Νέα (565 άρθρα)

Διαβάστε ένα εκπληκτικό άρθρο και ενημερωθείτε γιατί οι μέλισσες ξέρουν μαθηματικά καθώς και τα τζιτζίκια!

1.  Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟΝ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η συμμετρία που κατεξοχήν εκράζει την καλαισθησία και την ομορφιά είναι διάσπαρτη στον φυσικό κόσμο. Μερικές εικόνες μας πείθουν Η φύση λοιπόν γεωμετρεί!

Η συμμετρία στη φύση 

Η συμμετρία στη βιολογία είναι η ισόρροπη κατανομή των διπλών μερών του σώματος ή  του σχήματος ενός ζωντανού οργανισμού.  Το σώμα ή το  σχέδιο των περισσότερων πολυκύτταρων οργανισμών παρουσιάζουν κάποια μορφή συμμετρίας , είτε ακτινική συμμετρία ή διμερής συμμετρίας ή «σφαιρική συμμετρία».  Μια μικρή μειοψηφία δεν παρουσιάζουν συμμετρία (είναι ασύμμετρη).

Στη φύση και τη βιολογία , η συμμετρία είναι κατά προσέγγιση. Για παράδειγμα, τα φύλλα των φυτών, ενώ θεωρούνται συμμετρικά, σπάνια θα ταιριάζουν ακριβώς όταν διπλώνονται στη μέση.         

2.  Η ΜΕΛΛΙΣΣΑ ΓΝΩΡΙΖΕΙ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ!

Γιατί όμως η μέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο για την κατασκευή των κελιών της κερήθρας; Ιδού το ερώτημα!

1. Αφενός μεν «κλείνει» επακριβώς το επίπεδο χωρίς κενά, αλλά είναι και το μοναδικό σχήμα με την μικρότερη περίμετρο. Δηλαδή η μέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της.
2. Επιπλέον αποτελεί την καλύτερη διαμέριση για την αποθήκευση μέγιστου όγκου μελιού.Αποδεικνύεται με ανώτερα μαθηματικά ( λογισμό μεταβολών ) ότι αν θέλουμε να διαμερίσουμε ( να χωρίσουμε σε μικρότερα τμήματα ) ένα δοχείο ώστε να περιέχεται όσο το δυνατό μέγιστος όγκος στα κελιά της διαμέρισης αυτό επιτυγχάνετε με την επιλογή κανονικών εξαγώνων. Η μέλισσα  δηλαδή γνωρίζει και ανώτερα μαθηματικά!

Ποιος έβαλε τις συγκεκριμένες γεωμετρικές πληροφορίες στα απειροελάχιστα εγκεφαλικά κύτταρα αυτού του ζουζουνιού;

Και όπως λέει το διαφημιστικό σλόγκαν «Τυχαίο»;

Από όλα τα κανονικά επίπεδα σχήματα, εκείνα που η μέλισσα θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει για την κατασκευή των κελιών της, είναι τρία. Το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο. Μόνον αυτά τα τρία γεωμετρικά σχήματα «κλείνουν» ακριβώς το επίπεδο χωρίς να αφήνουν κενά μεταξύ τους. Π.χ. τα πεντάγωνα , τα επτάγωνα, οκτάγωνα κλ.π δεν «κουμπώνουν» επακριβώς μεταξύ των. Αφήνουν ενδιάμεσο κενό χώρο. (π.χ. Πενταγωνική και οκταγωνική διάταξη)

Γιατί όμως η μέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο; Ιδού το ερώτημα! Γνωρίζουμε ότι η μέλισσα σε κάθε κελλί εναποθέτει την αυτή ποσότητα μελιού. Ας υποθέσουμε ότι το απαιτούμενο εμβαδόν για κάθε κελί είναι 1 τετραγωνική μονάδα. Αν κατασκεύαζε π.χ. τετραγωνικές κυψελίδες τότε αυτές θα είχαν πλευρά 1 μονάδα μήκους, οπότε 1 Χ 1=1 τετραγωνική μονάδα. Αν θα κατασκεύαζε ισόπλευρες τριγωνικές κυψελίδες, τι μήκος θα έπρεπε να έχει η κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ώστε το εμβαδόν του να είναι ισοδύναμο με 1 τετραγωνική μονάδα;

Από τον τύπο υπολογισμού του εμβαδού (*) οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου επιλύουμε ως προς a και για εμβαδόν = 1 τετρ. μονάδα, βρίσκουμε ότι το τρίγωνο θα έπρεπε να έχει μήκος πλευράς ίσο με = 1,52 μονάδες μήκους.

Αν κατά τον ίδιο τρόπο υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς του ισοδύναμου κανονικού εξαγώνου, βρίσκουμε ότι το μήκος της πλευρά του ισούται με 0,62 μονάδες μήκους.

Επομένως :
- στην περίπτωση της τριγωνικής κατασκευής η περίμετρος του τριγώνου ισούται με 3 Χ 1,52 = 4,56 μονάδες μήκους.

- στην περίπτωση κατά την οποία η μέλισσα θα κατασκεύαζε ορθογωνικά κελιά το καθένα θα είχε περίμετρο 4 Χ 1 = 4 μονάδες μήκους.

- στην περίπτωση της εξαγωνικής κατασκευής η περίμετρος του κάθε κελιού ισούται με 0,62 Χ 6 = 3,72 μονάδες μήκους.

Συμπέρασμα:

Παρατηρούμε ότι η επιλογή του εξαγωνικού σχήματος δεν είναι τυχαία. Αφενός μεν «κλείνει» επακριβώς το επίπεδο χωρίς κενά, αλλά είναι και το μοναδικό σχήμα με την μικρότερη περίμετρο. Δηλαδή η μέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της.

Και συνεχίζω με κάτι πιο εντυπωσιακό. Η πλευρά του εξαγώνου (=0,62) σε σχέση με την πλευρά του ισοδυνάμου τετραγώνου (=1) έχουν σχέση χρυσής τομής. Πράγματι ο λόγος 1 / 0,62 = 1,62 όπου 1,62 = φ. Ο νόμος της τέλειας αρμονίας σε όλο του το μεγαλείο. Η πλευρές δηλαδή του των ισοδυνάμων τετραγώνου και εξαγώνου σχηματίζουν το χρυσό ορθογώνιο στο οποίο ο λόγος των πλευρών ισούται με 1,62 ήτοι =φ. Για τον αριθμό φ βεβαίως θα μπορούσαμε να αναπτύξουμε ολόκληρη πραγματεία αλλά δεν είναι επί του παρόντος. Αρκεί να αναφέρουμε ότι όλες οι αρμονικές σχέσεις στην φύση καθορίζονται από αυτόν το ιεροκρύφιο αριθμό. Οι αρχαίοι Έλληνες ήταν οι πρώτοι που τον είχαν προσδιορίσει μαθηματικώς και τον εφάρμοζαν σε κάθε καλλιτεχνική τους δημιουργία, γλυπτική αρχιτεκτονική, μουσική. (συμβολίζεται με το γράμμα της ελληνικής αλφαβήτου φ προς τιμή του Φειδία). Και εύλογα διερωτάται κανείς! Ποιος έβαλε τις συγκεκριμένες γεωμετρικές πληροφορίες στα απειροελάχιστα εγκεφαλικά κύτταρα αυτού του ζουζουνιού;

Και όπως λέει το διαφημιστικό σλόγκαν «Τυχαίο;», Μόνον που εδώ δεν απαντάμε «Δεν νομίζω» αλλά «Βεβαίως όχι!!!». «Δεν είναι καθόλου τυχαίο!!!»

    3.   Η ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΜΙΑΣ ΝΙΦΑΔΑΣ  ΧΙΟΝΙΟΥ
                                                  

" Παρατηρώντας μια νιφάδα χιονιού  στο μικροσκόπιο παρατήρησα ότι είναι ένα θαύμα ομορφιάς και είναι κρίμα να μην μπορεί να ειδωθεί από όλους. Είναι ένα σχεδιαστικό αριστούργημα και κανένα δεν επαναλαμβάνεται παρά εμφανίζεται μόνο μια φορά. Τέτοια ομορφιά τι κρίμα να λιώνει και να χάνεται"

Αυτά είπε ένας αγρότης των Η . Π. Α όταν με το μικροσκόπιο του και την φωτογραφική του μηχανή το 1925 απαθανάτισε τις εικόνες της απίστευτης κανονικότητας , συμμετρίας και καλαισθησίας της νιφάδας του χιονιού.

Η χιονονιφάδα

Ιδωμένη μ' ένα μεγεθυντικό φακό, η ομορφιά της χιονονιφάδας αποκαλύπτεται : ένα μικροσκοπικό γεωμετρικό κόσμημα, μια ζωντανή ένδειξη της περίπλοκης μορφής και της γοητείας που κρύβουν τα σχήματα της φύσης.

Όπως υποδηλώνει κι ο τίτλος του βιβλίου του, ο πρώτος που έθεσε το γρίφο του εξαγωνικού σχήματος της χιονονιφάδας ήταν ο Κέπλερ : " Πρέπει να υπάρχει κάποιος λόγος για τον οποίο, όποτε χιονίζει, οι αρχικοί σχηματισμοί του χιονιού επιδεικνύουν πάντα ένα εξάγωνο σχήμα. Γιατί δεν πέφτουν νιφάδες με πέντε ή επτά γωνίες ; γιατί πάντα με έξι, δεδομένου ότι δεν πέφτουν συμπυκνωμένες, αλλά παραμένουν διάσπαρτες ; "

Έχοντας μεγάλη εμπειρία σχετικά με τα σχήματα της φύσης και τα μαθηματικά τους ανάλογα, ο Κέπλερ έδωσε μια καλή εξήγηση για την εξαπλή συμμετρία της χιονονιφάδας. Γνωρίζοντας ότι το χιόνι αποτελείται από συμπυκνωμένο ατμό, θεώρησε ότι πήζει σε σταγονίδια συγκεκριμένου σχήματος που έχουν επίσης έναν συγκεκριμένο τρόπο επαφής, συμπεραίνοντας ότι : " Το εξαγωνικό σχήμα επιλέγεται από την σχηματική προσαρμογή κι από την αναγκαιότητα της ύλης, έτσι ώστε να μην υπάρχουν κενά και η συγκέντρωση του ατμού σε σχηματισμούς χιονιού να γίνει πιο ομαλά. "

Ακόμη, συνδέοντας την εξαπλή μορφή της χιονονιφάδας με την κρυσταλλική φύση του πάγου, γρήγορα κατευθύνθηκε προς την ιδέα ότι αποτελούνται από μεγάλο αριθμό πανομοιότυπων μικροσκοπικών μονάδων συνταιριασμένων σε σχήματα με κανονικότητα.

Όταν λοιπόν κάποιος δει στο μικροσκόπιο μια νιφάδα του χιονιού θα θαυμάσει το συμμετρικό σχήμα της. Πρόκειται για ένα μικροσκοπικό εξαγωνικό κρύσταλλο, που αποτελείται από έξι σχεδόν όμοια πέταλα. Έτσι αν τον περιστρέψουμε κατά 60 ή κατά 120 μοίρες γύρω από το κέντρο του θα φαίνεται ακριβώς όμοιος. O κρύσταλλος δηλαδή παραμένει αναλλοίωτος κάτω από έναν τέτοιο μετασχηματισμό περιστροφής, γεγονός που χαρακτηρίζει τη συμμετρία του.

4. Τα ζώα και τα... ανώτερα μαθηματικά

Αν τα ποτάμια και οι αράχνες εντυπωσιάζουν όσους ασχολούνται με τη γεωμετρία υπάρχουν άλλα ζώα, όπως οι πυγολαμπίδες και τα τζιτζίκια που μας εισάγουν σε? ανώτερα μαθηματικά.

Εδώ και δεκάδες χρόνια βιολόγοι είχαν παρατηρήσει ότι οι αρσενικές πυγολαμπίδες στις όχθες ποταμών της Μαλαισίας και της Ταϊλάνδης κατάφερναν να συγχρονίσουν τις λάμψεις τους με εκπληκτική ακρίβεια. Για την εξήγηση του φαινομένου χρειάστηκε η παρέμβαση φυσικών και μαθηματικών, όπως ο Στίβεν Στρόγκατζ από το πανεπιστήμιο Κορνέλ.

«Ουσιαστικά, έχουμε να κάνουμε με ενα πρόβλημα μαθηματικών και όχι βιολογίας» λεει χαρακτηριστικά ο ίδιος ο Στρόγκατζ, ο οποίος στήριξε τις έρευνές του στη θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης που χρησιμοποιείται για την μελέτη συστημάτων που αλληλεπιδρούν μέσω συντονισμού. Η θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης πρωτοεμφανίστηκε το 17ο αιώνα, όταν μαθηματικοί της εποχής παρατήρησαν πως δυο ή περισσότερα εκκρεμή που βρίσκονταν στο ίδιο δωμάτιο, ύστερα από μεγάλα χρονικά διαστήματα, άρχιζαν να συγχρονίζονται, λόγω των δονήσεων που μετέδιδαν το ενα προς το άλλο μέσω του τοίχου!

Παρεμφερή φαινόμενα συντονισμού τα οποία δεν έχουν εξηγηθεί πλήρως παρατηρούνται αρκετές φορές και σε τζιτζίκια και άλλα ζώα που παράγουν ταυτόχρονα τους ίδιους ήχους.

5. Πρώτοι  αριθμοί και... Τζιτζίκια

Τα τζιτζίκια, όμως, και συγκεκριμένα τα είδη Magicicada Septendecim και magicicada tredecim, παρουσίασαν ενα ακόμα χαρακτηριστικό για την εξήγηση του οποίου οι βιολόγοι ζήτησαν και πάλι τη βοήθεια των μαθηματικών. Και τα δυο αυτά είδη εμφανίζονται κάθε 17 και 13 χρόνια αντίστοιχα, ζευγαρώνουν, γενούν τα αυγά τους και πεθαίνουν.

Το υπόλοιπο διάστημα της ζωής τους παραμένουν ως νύμφες κάτω από το έδαφος. Σημασία εδώ έχει ότι ο κύκλος εμφάνισής τους είναι πάντοτε πρώτος αριθμός, δηλαδή διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα.

Το γεγονός αυτό οδήγησε αρκετούς επιστήμονες στοσυμπέρασμα ότι η μαθηματική αυτή ακρίβεια τα προστατεύει από κάποιο φυσικό κίνδυνο με παρόμοια χαρακτηριστικά περιοδικής εμφάνισης. Ενα σενάριο προέβλεπε ότι το τζιτζίκι επιχειρεί να αποφύγει κάποιο παράσιτο με παρόμοιο κύκλο ζωής. Αν, λόγου χάρη, το παράσιτο εμφανίζεται κάθε 4 χρόνια, το τζιτζίκι «αποφεύγει» έναν κύκλο που διαιρείται με το 4, αν εμφανίζεται κάθε 5 αποφεύγει έναν κύκλο που διαιρείτε με το 5 κ.ο.κ.

6. Η ΧΡΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΚΑΙ Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI

Ο Fibonacci ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται σήμερα ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός του Μεσαίωνα. Γεννήθηκε στη δεκαετία του 1170 και πέθανε το 1250.

Η σειρά Fibonacci είναι η σειρά στην οποία ο κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων της σειράς και είναι η 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...

Ο λόγος δυο διαδοχικών ζευγαριών της σειράς ονομάζεται χρυσή αναλογία και είναι ο φ=1.618033989.
Ο αντίστροφος του αριθμού είναι ο 0.618033989 δηλαδή 1/φ=φ+1.

Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά μεγαλώνουν με τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τόπο. Όμως η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδενδρα στους δακτυλίους των κορμών τους.

Όμως πώς προκύπτει αυτή η διάταξη, αυτή η συμμετρία σε σχέση με την ακολουθία; Στην περίπτωση του φυλλώματος μπορεί να σχετίζεται με τη μεγιστοποίηση του χώρου που είναι διαθέσιμος για την ανάπτυξη κάθε φύλλου ή το φώς πρέπει να πέφτει πάνω στο κάθε φύλλο. Η φύση προφανώς δεν προσπαθεί να χρησιμοποιήσει την ακολουθία Fibonacci, αυτή εμφανίζεται ώς το δευτερεύον αποτέλεσμα μιας πολύ βαθύτερης φυσικής διαδικασίας.

Οι πολυάριθμες εμφανίσεις της χρυσής αναλογίας, και των χρυσών ορθογωνίων στην τέχνη, είναι αντικείμενο συζητήσεων και ερευνών μεταξύ των ψυχολόγων για το κατά πόσο οι άνθρωποι αντιλαμβάνονται το χρυσό ορθογώνιο για παράδειγμα, ώς πιο όμορφο και αρμονικό σχήμα από οποιοδήποτε άλλο ορθογώνιο. Πέρα όμως από τα επιστημονικά δεδομένα η χρυσή αναλογία, ο αριθμός φ, περιβάλλεται από ένα πέπλο μυστηρίου, κυρίως γιατί εντυπωσιακές προσεγγίσεις του απαντώνται, εντελώς απρόσμενα σε ένα σωρό μέρη στη φύση. Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό δεκάγωνο. Η χρυσή αναλογία και τα σχήματα που σχετίζονται με αυτή συνεχίζουν να κινούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών, αλλά και των απλών ανθρώπων.

Tα μαθηματικά και το τριαντάφυλλο - Ακολουθία Fibonacci

Πιάνει στα χέρια του το τριαντάφυλλο και το παρατηρεί προσεκτικά . Διαπιστώνει ότι πάνω στο λουλούδι τα ροδοπέταλα διατάσσονται σε σπειροειδή μορφή. Παίρνει ένα μαχαιράκι και κόβει το λουλούδι. Ξεκινώντας από το κέντρο καταγράφει μια ομάδα με 5 ροδοπέταλα , που ξεφυτρώνουν  από την ίδια περιοχή,  η αμέσως ευρύτερη ομάδα έχει ( συμπεριλαμβανόμενης των πετάλων της προηγούμενης )   8 ροδοπέταλα συνολικά,  η επόμενη μεγαλύτερη ομάδα

( συμπεριλαμβανόμενων και των εσωτερικών) περιλαμβάνει  συνολικά 13,

η επόμενη 21 και το σύνολο είναι 34 ροδοπέταλα.

Οι συγκεκριμένοι αριθμοί του κάνουν εντύπωση . Τα ροδοπέταλα διατάσσονται έτσι ώστε οι αριθμοί που προκύπτουν να είναι όροι της ακολουθίας Fibonacci.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. . .

Καθένας από τους όρους της προκύπτει από το άθροισμα των δύο που προηγούνται.

Σε γλώσσα Άλγεβρας     α_ν = α_ν-1 + α_ν-2

Στο τριαντάφυλλο τα ροδοπέταλα που μέτρησε εκείνος ήταν τριαντατέσσερα.

Σε ρόδο με περισσότερα πέταλα θα είναι πενήντα πέντε.

Αν φτιάξουμε μια νέα ακολουθία με όρους τους λόγους των διαδοχικών όρων της προηγούμενης  θα έχουμε     3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21. . - με προσέγγιση θα είναι 1,5,   1,667,   1,6,   1,625,   1,615   1,619 . .  -  και θα διαπιστώσουμε ότι συγκλίνει προς έναν αριθμό. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ο αριθμός προς τον οποίο συγκλίνει η ακολουθία θα είναι ο φ, ο αριθμός (1+Ö5) /2 ή  - με τρία δεκαδικά -   ίσος με 1, 618, ο αριθμός που αντιστοιχεί στη ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ.

Χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο κομμάτια. Στη γλώσσα της ελληνικής Γεωμετρίας λέμε ότι κάνουμε μια ΤΟΜΗ η οποία είναι ΧΡΥΣΗ εφόσον ο λόγος του μεγάλου προς το μικρό είναι ίσος με το λόγο ολόκληρου προς το μεγάλο.

Η ακολουθία Fibonacci  και τα κουνέλια

Το πρόβλημα έχει ως εξής:

Σε ένα σπίτι στο χωριό γεννιέται ένα ζευγάρι κουνέλια. Τα κουνέλια αυτά χρειάζονται 2 μήνες για να μεγαλώσουν και να αρχίσουν να γεννούν. Έτσι μετά από δύο μήνες το ζευγάρι αυτό γεννά ένα νέο ζευγάρι στην αρχή κάθε μήνα. Τα νέα ζευγάρια μεγαλώνουν και αναπαράγονται κι αυτά με τον ίδιο τρόπο. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα έχουμε μετά από 3 μήνες , 4 μήνες , 6 μήνες , μετά από ένα χρόνο;

Απάντηση:

Στην αρχή του πρώτου μήνα έχουμε 1 ζευγάρι κουνέλια

Στην αρχή του δεύτερου μήνα έχουμε πάλι ένα ζευγάρι

Στην αρχή του τρίτου μήνα το ζευγάρι γεννά και έχουμε 2 ζευγάρια

Στην αρχή του τέταρτου μήνα το πρώτο ζευγάρι γεννά πάλι , αλλά το δεύτερο δεν είναι σε θέση
ακόμη,  δηλαδή 3 ζευγάρια.
Στην αρχή του πέμπτου μήνα γεννά πάλι το αρχικό ζευγάρι , γεννά και το δεύτερο , δε γεννά το τρίτο.
Σύνολο 5 ζευγάρια

Έτσι, το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών στην αρχή κάθε μήνα είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .. Παρατηρήστε ότι κάθε αριθμός στην ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αυτό είναι λογικό να συμβαίνει μια και στην αρχή κάθε μήνα έχουμε τα ζευγάρια που είχαμε τον προηγούμενο μήνα και επιπλέον τόσα νεογέννητα ζευγάρια όσα και ενήλικα ζευγάρια γονέων έχουμε.

