«Mελετώντας τους νόμους οι οποίοι διέπουν ένα ρευστό, ο Euler αναγνώρισε ότι οι ποσότητες που προσδιορίζουν την τοπική κατάσταση του ρευστού εξαρτώνται όχι μόνο από το χρόνο αλλά και από τη θέση στο χώρο. Οπότε είναι ανάγκη να εξετάζονται αλλαγές των ποσοτήτων ως προς τέσσερις μεταβλητές: τρεις που προσδιορίζουν τη θέση στον τρισδιάστατο χώρο και μια που αντιστοιχεί στον χρόνο. Έτσι γεννήθηκε η έννοια του συστήματος μερικών διαφορικών εξισώσεων – το επίθετο «μερικές» αντί του «συνήθεις» δηλώνει ότι οι ποσότητες είναι συναρτήσεις πολλών και όχι μίας μεταβλητής. Στην περίπτωση των εξισώσεων Euler (οι εξισώσεις Navier-Stokes για ρευστά χωρίς ιξώδες), οι οποίες διατυπώθηκαν τον 18ο αιώνα, ελάχιστα κατανοούμε σήμερα. Το δε μεγάλο πρόβλημα του στροβιλισμού – μια συνήθης εμπειρία όποιου παρατηρεί χαώδεις δίνες πίσω από κάποιο εμπόδιο, ένα βράχο λόγου χάρη, στην ήρεμη ροή ενός ποταμού, καλύπτεται ακόμα από σκοτάδι» . [Δημήτρης Χριστοδούλου: Ο χαρακτήρας των φυσικών νόμων και η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων]
Στο σχολείο μαθαίναμε για το νόμο του Bernoulli, που προκύπτει από την διατήρηση της ενέργειας για ένα ιδανικό ρευστό με αστρόβιλη και μόνιμη ροή: 
Στην παραπάνω εξίσωση u(x,t) είναι το διανυσματικό πεδίο ταχύτητας του ρευστού, ρ η πυκνότητα του ρευστού, μ το μέτρο της εσωτερικής τριβής του ρευστού και g η επιτάχυνση εξαιτίας της εξωτερικής δύναμης (π.χ. της βαρύτητας).
Εκτός από το νόμο Bernoulli, στο σχολείο μαθαίναμε και την εξίσωση της συνέχειας που εκφράζει την διατήρηση της μάζας: 
Η εξίσωση ορμής (1) και η εξίσωση συνέχειας (2) είναι οι επονομαζόμενες εξισώσεις Navier-Stokes. Οι εξισώσεις Euler προκύπτουν από τις Navier–Stokes όταν μηδενίσουμε το ιξώδες, αν και ιστορικά οι εξισώσεις Euler προηγήθηκαν.
Απειρισμοί στις εξισώσεις Euler και Navier–Stokes
Ο Δημήτριος Χριστοδούλου είχε αναφερθεί στην απόδειξή του σχετικά με τις εξισώσεις Euler για συμπιεστά ρευστά ως εξής: αν σε ένα ρευστό, που αρχικά είναι απόλυτα ήρεμο και ομαλό, προκαλέσουμε μια μικρή διαταραχή οι ίδιες οι εξισώσεις της φύσης θα το οδηγήσουν αναπόφευκτα, σε πεπερασμένο χρόνο, σε μια κατάσταση όπου ο ρυθµός αλλαγής της θερµοκρασίας, της πίεσης και της ταχύτητας του ρευστού απειρίζονται. Όταν αυτοί οι ρυθμοί απειρίζονται, σχηματίζονται «κύματα κρούσεως».
Σε εκείνο το σημείο οι εξισώσεις δεν περιγράφουν πλέον μια συνεχή, ομαλή κατάσταση. Μόλις περάσει αυτό το κύμα κρούσεως, ο Χριστοδούλου έδειξε ότι το ρευστό αποκτά ακαριαία στροβιλισμό. Στο πρόβλημα του Χριστοδούλου των εξισώσεων Euler για συμπιεστά ρευστά, η απόδειξη σχηματισμού ανωμαλιών είναι ένα μνημειώδες μαθηματικό επίτευγμα διότι απαιτεί βαθιά κατανόηση της γεωμετρίας του χωροχρόνου, αλλά η φύση των εξισώσεων «επιτρέπει» πιο εύκολα τις ασυνέχειες.
Το Ινστιτούτο Clay είχε διατυπώσει ως εξής ένα από τα επτά «Προβλήματα της Χιλιετίας»: Στις εξισώσεις Navier-Stokes που περιγράφουν την κίνηση ασυμπίεστου ρευστού με εσωτερική τριβή (ιξώδες), αν ξεκινήσουμε από ομαλές αρχικές συνθήκες, παραμένει η λύση ομαλή για πάντα ή μπορεί κάποια στιγμή να εμφανιστεί μια ιδιομορφία, δηλαδή μια ποσότητα όπως η ταχύτητα ή οι παράγωγοί της να γίνει άπειρη; [Στην πραγματικότητα έχουν διατυπώσει τέσσερις παραλλαγές αυτού του ερωτήματος (A, B, C, D): δύο αφορούν το ρευστό χωρίς καμία εξωτερική δύναμη και δύο το επιτρέπουν να δρα πάνω του μια δεδομένη ομαλή εξωτερική δύναμη. Η διάκριση αυτή αποδεικνύεται κρίσιμη].
