω από το βίντεο της τελευταίας διάλεξης στο YouTube αποτελούνταν από δυο προτάσεις. Είπε ότι η διδασκαλία ήταν μια υπέροχη ζωή. Είπε ότι ήταν ευγνώμων σε όλους όσους είδαν την σημασία της γραμμικής άλγεβρας. Αυτό ήταν όλο. Κανένας αποχαιρετιστήριος λόγος. Καμία προσπάθεια διαχείρισης της υστεροφημίας του. Ο άνθρωπος του οποίου η διδασκαλία αποτελεί το θεμέλιο της σύγχρονης Τεχνητής Νοημοσύνης, απλά ευχαρίστησε το κοινό και πήγε σπίτι του.

Ο πυρήνας της επανάστασης της Τεχνητής Νοημοσύνης στηρίζεται πάνω σε μαθηματικά που εκατομμύρια άνθρωποι έμαθαν δωρεάν από έναν χαμηλού προφίλ καθηγητή στο Cambridge. Το μάθημα βρίσκεται ακόμα στο MIT OpenCourseWare. Κάθε διάλεξη, κάθε σετ ασκήσεων, κάθε εξέταση, κάθε λύση. Δωρεάν. Το πιο σημαντικό μάθημα μαθηματικών του 21ου αιώνα βρίσκεται ένα κλικ μακριά μας. Αλλά οι περισσότεροι άνθρωποι δεν θα κάνουν ποτέ αυτό το κλικ.

ΠΗΓΗ

Για σχεδόν 80 χρόνια, οι μαθηματικοί μελετούν ένα φαινομενικά απλό ερώτημα: Αν τοποθετήσουμε οποιονδήποτε αριθμό κουκκίδων σε μια επίπεδη επιφάνεια, ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός ζευγών που θα μπορούσαν να απέχουν μεταξύ τους μια συγκεκριμένη μοναδιαία απόσταση (π.χ. 1 εκατοστό). Το ερώτημα διατυπώθηκε το 1946 από τον Paul Erdos, έναν από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα.

Για παράδειγμα, αν διαθέτουμε n=3 κουκκίδες, μπορούμε να τις τοποθετήσουμε στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου ώστε να σχηματίζονται u(3)=3 ζεύγη που απέχουν μοναδιαία απόσταση. Αν έχουμε n=4 κουκκίδες, τότε η καλύτερη διευθέτηση είναι όπως στο παρακάτω σχήμα, όπου προκύπτουν u(4)=5 τέτοια ζεύγη, ενώ αν διαθέτουμε n=5 κουκκίδες, στην καλύτερη διευθέτηση επιτυγχάνονται u(5)=7 ζεύγη, κ.ο.κ.

Βέβαια, καθώς αυξάνεται ο αριθμός των κουκκίδων τα σχήματα (στα οποία ζητείται να απέχουν μεταξύ τους μοναδιαία απόσταση όσο το δυνατόν περισσότερα ζεύγη), ξεφεύγουν από την παραπάνω συμμετρία και γίνονται όλο και πιο περίπλοκα.

Ο Erdos υπέθεσε ένα συγκεκριμένο, δισδιάστατο πλέγμα ως την απόλυτα καλύτερη διάταξη που απαντά στο ερώτημα. Οι μαθηματικοί συμφωνούσαν με την εικασία του Erdos, θεωρώντας ότι ο μέγιστος αριθμός u(n) των ζευγών που ισαπέχουν, διαθέτει ένα κάτω και ένα πάνω όριο σύμφωνα με την εξής ανισότητα: . Και καθώς το n γίνεται όλοένα και μεγαλύτερο, το στην ουσία τείνει στο μηδέν .

Τι πέτυχε η Τεχνητή Νοημοσύνη

Επί 80 χρόνια, κανένας μαθηματικός δεν μπόρεσε να βρει μια καλύτερη διάταξη, αλλά ούτε και να αποδείξει μαθηματικά ότι ο Erdos είχε όντως δίκιο. Όμως οι περισσότεροι θεωρούσαν δεδομένο ότι η εικασία του ήταν σωστή.

Πριν από μερικές ημέρες ανακοινώθηκε ότι το μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης της OpenAI διέψευσε τον Erdοs, ανακαλύπτοντας μια νέα κλάση κατασκευών. Αντί να προσπαθήσει να βελτιώσει τα δισδιάστατα πλέγματα, η Τεχνητή Νοημοσύνη έκανε το εξής: Κατασκεύασε ένα εξαιρετικά πολύπλοκο πλέγμα σε πολυδιάστατο χώρο, όπου ειδικές μαθηματικές συμμετρίες επέτρεψαν τη δημιουργία πολύ περισσότερων ζευγών στη ζητούμενη απόσταση. Στη συνέχεια, βρήκε έναν μαθηματικό τρόπο να προβάλει αυτό το πολυδιάστατο σχήμα πίσω στις δύο διαστάσεις. Η τελική διάταξη είναι τόσο περίπλοκη που είναι αδύνατον να σχεδιαστεί με το χέρι.

Eκείνο που κατάφερε η Τεχνητή Νοημοσύνη τελικά ήταν να ανεβάσει το κάτω όριο ώστε: . Έτσι, ενώ η εικασία του Erdos έλεγε ότι «δεν μπορεί στο κάτω όριο, , να υπάρχει σταθερός εκθέτης μεγαλύτερος από το 1″, ο υπολογισμός της Τεχνητής Νοημοσύνης έδειξε ότι αυτό δεν ισχύει, αφού μπορεί να πάρει την τιμή 1,014, καταρρίπτοντας έτσι οριστικά την ιστορική εικασία.

Το αποτέλεσμα αυτό είναι η πρώτη απόδειξη Τεχνητής Νοημοσύνης που πιθανότατα θα δημοσιευόταν σε κορυφαίο μαθηματικό περιοδικό, αν είχε επιτευχθεί αποκλειστικά από ανθρώπους. Οι μαθηματικοί χαρακτήρισαν τη μέθοδο της τεχνητής νοημοσύνης «έξυπνη» και «κομψή».

«Καμία προηγούμενη απόδειξη που έχει δημιουργηθεί από ΤΝ δεν έχει πλησιάσει» στο να ικανοποιεί αυτά τα υψηλά πρότυπα, έγραψε ο Timothy Gowers, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ, σε σχόλιο που ζητήθηκε από την OpenAI.
«Αυτό είναι το μοναδικό ενδιαφέρον αποτέλεσμα που έχει παραχθεί αυτόνομα από την ΤΝ μέχρι στιγμής», λέει ο Daniel Litt, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Τορόντο, ο οποίος κλήθηκε από την OpenAI να επαληθεύσει την απόδειξη, χωρίς να έχει σχέση με την εταιρεία.

Το μέλλον εξακολουθεί να εξαρτάται από τον άνθρωπο

Ωστόσο, η ΤΝ δεν απέδειξε ότι η προσέγγισή της είναι η καλύτερη που μπορεί να επιτευχθεί. Μάλιστα, ο μαθηματικός Will Sawin έχει ήδη βελτιώσει το πλέγμα της ΤΝ [An explicit lower bound for the unit distance problem].

Αρκετοί από τους ειδικούς που συμβουλεύτηκε η OpenAI σημείωσαν ότι, αν και το πρόβλημα ήταν ευρέως γνωστό, μια απόδειξη ότι ο Erdős είχε δίκιο θα ήταν μαθηματικά πολύ πιο πλούσια από ένα αντιπαράδειγμα. «Το μοντέλο της ΤΝ δεν εφηύρε κάτι ριζικά νέο που κανείς δεν είχε προβλέψει», λέει ο Sébastien Bubeck, μαθηματικός που ηγείται των μαθηματικών ερευνών της OpenAI. «Απλώς εκτέλεσε [το πρόβλημα] σαν ένας εκπληκτικός μαθηματικός».

Οι ειδικοί έσπευσαν επίσης να προσθέσουν ότι, χωρίς την παρέμβαση των ανθρώπων για να «συμμαζέψουν» τη δουλειά της ΤΝ, το αποτέλεσμα δεν θα ήταν τόσο πειστικό. «Ο άνθρωπος εξακολουθεί να διαδραματίζει ζωτικό ρόλο στην συζήτηση, την κατανόηση και τη βελτίωση αυτής της απόδειξης, καθώς και στη διερεύνηση των συνεπειών της», έγραψε ο μαθηματικός Thomas Bloom.

Η μαθηματικός του Πανεπιστημίου Χάρβαρντ, Melanie Matchett Wood, λέει ότι η πρόοδος των ανθρώπων πιθανότατα περιοριζόταν από την πεποίθησή τους ότι η εικασία ήταν αληθής. Αν όλοι οι ειδικοί είχαν αφιερώσει τον ίδιο χρόνο αναζητώντας ένα αντιπαράδειγμα, λέει, θα το είχαν βρει.

Αυτό είναι εύλογο διότι η λύση της ΤΝ ήταν, εκ των υστέρων, μια άμεση προσέγγιση που κανένας άνθρωπος δεν είχε προσπαθήσει ποτέ, παρόλο που τα εργαλεία υπήρχαν ήδη. Πραγματικά νέες, πρωτοποριακές ιδέες παραμένουν πέρα από τις δυνατότητες της σημερινής ΤΝ, αφήνοντας αντ’ αυτού τις μηχανές να ερευνήσουν τη βιβλιογραφία για σπάνια «διαμάντια», όπου οι άνθρωποι αγνόησαν μια σχετικά απλή προσέγγιση. Ακόμα κι έτσι, ο Litt προσθέτει, «η μαντεψιά μου είναι ότι σύντομα θα διαπιστώσουμε πως τελικά δεν είναι και τόσο σπάνια».

Τέλος, η Wood προειδοποιεί για τα λιγότερο επιθυμητά χαρακτηριστικά της ΤΝ: Η ΤΝ τείνει να παρουσιάζει κάθε ιδέα ως δική της. «Αναγνωρίσαμε ότι υπήρχαν πολύ παρόμοιες ιδέες στη βιβλιογραφία που δεν έλαβαν την ανάλογη αναφορά», λέει η Wood. «Αν ένας άνθρωπος το έκανε αυτό, θα αποτελούσε επαγγελματικό παράπτωμα». Η μαθηματική κοινότητα πρέπει επειγόντως να αποφασίσει πώς θα χειριστεί την μη τήρηση των ακαδημαϊκών κανόνων από την ΤΝ, διότι τα πράγματα αλλάζουν γρήγορα. «Κάθε μαθηματικός που δεν χρησιμοποιεί τα τελευταία μοντέλα θα πρέπει να εκπλαγεί», καταλήγει η Wood. «Είναι ένας εντελώς διαφορετικός κόσμος σε σχέση με τον Δεκέμβριο του περασμένου έτους».

Το εν λόγω αποτέλεσμα δείχνει μια νέα μορφή συνεργασίας μεταξύ ΤΝ και μαθηματικών. Δεν λύνει μόνο ένα πρόβλημα, αλλά δημιουργεί νέες συνδέσεις μεταξύ πεδίων. Όπως γράφει ο Thomas Bloom: «Υπάρχουν πολύ περισσότερα που έχουν να πουν οι αριθμοθεωρητικές κατασκευές για τέτοια προβλήματα από ό,τι νομίζαμε…»

Το μήνυμα είναι ευρύτερο: η καλύτερη μαθηματική σκέψη κάνει την TN ισχυρό συνεργάτη στην έρευνα. Μπορεί να συνδέει έννοιες, να εξερευνά πολύπλοκες ιδέες και να βοηθά στην επίλυση δύσκολων προβλημάτων. Αυτό δεν αφορά μόνο τα μαθηματικά αλλά και πεδία όπως η βιολογία, η φυσική, η μηχανική και η ιατρική. Το μέλλον εξακολουθεί να εξαρτάται από τον άνθρωπο: οι ειδικοί επιλέγουν τα σημαντικά προβλήματα, ερμηνεύουν τα αποτελέσματα και αποφασίζουν τα επόμενα βήματα.

ΠΗΓΗ

Κορυφαίοι μαθηματικοί του κόσμου έμειναν έκπληκτοι από την ικανότητα της Τεχνητής Νοημοσύνης στα μαθηματικά

Τριάντα από τους πιο γνωστούς μαθηματικούς στον κόσμο σε μια συνάντηση που έγινε στα μέσα Μαΐου στο Μπέρκλεϊ της Καλιφόρνια μακριά από τα φώτα της δημοσιότητας, αντιμετώπισαν ένα chatbot σχεδιασμένο να λύνει δύσκολα μαθηματικά προβλήματα. Οι μαθηματικοί έφτιαξαν οι ίδιοι πρωτότυπα μαθηματικά προβλήματα και τα έδωσαν στο πρόγραμμα για να το δοκιμάσουν. Μετά από δύο ημέρες έμειναν έκπληκτοι όταν ανακάλυψαν πως ήταν ικανό να απαντήσει σε μερικά από τα πιο δύσκολα μαθηματικά προβλήματα. Ο Κεν Όνο μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Βιρτζίνια και ένας από τους διοργανωτές της συνάντησης, δήλωσε: «Έχω συναδέλφους που είπαν ότι αυτά τα μοντέλα πλησιάζουν την μαθηματική ιδιοφυΐα»

Το νέο chatbot βασίζεται στο o4-mini, ένα νέο είδος μεγάλου γλωσσικού μοντέλου (Large Language Model-LLM) που σχεδιάστηκε να κάνει πολύπλοκες λογικές σκέψεις. Ένα παρόμοιο μοντέλο της Google, το Gemini 2.5 Flash, έχει αντίστοιχες ικανότητες. Όπως και τα παλιότερα μοντέλα του ChatGPT, το o4-mini έχει μάθει να προβλέπει την επόμενη λέξη σε μια πρόταση. Όμως, σε αντίθεση με τα παλιότερα, είναι πιο ελαφρύ και πιο έξυπνα εκπαιδευμένο, χρησιμοποιώντας ειδικά δεδομένα και περισσότερη βοήθεια από ανθρώπους. Αυτό το κάνει ικανό να λύνει πολύ πιο δύσκολα μαθηματικά προβλήματα.

Για να παρακολουθήσει την πρόοδο του o4-mini, η OpenAI ανέθεσε στην Epoch AI, έναν ανεξάρτητο οργανισμό που αξιολογεί τα LLM, να βρει 300 μαθηματικά προβλήματα των οποίων οι λύσεις δεν υπήρχαν πουθένα δημοσιευμένες. Βέβαια και τα παραδοσιακά LLM μπορούν να απαντήσουν σωστά σε περίπλοκα μαθηματικά ερωτήματα. Ωστόσο, όταν η Epoch AI έθεσε σε πολλά τέτοια μοντέλα αυτές τις ερωτήσεις, οι οποίες ήταν διαφορετικές σε σχέση με αυτές που είχαν εκπαιδευτεί, τα περισσότερα απέτυχαν. Και τα πιο επιτυχημένα κατάφεραν να λύσουν λιγότερα από το 2% των προβλημάτων, δείχνοντας ότι αυτά τα προγράμματα δεν είχαν την ικανότητα να σκέφτονται. Αλλά το o4-mini αποδείχθηκε πολύ διαφορετικό.

Η Epoch AI προσέλαβε τον Elliot Glazer, ο οποίος προαφάτως είχε ολοκληρώσει το διδακτορικό του στα μαθηματικά, για να συμμετάσχει στη νέα έρευνα, με την ονομασία FrontierMath, τον Σεπτέμβριο του 2024. Η έρευνα συγκέντρωσε νέες ερωτήσεις με ποικίλα επίπεδα δυσκολίας, με τα τρία πρώτα επίπεδα να καλύπτουν προκλήσεις σε προπτυχιακό, μεταπτυχιακό και ερευνητικό επίπεδο. Μέχρι τον Απρίλιο του 2025, ο Glazer διαπίστωσε ότι το o4-mini μπορούσε να λύσει περίπου το 20% των ερωτήσεων. Στη συνέχεια, προχώρησε σε ένα τέταρτο επίπεδο: ένα σύνολο ερωτήσεων που θα ήταν δύσκολο ακόμη και για έναν ακαδημαϊκό μαθηματικό. Μόνο μια μικρή ομάδα ανθρώπων στον κόσμο θα ήταν σε θέση να αναπτύξει τέτοιες ερωτήσεις, πόσο μάλλον να τις απαντήσει. Οι μαθηματικοί που συμμετείχαν έπρεπε να υπογράψουν μια συμφωνία εμπιστευτικότητας που απαιτούσε να επικοινωνούν αποκλειστικά μέσω της εφαρμογής ανταλλαγής μηνυμάτων Signal. Άλλες μορφές επικοινωνίας, όπως το παραδοσιακό email, θα μπορούσαν ενδεχομένως να σαρωθούν από ένα πρόγραμμα LLM και να το εκπαιδεύσουν ακούσια, μολύνοντας έτσι το σύνολο δεδομένων.

Κάθε πρόβλημα που δεν μπορούσε να λύσει το o4-mini θα απέδιδε στον μαθηματικό που το επινόησε μια αμοιβή 7.500 δολαρίων. Η ομάδα σημείωσε αργή, σταθερή πρόοδο στην εύρεση ερωτήσεων. Αλλά ο Glazer ήθελε να επιταχύνει τα πράγματα, οπότε η Epoch AI φιλοξένησε τη συνάντηση με φυσική παρουσία το Σάββατο 17 Μαΐου και την Κυριακή 18 Μαΐου. Εκεί, οι συμμετέχοντες θα οριστικοποιούσαν την τελευταία ομάδα ερωτήσεων. Οι 30 συμμετέχοντες χωρίστηκαν σε ομάδες των έξι. Για δύο ημέρες, οι μαθηματικοί ανταγωνίζονταν μεταξύ τους για να επινοήσουν προβλήματα που μπορούσαν να λύσουν, αλλά θα δυσκόλευαν την Τεχνητή Νοημοσύνη. Το πρόγραμμα τελικά όχι μόνο άρχισε να παρουσιάζει έξυπνες λύσεις, αλλά έδειχνε και θρασύτητα: σε κάποια φάση όταν ρωτήθηκε για την πηγή που χρησιμοποίησε σε κάποιον υπολογισμό του, απάντησε: «Δεν χρειάζεται παραπομπή αφού ο υπολογισμός έγινε από εμένα!»