Άρα οι αριθμοί Fibonacci είναι: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,.....  με τον κάθε αριθμό να προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων του.

1+1=2 , 1+2=3 , 3+5=8 , 5+8=13 ,.....

7. To  σχήμα της γης.

Αποδεικνύεται μαθηματικά ότι το σχήμα της γης ( πεπλατυσμένο σφαιροειδές ) είναι το ιδανικό για την ελαχιστοποίηση της έλξης της βαρύτητας στα εξωτερικά της άκρα.

8. Η αυτοομοιότητα στη φύση

Τρία χαρακτηριστικά παραδείγματα φυσικών αντικειμένων που εκδηλώνεται η αυτοομοιότητα είναι το κουνουπίδι, η φτέρη και οι ακτογραμμές.

α. Η φτέρη ανήκει στην κατηγορία των φυτών που εκδηλώνουν την ιδιότητα τηςαυτοομοιότητας με τον καλύτερο τρόπο. Μια φτέρη αποτελείται από φύλλα καθένα από τα οποία αποτελείται από πολλά μικρότερα. Και αυτά ακόμα τα μικρά φύλλα αποτελούνται από ακόμα μικρότερα που διατηρούν την ίδια δομή με τη φτέρη.

β. Αν από ένα κουνουπίδι αποσπάσουμε ένα κομμάτι θα διαπιστώσουμε ότι αυτό μοιάζει με το αρχικό, θα είναι ένα μικρότερο αντίγραφο. Αν από το πρώτο αποσπάσουμε ένα κομμάτι θα διαπιστώσουμε ότι είναι ακόμα μικρότερο αλλά εξακολουθεί να μοιάζει με το αρχικό.

γ. Ας παρατηρήσουμε χάρτες που περιγράφουν ακτογραμμές σε διαφορετικές κλίμακες. Αυτό που μας αποκαλύπτεται είναι μια όμοια κατανομή κόλπων και ακρωτηρίων. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι μια ακτογραμμή παρουσιάζει φράκταλ δομή με την έννοια ότι αν μεγεθύνεται εμφανίζονται νέοι κόλποι και α κρωτήρια και παρόλα αυτά εξακολουθεί να μοιάζει με ακτογραμμή.

Η αυτοομοιότητα στα μαθηματικά φράκταλ.

Η στοιχειώδης μοντελοποίηση μιας φτέρης μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη χρήση ενός υπολογιστικού περιβάλλοντος. Ένα μικρό πρόγραμμα που περιλαμβάνει πολλαπλές αναδρομικές κλήσεις, συνήθως, είναι αρκετό για να μοντελοποιήσουμε ορισμένα ενδιαφέρονα μαθηματικά φράκταλ όπως για παράδειγμα η φτέρη, το τρίγωνο του Sierpinski, τα φράκταλ δέντρα και η χιονονιφάδα του Koch η οποία φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Δείχνει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με μήκος πλευράς 3l. Στο κεντρικό τμήμα κάθε πλευράς τοποθετείται ένα όμοιο τρίγωνο με μήκος πλευράς l και η διαδικασία επαναλαμβάνεται απεριόριστα, δίνοντας ως αποτέλεσμα την λεγόμενη νιφάδα τού Koch.

'Ενα άλλο βασικό χαρακτηριστικό ενός φράκταλ είναι η μαθηματική παράμετρος που ονομάζεται διάσταση fractal D.

Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό που παραμένει το ίδιο άσχετα με το πόσο πολύ θα μεγεθυνθεί το αντικείμενο ή υπό ποία γωνία θα παρατηρηθεί. Η διάσταση fractal εκφράζεται με εναν μη ακέραιο αριθμό, δηλαδή από ένα "κλάσμα", αντίθετα προς την ευκλείδεια γεωμετρία.

Στο παραπάνω παράδειγμα, η περίμετρος κάθε σχήματος αυξάνει σε σχέση με αυτή τού αμέσως προηγουμένου σχήματος κατά τον λόγο 4 προς 3. Η διάσταση fractal D είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί το 3 για να δώσει 4, δηλαδή 3D = 4. Η διάσταση που χαρακτηρίζει την περίμετρο τού fractal του ανωτέρω σχήματος είναι log4/log3 ή πρoσεγγιστικά 1 ,26.

Το μήκος της περιμέτρου τού fractal είναι 3l*(4/3)*(4/3).... δηλαδή άπειρο, αλλά περικλείει ένα πεπερασμένο εμβαδόν που είναι μικρότερο από το εμβαδόν τού περιγεγραμμένου κύκλου στο αρχικό τρίγωνο. Η διάσταση fractal D αποκαλύπτει ακριβώς τις λεπτές διαφορές και την πολυπλοκότητα ενός μη ευκλείδειου σχήματος.

9. Βιομαθηματικά σχέδια

Πώς οι ζωντανοί οργανισμοί εκφράζουν πολύπλοκες συμπεριφορές και σχέδια, που δεν είναι προγραμματισμένα στο γενετικό τους κώδικα. 

Παρά τη χαμηλή της θέση στο δέντρο της ζωής, η αμοιβάδα Δικτυοστήλιο επιστημονικά, όπως λέγεται αυτό το είδος μούχλας, καταφέρνει να σχηματίσει θαυμάσια σπειροειδή σχήματα. Σε ποιο βαθμό αυτά τα σχέδια είναι προδιαγεγραμμένα στα γονίδια της αμοιβάδας; Υπάρχει πραγματικά γονίδιο για σπείρες;

Για να απαντήσουμε στην ερώτηση αυτή πρέπει να ξέρουμε πώς οι αμοιβάδες φτιάχνουν τις σπείρες. Τα σχέδια αυτά είναι στην πραγματικότητα αποτέλεσμα μιας συλλογικής δραστηριότητας. Τα σχέδια εμφανίζονται όταν η τροφή αρχίσει να μειώνεται. Οι αμοιβάδες αρχίζουν να πλησιάζουν προς ένα σημείο και στην πορεία αυτή συνήθως σχηματίζουν μια όμορφη λεπτή σπείρα. Το πλήθος των αμοιβάδων γίνεται όλο και πιο πυκνό και η σπείρα πιο σφιχτή. Σε κάποιο σημείο «σπάει» σε κλάδους. Τα κλαδιά παχαίνουν και καθώς όλο και περισσότερες αμοιβάδες προσπαθούν να φτάσουν στο κέντρο της σπείρας σχηματίζουν ένα σωρό, γνωστό σαν «γυμνοσάλιαγκα» (δεν έχει καμιά σχέση με το μαλάκιο γυμνοσάλιαγκας).

Ο «γυμνοσάλιαγκας» είναι μια αποικία αμοιβάδων, αλλά κινείται σαν να ήταν ένας οργανισμός. Μόλις βρει ένα στεγνό μέρος προσδένεται στο έδαφος και αναπτύσσει ένα βλαστό. Στην κορυφή του βλαστού σχηματίζεται μια σφαίρα που περικλείει αμοιβάδες που μεταμορφώθηκαν σε σπόρους. Κάποια στιγμή ο αέρας παρασύρει τους σπόρους και ο κύκλος ξαναρχίζει απ' την αρχή.

Ο Τόμας Χόφερ, βιοφυσικός στο Πανεπιστήμιο Χούμπολτ του Βερολίνου ανακάλυψε ένα απλό σύστημα μαθηματικών εξισώσεων που αναπαράγει τόσο τις σπείρες των αμοιβάδων όσο και τα σχέδια που κάνουν κατά τη διαδικασία συγκέντρωσής τους.

10.  ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΗΣΗΣ  ΑΠΟΙΚΙΩΝ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ.

Τα μυρμήγκια αναπτύσσουν μια τεχνική για να βρουν τη συντομότερη διαδρομή από τη φωλιά τους προς την πηγή της τροφής τους και αντίθετα. Τα μυρμήγκια ξεκινούν την αναζήτηση της τροφής γύρω από την πηγή με τυχαίο τρόπο και καθώς κινούνται αφήνουν μια ποσότητα μίας ουσίας που ονομάζεται φερομόνη και με αυτό τον τρόπο μαρκάρουν το μονοπάτι που έχουν διανύσει. Η ποσότητα της φερομόνης στο κάθε μονοπάτι εξαρτάται από την απόσταση, την ποιότητα και την ποσότητα της τροφής που βρέθηκε. Το επόμενο μυρμήγκι που θα φύγει από τη φωλιά του είναι πολύ πιθανό να ακολουθήσει τη φερομόνη που θα υπάρχει σε κάποιο μονοπάτι, αφήνοντας μια ποσότητα φερομόνης στο ίδιο μονοπάτι. Καθώς η ποσότητα φερομόνης στο συγκεκριμένο μονοπάτι όλο και αυξάνεται, όλο και περισσότερα μυρμήγκια ακολουθούν αυτό το μονοπάτι. Όμως καθώς η ώρα περνάει η φερομόνη, ιδιαίτερα από τα μονοπάτια που δεν πηγαίνουν πολλά μυρμήγκια, ελαττώνεται. Τελικά από όλα τα υπόλοιπα μονοπάτια η φερομόνη εξαφανίζεται και όλα τα μυρμήγκια ακολουθούν τελικά το ίδιο μονοπάτι, που είναι και η βέλτιστη ή η σχεδόν - βέλτιστη λύση....

__________

 Πηγή:  mathmosxos.blogspot.gr

by Αντικλείδι , http://antikleidi.com

Μαγεία και ρεαλισμός – αυτά τα δυο δεν ταιριάζουν πραγματικά, έτσι; Αλλά ο Rob Gonsalves, ένας καναδός ζωγράφος μαγικού ρεαλισμού, καταδεικνύει μεγάλες ικανότητες στο να συγχωνεύει αυτούς τους δυο διαφορετικούς κόσμους μέσα στα μοναδικά και υπερρεαλιστικά έργα τέχνης του. Εμπνευσμένος από μεγάλους καλλιτέχνες όπως Dali, Tanguy, Magritte και Escher, ο Gonsalves ανέπτυξε το δικό του μοναδικό στυλ, συνδυάζοντας τις γνώσεις αρχιτεκτονικής του με την αγάπη του για τη ζωγραφική.

Μια σοφή χρήση της προοπτικής και των ενώσεων του επιτρέπουν να συγχωνεύσει δυο φαινομενικά διαφορετικές ρεαλιστικές σκηνές σε μια μαγική ψευδαίσθηση. Ο Rob Gonsalves εμπνέεται κυρίως από τον εξωτερικό κόσμο και τις καθημερινές ανθρώπινες δραστηριότητες – όπως το ποδήλατο, το φαγητό, ο ύπνος κλπ. Αλλά για να δημιουργήσει αυτές τις μαγικές οφθαλμαπάτες χρειάζεται ένα αξιοσημείωτο χρονικό διάστημα, έτσι ο Gonsalves κάνει συνήθως μόνο τέσσερις πίνακες κάθε έτος.

