fractals (2 άρθρα)

H διάσταση φράκταλ των τριγώνων Sierpinski

Σύμφωνα με την ευκλείδεια γεωμετρία λέμε ότι μια ευθεία είναι μονοδιάστατη, ένα επίπεδο είναι δύο διαστάσεων, ενώ ένας κύβος είναι τρισδιάστατος. Επίσης είναι γνωστό πως σύμφωνα με την θεωρία της σχετικότητας ζούμε σε έναν χώρο τεσσάρων διαστάσεων, όπου η τέταρτη διάσταση είναι ο χρόνος. Μέχρι εδώ όλα φαίνονται πολύ λογικά.

Όμως, υπάρχουν και οι φυσικοί που ασχολούνται με την θεωρία των χορδών. Αυτοί θεωρούν ότι ζούμε σε ένα σύμπαν 10 ή 11 διαστάσεων, ενώ πιο παλιά θεωρούσαν έως 26 διαστάσεις! Η πλειοψηφία του κόσμου όταν ακούει αυτούς τους ισχυρισμούς αντιμετωπίζει τους φυσικούς ως τρελούς. Κι αν οι φυσικοί είναι τρελοί, τότε οι μαθηματικοί θα είναι θεόμουρλοι γιατί θεωρούν αντικείμενα που έχουν κλασματικές διαστάσεις.

Μπορεί οι φυσικοί να χρησιμοποιούν μεγάλο αριθμό διαστάσεων για να περιγράψουν τον κόσμο που ζούμε, τουλάχιστον όμως ο αριθμός αυτός είναι ακέραιος. Οι μαθηματικοί, μετά την εργασία Mandelbrot [How long is the coast of britain? Statistical self-similarity and fractional dimension, όπου εισάγεται η έννοια της κλασματικής διάστασης των fractals], μιλάνε για υπαρκτά συστήματα των οποίων ο αριθμός των διαστάσεών τους δεν είναι ακέραιος αριθμός! Και τα συστήματα αυτά διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στην επιστήμη.

Μια γνωστή δομή φράκταλ είναι το τρίγωνο ή κόσκινο Sierpinski:

Πως υπολογίζουμε την διάσταση ενός τέτοιου αντικειμένου; Αν διπλασιάσουμε ένα μονοδιάστατο αντικείμενο (d=1), π.χ. ένα ευθύγραμμο τμήμα, τότε προκύπτουν 2 (2^d=2²) αντίγραφα. Αν διπλασιάσουμε ένα δισδιάστατο αντικείμενο (d=2), π.χ. ένα τετράγωνο τότε θα προκύψουν 4 (2^d=2²) αντίγραφα του αρχικού και αν διπλασιάσουμε ένα τρισδιάστατο αντικείμενο (d=3) π.χ. έναν κύβο, τότε προκύπτουν 8 (2^d=2³) αντίγραφα. Εφαρμόζοντας την ίδια συλλογιστική στο κόσκινο Sierpinski, αφού ο διπλασιασμός της πλευράς του προκαλεί την δημιουργία 3 αντιγράφων του εαυτού του, τότε η διάσταση d αυτών των αντικειμένων θα είναι 2^d = 3, οπότε d= log₂3≈1,585. Aυτή είναι η διάσταση φράκταλ ή διάσταση Hausdorff του κόσκινου Sierpinski.

Διαστάσεις και αντιστάσεις

Tι σχέση μπορεί να έχουν οι αντιστάσεις, τα βολτόμετρα και τα αμπερόμετρα με την διάσταση των φράκταλ; Κι όμως όπως θα δούμε στη συνέχεια μπορούμε να εκτιμήσουμε την διάσταση φράκταλ του κόσκινου Sierpinski χρησιμοποιώντας αντιστάσεις!

H αντίσταση R ενός μεταλλικού αγωγού υπολογίζεται από την εξίσωση R=ρL/Α, όπου ρ η ειδική αντίσταση του αγωγού, L το μήκος του και Α το εμβαδόν διατομής του. Έστω ότι το εμβαδόν διατομής του είναι πολύ μικρό σε σχέση με το μήκος του, A =d², όπου d<< L. Τότε ο αγωγός στην ουσία είναι (σχεδόν) μονοδιάστατος, και η αντίστασή του θα είναι ανάλογη με το μήκος του, R~L. Αν μεγαλώσουμε την μια διάσταση της διατομής του, θεωρώντας ότι A=Ld , τότε σχηματίζουμε ένα (σχεδόν) δισδιάστατο μεταλλικό φύλλο. Στην περίπτωση αυτή βλέπουμε ότι η αντίσταση του αγωγού είναι ανεξάρτητη του μήκους του R~L⁰. Τέλος, αν θεωρήσουμε ένα κυβικό σχήμα αγωγού έτσι ώστε A=L², τότε η αντίσταση είναι R∝L^-1. Συνδυάζοντας τα τρία αυτά αποτελέσματα παίρνουμε ότι η αντίσταση είναι:

όπου d(=1, 2, 3) είναι αναλόγως η ευκλείδεια διάσταση του συστήματος.

Χρησιμοποιώντας αντιστάσεις μπορούμε να κατασκευάσουμε διαδοχικά το τρίγωνα Sierpinski:

Πριν χρησιμοποιήσουμε το πολύμετρό μας για να μετρήσουμε την συνολική αντίσταση, ας κάνουμε μερικούς υπολογισμούς. Θεωρώντας ότι οι πλευρές των τριγώνων έχουν την ίδια αντίσταση (π.χ. R₀=1kΩ), εύκολα (ή δύσκολα) μπορούμε να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό ρεύμα που τις διαρρέει εφαρμόζοντας τους κανόνες του Κίρχοφ (ή επιχειρήματα συμμετρίας):

Έτσι, για το πρώτο τρίγωνο (n=1) προκύπτει R_ολ,1=2R₀/3, ενώ για το δεύτερο (n=2), R_ολ,2=10R₀/3=(5/3)∙2R₀/3. Συνεχίζοντας για n=3, 4, … κ.ο.κ. προκύπτει ότι:

Είναι σαφές ότι για το μήκος των πλευρών του περιβάλλοντος τριγώνου σε κάθε n-δομή Sierpinski είναι L=2^n-1. Χρησιμοποιoύμε αυτή την σχέση για να αντικαταστήσουμε το n με το μήκος L στην εξίσωση (2):

H εξίσωση αυτή έχοντας στο μυαλό μας την εξίσωση (1),γράφεται στην μορφή R~L^log₂5-d= L^{log₂5-log₂3} οπότε, η διάσταση φράκταλ του συστήματος των αντιστάσεων είναι d=log₂3≈1,585, όση ακριβώς είναι η διάσταση φράκταλ του κόσκινου Sierpinski.

Μέτρηση της διάστασης φράκταλ με βολτόμετρα και αμπερόμετρα

Ο .E. Creffield στην δημοσίευση με τίτλο ‘Fractals on a benchtop: Observing fractal dimension in a resistor network’ κατασκεύασε με αντιστάσεις του 1kΩ τα τρίγωνα Sierpinski για n=1, 2, 3, 4, 5 και μέτρησε την συνολική τους αντίσταση. Από τα δεδομένα αυτά βρήκε για τον εκθέτη της σχέσης R~L^x: x=0.743±0.002, πολύ κοντά στην θεωρητική τιμή x= log₂(5/3)=0.737.

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες ΕΔΩ:

Fractals on a benchtop Observing fractal dimension in a resistor network