Παρότι οι προσκεκλημένοι μαθηματικοί κατάφεραν τελικά να βρούν 10 ερωτήσεις που δυσκόλεψαν το πρόγραμμα, έμειναν έκπληκτοι από το πόσο είχε προχωρήσει η Τεχνητή Νοημοσύνη σε διάστημα ενός έτους. Πέρα από την ταχύτητά της, χρειαζόταν μόλις λίγα λεπτά για να κάνει αυτό που ένας επαγγελματίας μαθηματικός θα χρειαζόταν εβδομάδες ή και μήνες για να ολοκληρώσει. Σύμφωνα με τις δηλώσεις των μαθηματικών που συμετείχαν στην συνάντησης, οι επιδόσεις του προγράμματος o4-mini ξεπερνούν αυτή τη στιγμή τις ικανότητες των καλύτερων μεταπτυχιακών φοιτητών στον κόσμο!

ΠΗΓΗ

 

Το θεωρούμενο ως «Nόμπελ» των Μαθηματικών Βραβείο Abel 2023 απονεμήθηκε στον 75χρονο Luis A. Caffarelli

Οι εξισώσεις είναι εργαλεία που χρησιμοποιούν οι επιστήμονες για να προβλέψουν τη συμπεριφορά του φυσικού κόσμου. Τα περισσότερα φυσικά φαινόμενα όπως, κύματα διαφόρων ειδών, ροή ρευστών, διάδοση θερμότητας, διάχυση κ.ά, μπορούν να εκφραστούν ως «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ)», ένας τύπος εξίσωσεων με περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές  και μία άγνωστη συνάρτηση αυτών των μεταβλητών . Κανένας άλλος, εν ζωή, μαθηματικός δεν έχει συμβάλλει περισσότερο στην κατανόηση των μερικών διαφορικών εξισώσεων όσο ο αργεντινο-αμερικανός Luis A. Caffarelli. Ανακάλυψε έξυπνες νέες τεχνικές, ανέδειξε λαμπρή γεωμετρική διορατικότητα και έχει δώσει πολλά θεμελιώδη αποτελέσματα.

Γεννήθηκε στο Μπουένος Άιρες το 1948 και σπούδασε μαθηματικά στο πανεπιστήμιο του Μπουένος Άιρες. Υπό την επίβλεψη του Calixto Calderon, απέκτησε το διδακτορικό του το 1972 (τίτλος διατριβής: On conjugation and summability of Jacobi series) και το επόμενο έτος μετακόμισε στο πανεπιστήμιο της Μινεσότα ως μεταδιδακτορικός.

Στη Μινεσότα, ο Caffarelli άλλαξε την κατεύθυνση της έρευνάς του αφού παρακολούθησε μια σειρά διαλέξεων για την αρμονική ανάλυση που δόθηκε από τον Hans Lewy, έναν συνταξιούχο πολωνικής καταγωγής αμερικανό μαθηματικό. Ο Caffarelli ζήτησε από τον Lewy να του προτείνει μερικά προβλήματα για να ασχοληθεί και ο Lewy πρότεινε το «πρόβλημα εμποδίου». Ο Caffarelli έπρεπε να μάθει το θέμα από μηδενική βάση. Γρήγορα άρχισε να σημειώνει εκπληκτική πρόοδο στο θέμα και στην ευρύτερη περιοχή των «προβλημάτων ελεύθερων συνόρων».

Σαπουνόφουσκες και παγάκια
Το πρόβλημα του εμποδίου με το οποίο ο Caffarelli ξεκίνησε την έρευνά του είναι ένα στατικό πρόβλημα – δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Τέτοιο παράδειγμα είναι η επιφάνεια μιας σαπουνόφουσκας που ως γνωστόν τείνει να γίνει όσο το δυνατόν μικρότερη. Για να υπολογίσει κανείς το σχήμα τέτοιων ελάχιστων επιφανειών, χρειάζεται διαφορικές εξισώσεις. Ο Caffarelli ενδιαφέρθηκε για το πώς συμπεριφέρονται οι ελάχιστες επιφάνειες όταν συναντούν ένα εμπόδιο. Ένα από τα πιο σημαντικά ερωτήματα όταν εξετάζουμε αυτό το πρόβλημα είναι το μέγεθος της επιφάνειας της περιοχής όπου η σαπουνόφουσκα και το εμπόδιο βρίσκονται σε επαφή. Διαισθητικά θα έλεγε κανείς ότι η επιφάνεια επαφής της φυσαλίδας έχει ένα ομαλό όριο χωρίς γωνίες ή προεξοχές. Αλλά η μαθηματική του απόδειξη είναι πολύ δύσκολη γιατί πρέπει να υπολογιστέι το ελάχιστο εμβαδόν που προκύπτει για όλα τα είδη εμποδίων, κάτι που απαιτεί την επίλυση ενός εξαιρετικά μεγάλου αριθμού εξαιρετικά περίπλοκων διαφορικών εξισώσεων. Ο Caffarelli ξεκίνησε την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος στη δεκαετία του 1970 εξετάζοντας τις ιδιότητες των διαφορικών εξισώσεων και διαπίστωσε ότι το όριο της επιφάνειας επαφής δεν έχει σχισμές ή γωνίες – εφόσον το εμπόδιο είναι επίσης ομαλό.
Αυτή η εργασία του έδωσε τη δυνατότητα να επικεντρωθεί σε πιο περίπλοκα φαινόμενα, όπως η περιγραφή της τήξης ενός κύβου πάγου στο νερό. Ο φυσικός Josef Stefan είχε ήδη ανοίξει το δρόμο στα τέλη του 19ου αιώνα σ’ αυτό το πρόβλημα καταλήγοντας σε δύο τύπους. Ο πρώτος περιγράφει την ροή της θερμότητας από το νερό προς τον πάγο, με αποτέλεσμα ο πάγος να θερμαίνεται και να αρχίζει να λιώνει. Ο δεύτερος αναφέρεται στην εξαφανιζόμενη επιφάνεια επαφής μεταξύ του νερού και του πάγου. Και οι δύο εξισώσεις συνδέονται: ο ρυθμός της μεταφοράς θερμότητας εξαρτάται από την επιφάνεια του πάγου, ενώ η ροή θερμότητας καθορίζει πόσο γρήγορα συρρικνώνεται η επιφάνεια.
To λιώσιμο του πάγου είναι το πιο σημαντικό παράδειγμα ενός προβλήματος «ελεύθερων ορίων», όπου διερευνάται πώς μια διαδικασία όπως η διάχυση της θερμότητας πραγματοποιείται στα όρια, που σ’ αυτή την περίπτωση, το όριο είναι μεταξύ πάγου και νερού. Οι εξισώσεις του Stefan φαινόταν να περιγράφουν καλά το πρόβλημα, αλλά μέχρι τη δεκαετία του 1970 η επίλυση των εξισώσεων δεν ήταν ξεκάθαρη. Τίποτε δεν εμπόδιζε τις εξισώσεις να οδηγήσουν σε απίθανα σενάρια,π.χ. σε ένα σχήμα πάγου που μοιάζει με φράκταλ, το οποίο δεν είχε παρατηρηθεί ποτέ στη φύση. Επρόκειτο για πολύ πιο δύσκολο πρόβλημα από το στατικό πρόβλημα της σαπουνόφουσκας, αφού το λιώσιμο του πάγου περιέχει και την μεταβλητή του χρόνου. Επιπλέον σύμφωνα με τις εξισώσεις σε ένα παγάκι κατά τη διαδικασία της τήξης του, εμφανίζονται ιδιομορφίες – κορυφές, γωνίες και προεξοχές – ακόμα κι αν το αρχικό σχήμα του πάγου ήταν ομαλό. Δεν έχετε παρά να φανταστείτε ένα παγάκι σε σχήμα κλεψύδρας: μόλις λιώσει το συνδετικό τμήμα, σχηματίζονται δύο παγάκια με προεξοχές, τουλάχιστον για μικρό χρονικό διάστημα.
Ο Caffarelli απέδειξε ότι υπάρχουν ιδιομορφίες στα μαθηματικά της τήξης του πάγου. Επινόησε επίσης και έναν τρόπο προσδιορισμού του αριθμού των ιδιομορφιών κατά μήκος του ορίου πάγου-νερού, χωρίς να τις ‘εξημερώσει’, συμβάλλοντας όμως στην απόδειξη ότι ο πάγος που λιώνει παραμένει ομαλός (βλέπε Mathematicians Prove Melting Ice Stays Smooth).

Το 1976 δημοσίευσε έξι εργασίες και το 1977 είχε την πρώτη του εργασία στο έγκριτο περιοδικό Acta Mathematica με τίτλο «The regularity of free boundaries in higher dimensions«. (Αξίζει να σημειωθεί ότι εκείνο το χρονικό διάστημα 1977 έως 1979, ο Ιωάννης Αθανασόπουλος, καθηγητής σήμερα στο τμήμα μαθηματικών του πανεπιστημίου Κρήτης, ολοκλήρωσε την διδακτορική του διατριβή υπό την καθοδήγηση του L.A. Caffarelli).

Το 1980 ο Caffarelli μετακόμισε στο ινστιτούτο Courant του πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης, το οποίο ειδικεύεται στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Περπατώντας μια μέρα στην Chinatown με τον Robert Kohn και τον Louis Nirenberg (ο βραβευμένος με το βραβείο Abel 2015 -απεβίωσε το 2020), αποφάσισαν να συνεργαστούν σε ένα θέμα σχετικά με τις εξισώσεις Navier-Stokes, ένα σύνολο ΜΔΕ που περιγράφει την δυναμική των ρευστών. Το αποτέλεσμα αυτής της συνεργασίας ήταν η δημοσίευση του 1982 με τίτλο «Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations«, μια εργασία ορόσημο που αργότερα, το 2014, θα κέρδιζε το βραβείο Steele της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας. Όταν ο Nirenberg ρωτήθηκε αργότερα για τον Caffarelli ως μαθηματικός, απάντησε: «Φανταστική διαίσθηση. Απίστευτη. ..Δυσκολεύτηκα να συμβαδίσω μαζί του. Κατά κάποιο τρόπο βλέπει αμέσως πράγματα που οι άλλοι άνθρωποι δεν βλέπουν».

Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις Navier-Stokes περιγράφουν τη ροή των ρευστών. Οι εξισώσεις αυτές έχουν προκαλέσει ατέλειωτες συζητήσεις μεταξύ των μαθηματικών εδώ και αιώνες. Δεν είναι καν γνωστό ότι δίνουν πάντα μια πεπερασμένη και ομαλή λύση. Αυτό σημαίνει πως δεν είναι σαφές αν η ταχύτητα ροής μπορεί να αυξηθεί ξαφνικά σε κάποιο σημείο ή αν θα μπορούσε ακόμη να λάβει και απείρως μεγάλες τιμές. Αυτή η ερώτηση είναι ένα από τα επτά προβλήματα της Χιλιετίας, για τα οποία το ινστιτούτο Clay Mathematics προσέφερε βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων για την λύση του καθενός.
Οι Caffarelli, Kohn και Nirenberg έφτασαν σε ένα αποτέλεσμα που αντιπροσωπεύει την πιο σημαντική ανακάλυψη σε αυτόν τον τομέα μέχρι σήμερα: Αν οι λύσεις Navier-Stokes έπρεπε να περιέχουν ιδιομορφίες – ροές ρευστών που παρουσιάζουν ακανόνιστες μεταβολές ή απείρως μεγάλες ταχύτητες—αυτό θα σήμαινε ότι οι ιδιομορφίες προορίζονταν να εξαφανιστούν αμέσως. Αυτό το εύρημα δεν λύνει το σχετικό πρόβλημα του Millennium Prize, αλλά εγγυάται ότι, σύμφωνα με τις εξισώσεις, τα ρευστά θα συμπεριφέρονται με αυτόν τον περίεργο τρόπο, αν το κάνουν, για σύντομο χρονικό διάστημα – μια μεγάλη ανακούφιση για έναν σχεδιαστή αεροπλάνων ή αυτοκινήτων

Στις αρχές της δεκαετίας του ’80, ο Caffarelli είχε ήδη καθιερωθεί στην κοινότητα των μαθηματικών. Κέρδισε το βραβείο Guido Stampacchia το 1982 και το βραβείο Bôcher το 1984. Ο Caffarelli ήταν καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο από το 1983 έως το 1986, και στη συνέχεια μετακόμισε για μια δεκαετία στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών στο Πρίνστον. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου ασχολήθηκε κυρίως με την εξίσωση Monge-Ampère, μια άλλη γνωστή μη γραμμική ΜΔΕ, αναπτύσσοντας αυτό που τώρα ονομάζεται «θεωρία κανονικότητας του Caffarelli», που έχει σημαντικές εφαρμογές σε άλλους τομείς, όπως η θεωρία της βέλτιστης μεταφοράς.

Από το 1997 είναι καθηγητής μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ώστιν, όπου, μεταξύ άλλων εργασιών, έχει κάνει εντυπωσιακές προόδους στη θεωρία της ομογενοποίησης, ένα πεδίο έρευνας στις ΜΔΕ που εξετάζει φυσικές ιδιότητες σε διαφορετικές κλίμακες.

Ο Caffarelli δεν είναι μόνο αξιοσημείωτος για το βάθος του έργου του, είναι επίσης και εξαιρετικά παραγωγικός. Έχει δημοσιεύσει 320 εργασίες και, σε ηλικία 74 ετών, συνεχίζει να δημοσιεύει αρκετές εργασίες κάθε χρόνο. Είναι πολύ αγαπητός στην κοινότητα και έχει συν-γράψει εργασίες με περισσότερα από 130 άτομα. Οι εργασίες του Caffarelli είχαν 19.000 αναφορές, αριθμός που μαρτυρεί την επιρροή του στα σύγχρονα μαθηματικά, και είχε περισσότερους από 30 διδακτορικούς φοιτητές. Τιμήθηκε μεταξύ άλλων, με το βραβείο Rolf Schock 2005, το βραβείο Steele 2009 της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας, το βραβείο Wolf 2012, το μετάλλιο Solomon Lefschetz 2013 και το βραβείο Shaw 2018.

Πηγή

Σχετικά με τα Μαθηματικά

“Τα μαθηματικά διαθέτουν όχι μόνον αλήθεια, αλλά και ανώτερη ομορφιά […]  τόση όση μόνον η πιο μεγαλιώδης τέχνη μπορεί να επιδείξει.”
– BERTRAND  RUSSELL

“Τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών και η αριθμητική είναι η βασίλισσα των μαθηματικών.”
– CARL  FRIEDRICH  GAUSS

“Ο Αρχιμήδης θα παραμένει στη μνήμη των ανθρώπων όταν ο Αισχύλος θα έχει ξεχαστεί, επειδή οι γλώσσες πεθαίνουν ενώ οι ιδέες των μαθηματικών όχι.”
– G. H.  HARDY

“Εκείνος που κατανοεί τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιο, θαυμάζει λιγότερο τις επινοήσεις των νεότερων μεγάλων ανδρών.”
– G. W.  LEIBNIZ

“Στη βάση όλων των μαθηματικών βρίσκεται η καθαρή θεωρία συνόλων.”
– ANDREI  KOLMOGOROV

“Η έμπνευση στη γεωμετρία είναι το ίδιο απαραίτητη, όσο και στην ποίηση.”
– ΠΟΥΣΚΙΝ

“Οι αριθμοί κυβερνούν το σύμπαν.”
– ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ

“Η φιλοσοφία είναι καταγεγραμμένη σε αυτό το τεράστιο βιβλίο – εννοώ το Σύμπαν – που βρίσκεται συνέχεια μπροστά μας. Δεν μπορούμε όμως να το κατανοήσουμε, εκτός αν καταλάβουμε τη γλώσσα του και ερμηνεύσουμε τα στοιχεία με τα οποία έχει γραφεί.
Είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών και τα στοιχεία του είναι τα τρίγωνα, οι κύκλοι και τα άλλα γεωμετρικά σχήματα, χωρίς τα οποία είναι ανθρωπίνως αδύνατο να γίνει κατανοητή έστω και μία λέξη.”
– GALILEO  GALILEI

“Η γνώση στην οποία στοχεύει η γεωμετρία είναι η γνώση του αιώνιου.”
– ΠΛΑΤΩΝΑΣ

“Δικαιούμαστε να χαρακτηρίσουμε τέλεια μια μαθηματική θεωρία μόνο όταν μπορούμε να την εξηγήσουμε σχεδόν σε κάθε άνθρωπο.”
– DAVID  HILBERT

Τι είναι τα Μαθηματικά;

“Τι είναι λοιπόν τα Μαθηματικά;  Φαίνεται ότι έχουμε τρεις επιλογές:
– Τα Μαθηματικά είναι η ανθρωπιστική επιστήμη που υμνεί την αιώνια λογική.
– Είναι η φυσική επιστήμη που μελετά το φαινόμενο λογική.
– Είναι η τέχνη που πλάθει μορφές αιθέριας ομορφιάς από πρώτη ύλη που ονομάζεται λογική.
Είναι όλα αυτά και άλλα. Πάνω απ’ όλα, όμως, μπορώ να σας διαβεβαιώσω ότι τα Μαθηματικά είναι ευχαρίστηση.”
– W. T. TUTTE

“Τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα που χρησιμοποιεί ο εγκέφαλός μας, για να επικοινωνήσει με τον εαυτό του.”
                                                                                                                                                –  GRACIELLA  CHICHILNISKY


“Η ουσία των Μαθηματικών είναι η αλήθεια.”
                                                                                                                                                                       –  GEORG  CANTOR

“Τα Μαθηματικά είναι το αντικείμενο για το οποίο ποτέ δεν ξέρουμε για τι μιλάμε, ούτε αν αυτό που λέμε είναι αλήθεια.”
– BERTRAND  RUSSELL

“Εκείνο το υλικό που μερικές φορές είναι διαυγές … και μερικές φορές ασαφές … είναι … τα μαθηματικά.”
– IMRE  LAKATOS

Περιοχές των Μαθηματικών

“Η Άλγεβρα είναι γεναιόδωρη. Συχνά δίνει περισσότερα από όσα της ζητούνται.”
– D’ ALEMBERT

“Ο κάθε ανόητος μπορεί να κάνει ερωτήσεις σχετικά με τους πρώτους, που και ο σοφότερος μαθηματικός δεν θα μπορεί να απαντήσει.”
– G. H.  HARDY

“Ένα πρόβλημα της θεωρίας αριθμών είναι εξίσου διαχρονικό μ’ ένα αληθινό έργο τέχνης.”
– DAVID  HILBERT

“Η έννοια, η οποία είναι πραγματικά θεμελιώδης, που αποτελεί τη βάση και διεισδύει σε όλη τη μοντέρνα Ανάλυση και Γεωμετρία, είναι αυτή της φανταστικής ποσότητας στην Ανάλυση και του φανταστικού χώρου στη Γεωμετρία.”
– ARTHUR   CAYLLEY