_________

  Πηγή: dailyarticle.gr

Δείτε ένα βίντεο το οποίο εξηγεί την ανθρώπινη αύρα με τη μέθοδο Κίρλιαν. Έτσι μπορεί να καταλάβει κανείς γιατί μια αγκαλιά ή μια βόλτα στη φύση μπορεί να του δημιουργήσει ευεξία.

Εύχομαι να μη φτάσει η μέρα που όλος ο κόσμος (γιατί αυτήν την στιγμή είναι αναγκαία λύση για κάποιους) να καταφύγει σε τέτοιες λύσεις. Δείτε τι μπορεί να κάνει η επιστήμη όταν θέλει. Γιατί μπορεί. Πιστέψτε το. Αν επενδυθούν τα απαραίτητα ποσά στην επιστήμη τα επόμενα χρόνια θα δούμε θαύματα. Ή μήπως τα έχουμε δει κιόλας;

Νομίζω τελικά ότι μέσα από τα μάτια των παιδιών μαθαίνεις την αλήθεια. Τόσο γεμάτα απορία όταν τους ζητάς κάτι παράξενο-ανήθικο!

Μια παρέα έφτιαξε αυτό το εκπληκτικό βίντεο-ταινία. Προσωπικά από τότε που διάβασα το βιβλίο "Γεννήθηκα μια γαλάζια μέρα" ως καθηγητής "άλλαξα" τον τρόπο που βλέπω τις διάφορες μορφές δυσκολίας σε πολλά παιδιά. Τι να πω; Εξαιρετική δουλειά. Μπράβο σας!

Ένα βίντεο που μας δείχνει τις δυνατότητες των ρομπότ που φτιάχνει στις μέρες μας ο άνθρωπος. Δείτε το μέχρι το τέλος όπου το ανθρώπινο μυαλό κάνει τη διαφορά.

https://youtu.be/Gv5V_cYtKc8

Έκανα αγωνιστική κολύμβηση ως έφηβη. Μεγαλωμένη σε νησί, το να συμμετέχεις σε αθλήματα της θάλασσας ήταν κάτι συνηθισμένο: κολύμπι, πόλο, κωπηλασία, ιστιοπλοΐα. Αν με ρωτήσετε γιατί ασχολήθηκα με την κολύμβηση μικρή δεν θα ήξερα σίγουρα να απαντήσω μέχρι πρόσφατα. Και οπωσδήποτε δεν ήξερα ως παιδί να πω γιατί πήγαινα στις προπονήσεις μου, γιατί συμμετείχα σε αγώνες, για τι ακριβώς προσπαθούσα.

Κάτι ήξερα. Ήξερα ότι ήταν μία όμορφη συντροφιά η ομάδα του Ναυτικού Ομίλου Χίου. Ήξερα ότι μου άρεσε να βγαίνω στις πρώτες θέσεις. Ήξερα να είμαι υπάκουη και «καλή» σε ό,τι με έβαζαν, τύχαινε, ήθελα να κάνω. Υπάρχουν όμως και πολλά που δεν ήξερα, αλλά συνέβαιναν. Πολλά μικρά και μεγάλα γίνονταν μέσα μου που τα καταλαβαίνω πια σήμερα, τα κατάλαβα πρόσφατα παρακολουθώντας τις μικρές μου κόρες στους πρώτους δικούς τους αγώνες κολύμβησης.

Αυτό που δεν ήξερα είναι πόσο αυτή η συνεχής και καθημερινή προσπάθεια «έχτισε» την αυτοεκτίμησή μου. Τουβλάκι, τουβλάκι, με κάθε 100άρι και κάθε προπόνηση δομήθηκε η ικανότητα του αγωνίζεσθαι, η ικανότητα να μπορείς να κερδίζεις αλλά και να χάνεις, να εξαντλείσαι, μα να συνεχίζεις.

Χωρίς να το ξέρω, αυτό που μάθαινα τότε κι αυτό που μαθαίνουν οι κόρες μου σήμερα, είναι ότι με την καθημερινή πειθαρχία γίνεσαι όλο και καλύτερος. Ο αγώνας να μειώνεις το προσωπικό σου ρεκόρ κάθε φορά, ανεξάρτητα από τη θέση σου σε σχέση με τους άλλους, μου θυμίζει το υπέροχο ποίημα του Γιάννη Ρίτσου από το Καπνισμένο Τσουκάλι: «Εδώ δεν είναι να ’μαι εγώ πάνω από σένα ή εσύ πάνω από μένα, εδώ είναι να ’ναι ο καθένας μας πάνω από τον εαυτό του».

Το πιο σημαντικό απ’ όλα όμως, είναι η εμπειρία της σκυταλοδρομίας. Παρακολουθώντας την αγωνία των θυγατέρων μου για την πρώτη τους σκυταλοδρομία, κατάλαβα -κι εδώ- αυτό που τότε απλώς βίωνα. «Κι αν κάνω λάθος κι ακυρωθεί όλη η ομάδα;». Τέσσερα παιδιά, σε τέσσερις προσπάθειες, συνήθως με διαφορετικά αγωνίσματα, προσπαθούν όλοι μαζί για την ίδια ομάδα. Το λάθος του ενός τούς ακυρώνει όλους. Η αργοπορία τού ενός τούς πάει όλους πίσω. Η ταχύτητα του ενός τούς πάει όλους μπροστά. Κι ο καθένας κάνει ό,τι καλύτερο μπορεί, αλλά το αποτέλεσμα είναι ένα και είναι κοινό.

