βραχυκύκλωμα (4 άρθρα)

Απόδειξη μαθηματικής ανισότητας με ηλεκτρικό βραχυκύκλωμα

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Θεωρούμε το παρακάτω κύκλωμα τεσσάρων αντιστατών (δυο με αντίσταση α και δυο με αντίσταση b):

H ολική αντίσταση θα είναι R=(α+b)/2. Στη συνέχεια συνδέουμε τα σημεία P και Q του κυκλώματος κλείνοντας τον διακόπτη. Παρατηρούμε ότι το αμπερόμετρο δείχνει πως το ηλεκτρικό ρεύμα αυξήθηκε. Αυτό σημαίνει πως η νέα ολική αντίσταση του κυκλώματος μειώθηκε(*): R’=2αb/(α+b)≤R=(α+b)/2 (στην περίπτωση που α=b η ολική αντίσταση παραμένει η ίδια).

Έχουμε λοιπόν ότι αb≤(α+b)2/4, δηλαδή … αποδείξαμε την γνωστή ανισότητα μεταξύ γεωμετρικού και αριθμητικού μέσου δύο θετικών αριθμών α και b: \sqrt{a \cdot b} \leq \frac{a+b}{2}

Κι όχι μόνο. Από την R=(α+b)/2≥R’=2αb/(α+b) παίρνουμε: \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{(\frac{a+b}{2})(\frac{2ab}{a+b})} \geq \frac{2ab}{a+b}, δηλαδή την διπλή ανισότητα που εκτός από τον αριθμητικό και γεωμετρικό μέσο, περιλαμβάνει και τον αρμονικό μέσο των αριθμών α και b:

\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a \cdot b} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}

Mπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω μέθοδο αποδεικνύοντας την γενικευμένη ανισότητα μεταξύ αριθμητικού και αρμονικού μέσου, θεωρώντας το παρακάτω κύκλωμα αντιστατών:

Η κάθε οριζόντια σειρά του παραπάνω κυκλώματος περιέχει τους αντιστάτες, α1, α2, …, αn σε διαφορετική διάταξη κάθε φορά

Όπως προηγουμένως διαπιστώνουμε πειραματικά ότι η ολική αντίσταση του κυκλώματος, όταν όλοι οι διακόπτες είναι ανοιχτοί, είναι μεγαλύτερη από την ολική αντίσταση όταν όλοι οι διακόπτες είναι κλειστοί, και έτσι εύκολα καταλήγουμε στην ανισότητα:

\frac{a_{1}+a_{2}+ \dots +a_{n}}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+ \frac{1}{a_{2}} + \cdots +\frac{1}{a_{n}}}

(*) Αποδεικνύεται και θεωρητικά πως όταν σ’ ένα κύκλωμα προκαλούμε βραχυκύκλωμα (μετατρέποντας κάποιες διαδρομές με άπειρη αντίσταση σε μηδενική αντίσταση), τότε η συνολική αντίσταση του κυκλώματος μειώνεται.

Πηγή

Κατηγορίες:
Φυσική & Φιλοσοφία

Παράδοση Φυσικής Β΄ Λυκείου Γενικής Παιδείας - Νόμος Joule - βραχυκύκλωμα - αποδέκτες (Μέρος 12)

0 ΣΧΟΛΙΑ

Κατηγορίες:
Θεωρία, Β' Λυκείου Γενικής Παιδείας, Παραδόσεις

Παράδοση Φυσικής Γ' Γυμνασίου - Nόμος Joule - Bραχυκύκλωμα - Aποδέκτες (Μέρος 8)

0 ΣΧΟΛΙΑ

Κατηγορίες:
Θεωρία, Γ' Γυμνασίου, Παραδόσεις

Πως μπορείς να βάλεις φωτιά χωρίς αναπτήρα αν έχεις σύρμα καθαρισμού και μια εννιάβολτη μπαταρία;

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Παρακολουθήστε τι σημαίνει βραχυκύκλωμα στη Φυσική...

Κατηγορίες:
Πειράματα, Νέα
web design by