“Σύμφωνα με τον Leibniz, ζούμε στον καλύτερο δυνατό κόσμο. Γι’ αυτό το λόγο οι νόμοι του είναι δυνατόν να περιγραφούν από αρχές ακροτάτων.”
– C. L. SIEGEL

“Αποστρέφομαι με φόβο και φρίκη την αξιοθρήνητη κακία των συναρτήσεων που δεν έχουν παραγώγους.”
– CHARLES  HERMITE

“Ενώ η Ανάλυση ενδιαφέρεται για ολόκληρα μεταλλεία, η Γεωμετρία ψάχνει για τις ωραίες πέτρες.”
– S. S.  CHERN

“Στον κόσμο δεν συμβαίνει τίποτε του οποίου η σημασία να μην συμπίπτει με εκείνη κάποιου μεγίστου ή ελαχίστου.”
– LEONARD  EULER

“Αν κολλήσετε σε ένα πρόβλημα Απειροστικού Λογισμού και δεν ξέρετε τι άλλο να κάνετε, δοκιμάστε να ολοκληρώσετε κατά μέρη ή να κάνετε αλλαγή μεταβλητών.”
– JERRY  KAZDAN

“Όταν μια ποσότητα είναι μέγιστη ή ελάχιστη, εκείνη τη στιγμή η ροή της ούτε αυξάνεται ούτε ελαττώνεται.”
– I.  NEWTON

“Το ζήτημα που τίθεται σε κάθε επιστημονική εργασία είναι τούτο:
μαγεία  ή  γεωμετρία.”
– RENE  THOM

“Η εκθετική συνάρτηση ταυτίζεται με την παράγωγό της
Αυτή είναι η πηγή όλων των ιδιοτήτων της εκθετικής συνάρτησης και ο κύριος λόγος της μεγάλης σημασίας που έχει στις εφαρμογές.”
– R. COURANT    H. ROBBINS

“Νομίζω ότι [η θεωρία του Cantor] είναι ένα από τα σπουδαιότερα δείγματα ανθρώπινης  ευφυΐας και ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της ανθρώπινης δραστηριότητας.”
– DAVID  HILBERT

“Κανείς δεν θα μας εκδιώξει από τον παράδεισο που δημιούργησε ο Cantor για μας.”
– DAVID  HILBERT

Η μάθηση στα Μαθηματικά

“Όταν ήμουν μικρός, κόμπαζα για το πόσο πολλές σελίδες διάβαζα σε μία ώρα. Στο κολέγιο έμαθα πόσο βλακώδες ήταν αυτό. Το να διαβάζεις δέκα σελίδες μαθηματικά την ημέρα μπορεί να είναι ένας εξαιρετικά γοργός ρυθμός. Ακόμα και μία σελίδα, όμως, μπορεί να είναι αρκετή.”
– WILLIAM THURSTON

“Το ξεκίνηµα της άλγεβρας το βρήκα πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας.
Έπρεπε να αποστηθίσω: ‘το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους’.
Δεν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µου πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι µου, πράγµα που δεν διέγειρε µε κανένα τρόπο τη νόηση µου.”
– BERTRAND  RUSSEL

“Ένα μαθηματικό πρόβλημα πρέπει να είναι αρκετά δύσκολο ώστε να μας κινητοποιεί. Όχι όμως απρόσιτο, ώστε να βρίσκεται πέρα από τις δυνατότητές μας. Πρέπει να λειτουργεί ως οδηγός στα δαιδαλώδη μονοπάτια της κρυμμένης αλήθειας και ως υπόμνηση της χαράς μιας επιτυχούς λύσης.”
– DAVID  HILBERT

Γιατί ασχολούμαστε με τα Μαθηματικά;

“Όποιος τα αγνοεί [τα μαθηματικά] δεν μπορεί να γνωρίσει τις άλλες επιστήμες ούτε και τα αντικείμενα του κόσμου μας …  Και το χειρότερο είναι ότι οι άνθρωποι που τα αγνοούν δεν συνειδητοποιούν την ίδια τους την άγνοια και επομένως δεν προσπαθούν να τη θεραπεύσουν.“
– ΡΟΓΗΡΟΣ  ΒΑΚΩΝ

“Η ζωή είναι ευχάριστη για δύο μόνο λόγους:
για την ανακάλυψη στα Μαθηματικά και για τη διδασκαλία των Μαθηματικών.“
– SIMEON  POISSON

“Όταν ήμουν 11 χρονών άρχισα να διαβάζω τα Στοιχεία του Ευκλείδη… Αυτό ήταν ένα από τα μεγάλα γεγονότα στη ζωή μου, τόσο εκτυφλωτικό όσο και ο πρώτος έρωτας. Δεν είχα ποτέ φανταστεί ότι υπήρχε κάτι τόσο γοητευτικό στον κόσμο.“
– BERTRAND  RUSSEL

_______________________

Πηγή: birbakos.gr

Απόσπασμα από το νέο βιβλίο του Απόστολου Δοξιάδη «Ερασιτέχνης επαναστάτης» (Πρώτο μέρος, Κεφ. 5, σελ. 224 – 226), Εκδόσεις Ίκαρος, Δεκέμβριος 2018.

[…] Ξεκινώ από την παρατήρηση ότι δεν είναι για όλους ίδιος ο δρόμος που φτάνει στην τέχνη του Πυθαγόρα και του Ευκλείδη. Άλλοι αποφασίζουν να ασχοληθούν με τα μαθηματικά επειδή τους έρχονται εύκολα, άλλοι επειδή τους μαγνητίζουν ως διανοητικά προβλήματα, σαν σπαζοκεφαλιές ας πούμε, ενώ κάποιοι, όχι οι περισσότεροι νομίζω, επειδή αποκτούν μαζί τους, όπως απέκτησα κι εγώ, μια έντονη συναισθηματική σχέση. Η τελευταία αυτή κατηγορία εκδηλώνει όλα τα συμπτώματα του έρωτα, και μάλιστα του εφηβικού – αφού κατά κανόνα σε αυτή την εποχή της ζωής εμφανίζεται ο έρωτας για τα μαθηματικά. Έτσι κι εγώ, όπως όλοι οι παθιασμένοι εραστές κάθε λογής, έβλεπα στο αντικείμενο του πάθους μου ανυπέρβλητη ομορφιά. Και, καθώς ήμουν φύση ρομαντική – θα μου πείτε, δεν είναι, έστω πρόσκαιρα, ο κάθε ερωτευμένος; –, αυτή την ομορφιά δεν την έβλεπα για ανθρώπινη, γήινη, αλλά σαν ακτινοβολία ενός άλλου κόσμου.

Αυτού του τύπου την ομορφιά στα μαθηματικά τη γεύτηκα αρχικά, σε μικρότερες δόσεις, σε κάποιες σπουδαίες αποδείξεις που μελέτησα, όπως των Πυθαγορείων για το γεγονός ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα ακεραίων ή του Ευκλείδη για την απειρία των πρώτων αριθμών. Αντιδρώντας στην ομορφιά της μεγάλης ποίησης, ένιωθα ένα ρίγος συγκίνησης. Εδώ πήγαινα παραπέρα. Σε εκείνο το κλάσμα του δευτερολέπτου που συνειδητοποιούσα την απόλυτη αλήθεια της απόδειξης –πάντα είναι ένα κλάσμα του δευτερολέπτου, έστω κι αν έρθει ύστερα από ώρες συνειδητού κόπου– ένιωθα μέσα μου ένα ρίγος που την υφή του δεν μπορώ να τη βάλω σε λόγια. Ήταν μια κατάσταση στην οποία δεν είχα ξαναβρεθεί στη ζωή μου, που επιπλέον ήταν εθιστική: κάθε νέο ρίγος που μου δημιουργούσε ένα θεώρημα με έκανε να αποζητώ περισσότερα παρόμοια.

Το απόγειο της αίσθησης της υπερβατικής ομορφιάς των μαθηματικών το άγγιξα για πρώτη φορά σε ένα βιβλίο στην Αθήνα, προτού πάω στο Κολούμπια. Το είχα βρει στα ράφια του ξενόγλωσσου τμήματος του παλιού Ελευθερουδάκη, και με είχε τραβήξει το όνομα του συγγραφέα: Νικολά Μπουρμπακί. Το αγόρασα βέβαιος ότι το παράξενο όνομα δήλωνε κάποιον άγνωστό μου συμπατριώτη, σπουδαίο μαθηματικό που σταδιοδρομούσε στη Γαλλία –αφού το βιβλίο ήταν στα γαλλικά–, σύντομα όμως έμαθα ότι άνθρωπος με αυτό το όνομα δεν υπήρχε. Ήταν το συλλογικό ψευδώνυμο μιας ομάδας σπουδαίων μαθηματικών, όλων Γάλλων, με μονάχα ένα ξένο μέλος στην αρχή: τον Σάμιουελ Άιλενμπεργκ. Το βιβλίο λεγόταν Θεωρία των Συνόλων, την οποία μέσα στην τύφλα μου νόμιζα ότι ήξερα. Όμως, αρχίζοντας να διαβάζω το βιβλίο, κατάλαβα ότι παρουσίαζε κάτι που ήταν εντελώς άγνωστο. Στις πρώτες του σελίδες, που λόγω της εννοιολογικής τους πυκνότητας μου πήραν μέρες να τις καταλάβω, διάβασα με δέος την αναγωγή της θεωρίας σε κάποια στοιχειώδη αξιώματα και, μέσα από αυτό το χτίσιμο, από κάτω προς τα πάνω, ολόκληρου του λογικού της οικοδομήματος – κάτι αντίστοιχο, δηλαδή, με αυτό που είχε κάνει πριν από είκοσι τρεις αιώνες ο Ευκλείδης για τη γεωμετρία, αλλά εδώ σε ένα επίπεδο διανοητικής αφαίρεσης πολύ πιο υψηλό, και γι’ αυτό ασύγκριτα πιο γοητευτικό.

Το πέρασμα από το υπερσύνθετο στο πολύ απλό και από εκεί πάλι προς τα πάνω, στην κατασκευή του υπερσύνθετου, έτσι όπως παρουσιάζεται στο βιβλίο των –και όχι του– Νικολά Μπουρμπακί, μου φάνηκε ότι κινούνταν στα όρια της μαγείας, μιας μαγείας όμως αληθινής, όχι σαν των ταχυδακτυλουργών. Στη μαγεία των μαθηματικών, όπως τη βίωσα τότε, είδα την υπόσχεση για την αποκάλυψη της πεμπτουσίας της αλήθειας. Είχα την αίσθηση ότι, προχωρώντας κι άλλο στη μελέτη τους, αργά ή γρήγορα θα αντίκριζα το Απόλυτο. Και αυτό, πέρα από την ομορφιά του, θα ήταν γιατρικό για κάθε ψυχικό μου βάσανο, ακόμα και για τον φόβο του θανάτου.[…]

Σημ. 1: Ο Απόστολος Δοξιάδης, με «όχημα» μια εργασία του με μαθηματικό θέμα, έγινε δεκτός, στα 15 του χρόνια, στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια της Νέας Υόρκης για να σπουδάσει μαθηματικά, προσκεκλημένος από τον Σάμιουελ Άιλενμπεργκ, «τον πατέρα της Θεωρίας των Κατηγοριών, η οποία μεταμόρφωσε τα μαθηματικά στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα» («Ερασιτέχνης επαναστάτης», σελ. 221) και ενός εκ των μη Γάλλων μελών των Νικολά Μπουρμπακί. Ακολούθως συνέχισε με μεταπτυχιακές σπουδές στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά στην École Pratique des Hautes Études στο Παρίσι.

Σημ. 2: Ο Απόστολος Δοξιάδης είναι ο συγγραφέας, μεταξύ άλλων, του πολυμεταφρασμένου μυθιστορήματος «Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ» (Εκδόσεις Καστανιώτη 1992), το οποίο χαρακτηρίστηκε από την Independent ως «η γένεση του είδους της μαθηματικής λογοτεχνίας», και συνιδρυτής, μαζί με τον Τεύκρο Μιχαηλίδη και τον Πέτρο Δελλαπόρτα, της ομάδας «Θαλής + Φίλοι», που δημιουργήθηκε το 2005 «από την ανάγκη των εμπνευστών της να εξερευνήσουν τη σχέση ανάμεσα στα μαθηματικά και την αφήγηση».

Σημ. 3: Η 14η Μαρτίου (σήμερα) [3(oς μήνας), 14]είναι η Παγκόσμια Ημέρα της Σταθεράς π.

Πηγή: andro.gr