Πόσες σκυταλοδρομίες έχει καθημερινά η ζωή; Από την ομάδα της οικογένειας, στην ομάδα εργασίας στο σχολείο, στο Πανεπιστήμιο, στη δουλειά, στην κοινότητα. Έχουμε να το μάθουμε αυτό. Να αποδεχόμαστε ότι ο καθένας έχει τον ρυθμό του, κολυμπάει το δικό του αγώνισμα, με τον δικό του τρόπο. Κι ότι είμαστε όλοι μαζί, είτε χάνουμε είτε κερδίζουμε, είμαστε ομάδα. Γιατί η ζωή έχει συνεχώς αγώνες και συνεχώς σκυταλοδρομίες... και μόνο έτσι κερδίζουμε τελικά.

Άννυ Μπενέτου

Διαβάστε ένα άρθρο που εξηγεί τον μύθο του Γύγη.

Μήπως ο Τόλκιν επηρεάστηκε τελικά από τον Πλάτωνα;

Ο ευρηματικός φιλόσοφος, στο Β΄ βιβλίο της «Πολιτείας» του και με το στόμα του αδελφού του Γλαύκωνα, επινοεί ένα μύθο. Ένας βοσκός του βασιλιά της Λυδίας ονόματι Γύγης βρίσκει τυχαία ένα μαγικό δακτυλίδι μετά από δύο καταστρεπτικά φυσικά φαινόμενα. Την  ώρα που έβοσκε τα πρόβατα του άρχοντά του, έπιασε φοβερή καταιγίδα και έγινε τόσο δυνατός σεισμός, ώστε άνοιξε η γη κάτω απ’ τα πόδια του. Κατέβηκε στο χάσμα που δημιουργήθηκε και εκεί μέσα στα σπλάχνα της γης, είδε ένα μεγάλο χάλκινο κούφιο άλογο. Από κάποια ανοίγματα στα πλευρά του κοίταξε μέσα του και διαπίστωσε ότι εκεί ήταν ξαπλωμένος ένας νεκρός με διαστάσεις σχεδόν γιγαντιαίες. Και το σημαντικότερο φορούσε στο χέρι του ένα χρυσό δακτυλίδι. Ο Γύγης το πήρε και ανέβηκε πάλι στην επιφάνεια. Κάποια μέρα διαπίστωσε ότι το πολύτιμο εύρημά του είχε μία αξιοπερίεργη μαγική δυνατότητα. Περιστρέφοντας την πέτρα του («σφενδόνην» την ονομάζει ο Πλάτωνας) προς το εσωτερικό της παλάμης του γινόταν αόρατος και εμφανιζόταν πάλι γυρίζοντας το δακτυλίδι προς την αντίστροφη φορά. Ο ταπεινός βοσκός είχε λοιπόν στα χέρια του ένα τεράστιο όπλο. Μπορούσε να κάνει οτιδήποτε επιθυμούσε, χωρίς να γίνεται αντιληπτός και κυρίως, χωρίς να τιμωρείται ή έστω να επιπλήττεται. Έγινε από τη μια στιγμή στην άλλη φορέας μιας τουλάχιστον παράδοξης και απρόσμενης δύναμης, η οποία μπορούσε να λειτουργήσει προς όφελός του, πάντα όμως υπό το βάρος μιας έστω και λανθάνουσας αδικίας, που μπορούσε να φτάσει κι ως το έγκλημα. Και πραγματικά έτσι έγινε. Ο ασήμαντος μέχρι τότε Γύγης έγινε εραστής της βασίλισσας και με τη βοήθειά της σκότωσε τον αφέντη του και πήρε ο ίδιος την εξουσία. Κατέλαβε λοιπόν μια θέση που του χάρισε η δύναμη ενός χρυσού κρίκου, χωρίς να υπολογίσει τα αθέμιτα μέσα που χρησιμοποίησε, αλλά με μοναδικά κίνητρά – συνηθισμένα στην ανθρώπινη φύση – τη δόξα και τον πλούτο. Ο Γλαύκωνας, που διηγείται τη φανταστική αυτή ιστορία, καταλήγει στο συμπέρασμα ότι τελικά είναι στη φύση του ανθρώπου να αδικεί, όταν μάλιστα ξέρει εκ των προτέρων ότι δε θα υποστεί τις συνέπειες της αδικίας του. Και αυτό γιατί η κοινή λογική ενός ανθρώπου λέει ότι η δικαιοσύνη δεν είναι τελικά ένα αγαθό στη ζωή μας, αφού η εφαρμογή της προσκρούει στο προσωπικό μας συμφέρον και είναι ανασταλτικός παράγοντας τις περισσότερες φορές για τα οποιασδήποτε ποιότητας κέρδη μας. Για όλους μας λοιπόν το βασανιστικό ερώτημα «ἀδικεῖν ἢ ἀδικεῖσθαι;» γίνεται πολύ απλό. Και η απάντηση στη συνείδησή μας δεν είναι τουλάχιστον μία ανώδυνη ουδετερότητα, αλλά μια συνειδητή επιλογή συμφέροντος: «ἀδικεῖν» και μάλιστα αν είναι δυνατόν ατιμώρητα.

Επιμέλεια: Αλέξανδρος Γ. Αλεξανδρίδης