Συμβαίνει το ίδιο με το συμπιεστό ρευστό του Χριστοδούλου; Ή το διασώζει από τους απειρισμούς η εσωτερική τριβή; «Αυτό το πρόβλημα, το οποίο εµφανίζεται και στην απλουστευµένη περίπτωση που το ρευστό µπορεί να θεωρηθεί ασυµπίεστο, […] παραµένει απλησίαστο 260 χρόνια», είχε πει ο Χριστοδούλου.
Η λύση της Τεχνητής Νοημοσύνης
Πριν από μερικές ημέρες εμφανίστηκε μια δημοσίευση της OpenAI, η οποία ισχυρίζεται ότι κατασκεύασε λύση όπου, υπό την επίδραση μιας ομαλής (αλλά μη μηδενικής) εξωτερικής δύναμης, το ιξώδες δεν εμποδίζει την εμφάνιση μιας ιδιομορφίας σε πεπερασμένο χρόνο σε ασυμπίεστο ρευστό. Πρόκειται, σύμφωνα με την ανακοίνωση της OpenAI, για τις δύο από τις τέσσερις επίσημες εκδοχές του προβλήματος του Clay, τις C και D, οι οποίες επιτρέπουν ομαλή εξωτερική δύναμη. Οι εκδοχές A και B, χωρίς εξωτερική δύναμη, παραμένουν ανοιχτές.
Και ποιός μας βεβαιώνει ότι η απόδειξη της Τεχνητής Νοημοσύνης δεν παρασύρθηκε από τις συνήθεις «παραισθήσεις» της; Ως γνωστόν τα μεγάλα γλωσσικά μοντέλα μπορούν να παράγουν άνετα μαθηματικά «σεντόνια» που φαίνονται «σωστά», αλλά κρύβουν μοιραία λογικά άλματα, χαμένα πρόσημα ή κυκλικούς συλλογισμούς. Εδώ όμως μπαίνει το πρόγραμμα Lean 4 που δεν είναι πρόγραμμα τεχνητής νοημοσύνης. Το Lean μπορεί να ελέγξει τις «παραισθήσεις», να δει αν κάτι είναι είτε αληθές είτε ψευδές. Ελέγχει αν μια τυπικά διατυπωμένη απόδειξη ακολουθεί αυστηρά τους κανόνες του τυπικού συστήματος. Διαβάζει τα μαθηματικά αυστηρά ως κώδικα.
Λένε ότι το Lean 4 επαλήθευσε την απόδειξη της OpenAI: η ενέργεια μπορεί να συγκεντρωθεί σε έναν συγκεκριμένο στρόβιλο, ο οποίος αρχίζει να περιστρέφεται και να λεπταίνει τόσο πολύ και τόσο γρήγορα που τελικά η ταχύτητά του στο κέντρο απειρίζεται σε πεπερασμένο χρόνο, αλλά η συνολική κινητική ενέργεια παραμένει πεπερασμένη. Δημιουργείται, με άλλα λόγια, μια ανωμαλία (singularity), κάτι αντίστοιχο αλλά όχι όμως ταυτόσημο φαινόμενο με τα κύματα κρούσεως που είχε βρει ο Χριστοδούλου στα συμπιεστά ρευστά.
Η απόδειξη (ή διάψευση) της ομαλότητας των εξισώσεων Navier-Stokes βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στη συναρτησιακή ανάλυση. Απαιτεί τον συνδυασμό αμέτρητων εκτιμήσεων, ανισοτήτων και οριακών συνθηκών. Είναι μια εξαιρετικά πολύπλοκη, αλλά ως έναν βαθμό «μηχανική» διαδικασία. Ένα πλήθος 10.000 πρακτόρων ΤΝ μπορεί να εξερευνήσει ένα τέτοιο πρόβλημα σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα. Σύμφωνα με την ΟpenAI χρειάστηκαν μόνο 88 ώρες!
Όμως υπάρχουν κάποια άλλα μαθηματικά προβλήματα, όπως π.χ. η Υπόθεση Riemann (που αφορά την κατανομή των πρώτων αριθμών) από την θεωρία αριθμών και την μιγαδική ανάλυση στα οποία προς το παρόν τα σημερινά συστήματα Τεχνητής Νοημοσύνης δεν έχουν ακόμη δώσει κάποια λύση. Αυτά τα προβλήματα δεν λύνονται με μηχανικές διαδικασίες, αλλά απαιτούν την δημιουργία νέων μαθηματικών δομών και θεωριών, όπως έκανε ο Andrew Wiles για το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat). Τα σημερινά γλωσσικά μοντέλα είναι εξαιρετικά στο να συνθέτουν υπάρχουσα γνώση, αλλά το ερώτημα αν μπορούν να παράγουν πραγματικά πρωτότυπες μαθηματικές ιδέες παραμένει ανοιχτό (προς το παρόν).
ΠΗΓΗ
