απλός αρμονικός ταλαντωτής Archives

Θεωρούμε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή για τον οποίο: $\Sigma F=ma=-Dx$ ή $\frac{d^{2}x((t)}{dt^{2}}+\omega^{2}x(t)=0$ , όπου $\omega=\sqrt{\frac{D}{m}}$ , η κυκλική ιδιοσυχνότητά του. Το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής: Τι συμβαίνει όταν με τον κατάλληλο τρόπο μεταβάλλουμε αργά τη κυκλική συχνότητα του ταλαντωτή;

Για να πάρουμε μια άμεση απάντηση πρέπει να λύσουμε την εξίσωση: $x''(t) +\omega^{2}(t) x(t)=0$ , η οποία συνήθως είναι αρκετά δύσκολη. Καταφεύγοντας στη … βιβλιογραφία θα διαπιστώσουμε ότι σε τέτοιου είδους κινήσεις υπάρχουν κάποιες διατηρήσιμες ποσότητες. Αποδεικνύεται ότι καθώς μεταβάλλεται το πλάτος και η ενέργεια του ταλαντωτή, ο λόγος της ενέργειας ως προς την συχνότητά του παραμένει σταθερός. Δηλαδή, $I=\frac{E(t)}{\omega(t)}=\sigma \tau a \theta$ . Το μέγεθος αυτό είναι γνωστό ως αδιαβατικό αναλλοίωτο (εξού και ο τίτλος της ανάρτησης). Πώς λοιπόν αποδεικνύεται ότι το μέγεθος $I$ παραμένει σταθερό όταν μεταβάλλεται η συχνότητα του ταλαντωτή;

Σύμφωνα με τα βιβλία κλασικής μηχανικής, για παράδειγμα στη σελ. 559 της Μηχανικής του Goldstein ή στις σελίδες που παρατίθενται στο παρακάτω ένθετο, από την Mηχανική του Landau …

adiabatic-invariants_landau Download

…. διαπιστώνουμε ότι πρόκειται για ένα αρκ

ετά δύσκολο ζήτημα. Υπάρχει ευκολότερος τρόπος προσέγγισης του προβλήματος, κατανοητός ακόμα και σε έναν καλό μαθητή Λυκείου ή έναν πρωτοετή που δεν έχει διδαχθεί τις Χαμιλτονιανές;

Η προσέγγιση WKB

Η προσέγγιση που παρατίθεται στη συνέχεια χρησιμοποιεί μόνο απλές παραγωγίσεις συναρτήσεων. Αν λοιπόν με κάποιο τρόπο μεταβάλλεται η κυκλική συχνότητα $\omega=\omega(t)$ τότε θα επιχειρήσουμε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης $x''(t) +\omega^{2}(t) x(t)=0$ , έχοντας κατά νου την προσέγγιση WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin). Πρόκειται για μια μέθοδο που δίνει προσεγγιστικές λύσεις σε διαφορικές εξισώσεις που εμφανίζονται στην διάδοση κύματος σε ανομοιογενές μέσο, στην κβαντομηχανική κ.α.

Υποθέτουμε μια λύση της μορφής: $x(t)=A(t) \cos [\omega (t) t]=A(t) \cos F(t)$ , όπου $F(t)=\omega (t) t$ . Κι αυτό είναι μια πολύ λογική υπόθεση αν δεχθούμε ότι στον χρόνο μιας περιόδου η μεταβολή της κυκλικής συχνότητας είναι σχεδόν αμελητέα. Αντικαθιστούμε την προσεγγιστική λύση στη διαφορική εξίσωση και αναδιατάσσοντας τους όρους παίρνουμε: $\left[ A'' -A\,F'^{2}+\omega^{2} \right] \cos F(t) + [2A' \, F''+A\,F''=0] \sin F(t) =0$ , οπότε προκύπτει το σύστημα των εξισώσεων:

$A'' -A\,F'^{2}+\omega^{2}=0 \,\,\, (1)$ και $\,\,\, 2A' \, F''+A\,F''=0 \,\,\, (2)$

H εξ. (2) γίνεται $-F''/F'=2A'/A$ ή $[ \ln (F')^{-1}]' =(\ln A^{2})'$ , οπότε $\ln(F')^{-1}=\ln(CA^{2})$ ή $F' \sim 1/A^{2}$ .

Αντικαθιστώντας στην (1) κάνοντας την ‘λογική’ παραδοχή ότι $A'' \cong 0$ , παίρνουμε $A^{4} \sim 1 / \omega^{2}$ ή $A \sim 1/ \sqrt{\omega}$ . Κι εδώ τελειώσαμε. Χρησιμοποιώντας αυτή τη σχέση προκύπτει εύκολα ότι: $I=\frac{E(t)}{\omega(t)}=\frac{\frac{1}{2}m \omega(t)^{2}A^{2}(t)}{\omega(t)}=\sigma \tau a \theta.$ .

‘Ομως, χρειάζεται προσοχή όταν μεταφέρουμε το αποτέλεσμα αυτό σε διάφορα συστήματα ταλαντωτών. Για παράδειγμα, στην περίπτωση μάζας δεμένης σε ένα ελατήριο, το αποτέλεσμα αυτό ισχύει όταν με κάποιο τρόπο μεταβάλλεται η σταθερά k του ελατήρίου. Όταν μεταβάλλεται η μάζα (και όχι το k) τότε παραμένει σταθερή η ποσότητα $\frac{E(t)}{\omega(t)\,m(t)}$ .

Παρόμοια προσοχή χρειάζεται και στην ταλάντωση του απλού εκκρεμούς όταν μεταβάλλεται πολύ αργά το μήκος του. Στην περίπτωση αυτή, αν $\theta_{0}$ η μέγιστη γωνία απομάκρυνσης, μπορούμε να γράψουμε την ολική του ενέργεια ως: $E=mg\ell (1-\cos \theta_{0}) \cong \frac{1}{2} mg\ell \theta_{0}^{2} \,\,\, (3)$ , αφού για μικρές γωνίες ταλάντωσης ισχύει $\cos \theta_{0} \cong 1 -\frac{\theta_{0}^{2}}{2}$ . Και για να αποφύγουμε το λάθος του Έντγκαρ Άλαν Πόε, θα θεωρήσουμε την σχέση μέγιστης απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας και γωνιακού πλάτους: $A(t) \sim \ell(t) \theta_{0}(t)$ . Έτσι, δεδομένου ότι $A \sim 1/ \sqrt{\omega}$ , έχουμε: $\theta_{0} \sim \frac{ \frac{1}{\sqrt{\omega}}}{ \ell}$ ή $\theta_{0} \sim 1/ \sqrt[4]{\ell^{3}}$ . Σύμφωνα με την τελευταία σχέση και την εξίσωση (3) προκύπτει εύκολα ότι ο λόγος $I=\frac{E(t)}{\omega(t)}$ παραμένει σταθερός καθώς μεταβάλλουμε αργά το μήκος του εκκρεμούς.

Πηγή

ΑΡΘΡΑ

ΣΧΟΛΙΑ

απλός αρμονικός ταλαντωτής (1 άρθρο)

Η αδιαβατική μεταβολή ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή