Και κάτι άλλο... (230 άρθρα)

Ευκλείδεια γεωμετρία όχι επιχειρηματικότητα

| 0 ΣΧΟΛΙΑ
Ο πρωθυπουργός της Ρωσίας σχεδιάζει στον πίνακα σχολείου μέσης εκπαίδευσης ένα πρόβλημα γεωμετρίας (Φωτογραφία: Dmitry Astakhov/TASS)

Με την έναρξη σχολικού έτους ο πρωθυπουργός της Ρωσίας Μιχαήλ Μισούστιν, επισκέφτηκε ένα από τα κορυφαία σχολεία της χώρας του – το Kapitsa Physics and Technology Lyceum. Μπαίνοντας σε μια τάξη είδε ότι μελετούσαν ένα πρόβλημα σχετικό με επιχειρήσεις.

«Γιατί πρέπει οι μαθητές να ασχολούνται με προβλήματα επιχειρηματικότητας στο σχολείο;» αναρωτήθηκε ο Mishustin.

Και στη συνέχεια πήρε την κιμωλία και έθεσε το εξής πρόβλημα γεωμετρίας:

Δεδομένου ενός κύκλου, μιας διαμέτρου του και ενός τυχαίου σημείου στην περιφέρεια του κύκλου (με κόκκινο στο σχήμα), να φέρετε από το κόκκινο σημείο μια κάθετο στην διάμετρο του κύκλου (την διακεκομμένη που σημειώνεται με πράσινο στο σχήμα), χρησιμοποιώντας μόνο ένα χάρακα που δεν είναι βαθμονομημένος.

Ο Mishustin, ο οποίος σπούδασε μηχανικός, είπε στη συνέχεια: ‘Μου φαίνεται ότι στην ηλικία σας θα ήταν καλό πρώτα να διδαχθείτε τα θεμελιώδη. Κι όταν αποκτήσετε βασικές γνώσεις μαθηματικών, φυσικής, χημείας, θα μπορείτε να λύνετε οποιαδήποτε προβλήματα, συμπεριλαμβανομένων και αυτών των επιχειρήσεων’.

η απάντηση του προβλήματος θα δημοσιευθεί ΕΔΩ

Παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο Δ στο πάνω ημικύκλιο. Η γωνία ΒΔΓ είναι ορθή (όπως και η ΒΑΓ). Προεκτείνουμε τις ΒΔ και ΓΑ που τέμνονται στο σημείο Ε. Οι ΓΔ και ΒΑ είναι ύψη του τριγώνου (ΕΒΓ) και το Σ θα είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου. Επομένως αν η ΕΣ προεκταθεί θα τέμνει κάθετα την διάμετρο στο σημείο Ζ. Στη συνέχεια, προεκτείνοντας την ΘΑ βρίσκουμε το σημείο τομής Η με την προέκταση της διαμέτρου. Ενώνουμε τα σημεία Η και Θ’. Η τομή της ΗΘ’ με την περιφέρεια του κύκλου, στο σημείο Α’ θα μας δώσει την τελική λύση, αρκεί να συνδέσουμε τα σημείο Α και Α’.
Η λύση του πρωθυπουργού της Ρωσίας

Πηγή

Κατηγορίες:
Και κάτι άλλο...

Richard Feynman – Τι είναι, λοιπόν, επιστήμη;

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

 

Τι είναι, λοιπόν, επιστήμη; Έτσι όπως χρησιμοποιείται η λέξη μπορεί να σημαίνει τρία διαφορετικά πράγματα, ή ένα μείγμα των τριών. Δεν νομίζω ότι χρειάζεται να είμαστε ακριβείς —δεν αποτελεί καλή ιδέα να είσαι πάντοτε ιδιαίτερα ακριβής. Επιστήμη σημαίνει, μερικές φορές, την ειδική μέθοδο που χρησιμοποιούμε για να ανακαλύπτουμε πώς έχουν τα πράγματα. Μερικές φορές σημαίνει το σώμα της γνώσης που έχει προκόψει από τα πράγματα για τα οποία έχουμε εξιχνιάσει πώς έχουν. Μπορεί επίσης να σημαίνει τα νέα πράγματα που μπορούμε να κάνουμε όταν έχουμε βρει κάτι, ή την ίδια τη διαδικασία τού να τα κάνουμε.

Αυτός ο τελευταίος τομέας συνήθως ονομάζεται τεχνολογία —αν όμως ανατρέξεις στις επιστημονικές σελίδες του περιοδικού Τime, θα δεις ότι αναφέρονται κατά 50% περίπου σε όσα νέα πράγματα ανακαλύπτονται, και κατά 50% σε ό,τι τα νέα πράγματα μπορούν να κάνουν και κάνουν. Κατά συνέπεια, ο εκλαϊκευμένος ορισμός της επιστήμης περιλαμβάνει εν μέρει και την τεχνολογία.

Θα εξετάσω αυτές τις τρεις πλευρές της επιστήμης κατά αντίστροφη σειρά. Θα αρχίσω με τα νέα πράγματα που μπορείς να κάνεις —με την τεχνολογία. Το εμφανέστερο χαρακτηριστικό της επιστήμης είναι η εφαρμογή της, το γεγονός δηλαδή ότι χάρη σ’ αυτήν έχουμε τη δύναμη να κάνουμε διάφορα πράγματα. Και δεν χρειάζεται βέβαια να αναφερθούμε στην ισχύ αυτής της δύναμης. Ολόκληρη η βιομηχανική επανάσταση θα ήταν σχεδόν αδύνατη χωρίς την ανάπτυξη της επιστήμης. Οι δυνατότητες που έχουμε σήμερα να ελέγχουμε τις ασθένειες, να παράγουμε ποσότητες τροφής επαρκείς για τόσο μεγάλο πληθυσμό —το ίδιο το γεγονός ότι είναι δυνατόν να υπάρχουν ελεύθεροι άνθρωποι χωρίς την αναγκαιότητα της δουλείας για επαρκή παραγωγή— οφείλονται πιθανότατα στην ανάπτυξη των επιστημονικών μέσων παραγωγής.

Αυτή η δύναμη να κάνουμε πράγματα δεν εμπεριέχει βέβαια οδηγίες για το πώς να τη χρησιμοποιούμε- αν θα τη χρησιμοποιούμε για καλό ή για κακό. Το προϊόν της είναι είτε καλό είτε κακό, ανάλογα με το πώς χρησιμοποιείται. Μας αρέσει η βελτίωση της παραγωγής, αλλά έχουμε προβλήματα με τον αυτοματισμό. Είμαστε ικανοποιημένοι με την ανάπτυξη της ιατρικής, αλλά συγχρόνως ανησυχούμε για την αύξηση των γεννήσεων και τη μείωση των θανάτων από ασθένειες που έχουμε εξαλείψει. Ή, από την άλλη, χρησιμοποιώντας αυτές τις ίδιες γνώσεις για τα βακτηρίδια, έχουμε δημιουργήσει ολόκληρα μυστικά εργαστήρια, όπου κάποιοι δουλεύουν νυχθημερόν για να αναπτύξουν ασθένειες για τις οποίες δεν θα μπορεί να βρεθεί θεραπεία. Είμαστε ικανοποιημένοι με την ανάπτυξη των αερομεταφορών και εντυπωσιαζόμαστε από τα μεγάλα αεροπλάνα, γνωρίζουμε όμως και τη φρίκη του αεροπορικού πολέμου. Χαιρόμαστε που υπάρχει η δυνατότητα επικοινωνίας ανάμεσα στις διαφορετικές χώρες, και ταυτόχρονα ανησυχούμε επειδή είναι τόσο εύκολο να υποκλέπτουν ορισμένοι τις συνομιλίες μας. Μας προκαλεί ενθουσιασμό το γεγονός ότι μπορούμε πλέον να ταξιδέψουμε στο Διάστημα, κι εκεί όμως θα συναντήσουμε αναμφίβολα κάποια δυσκολία. Η πλέον περιβόητη απ’ όλες τούτες τις ανισορροπίες είναι η ανάπτυξη της πυρηνικής ενέργειας, με τα προφανή προβλήματα που προκαλεί.

Έχει καμιά αξία η επιστήμη;

Νομίζω ότι η δύναμη να κάνεις κάτι έχει αξία. Το κατά πόσον το αποτέλεσμα θα είναι καλό ή κακό εξαρτάται από το πώς τη χρησιμοποιούμε —η ίδια η δύναμη όμως αποτελεί αξία. Κάποτε στη Χαβάη με πήγαν να επισκεφθώ έναν βουδιστικό ναό. Στο εσωτερικό του κάποιος μου είπε:

«Θα σου πω κάτι που δεν θα το ξεχάσεις ποτέ.» Και συνέχισε: «Σε κάθε άνθρωπο δίνεται το κλειδί για τις πύλες του παραδείσου. Αλλά το ίδιο κλειδί ανοίγει και τις πύλες της κόλασης.»

Το ίδιο ισχύει και για την επιστήμη. Από μια άποψη, η επιστήμη αποτελεί το κλειδί για τις πύλες του παραδείσου, αλλά το ίδιο κλειδί ανοίγει και τις πύλες τις κόλασης· και δεν διαθέτουμε οδηγίες που να μας λένε ποια πύλη είναι η μια και ποια η άλλη. Τι πρέπει να κάνουμε λοιπόν; Να πετάξουμε το κλειδί και να μη βρούμε ποτέ τον τρόπο να περάσουμε τις πύλες του παραδείσου; Ή να παλέψουμε ώστε να λύσουμε το πρόβλημα και να βρούμε τον καλύτερο τρόπο για να χρησιμοποιούμε το κλειδί; Το ερώτημα, φυσικά, είναι πολύ σοβαρό, αλλά νομίζω ότι δεν μπορούμε να αρνηθούμε την αξία ενός κλειδιού που ανοίγει τις πύλες του παραδείσου.

 

Στο ίδιο πεδίο εντοπίζονται όλα τα κρίσιμα προβλήματα των σχέσεων ανάμεσα στην κοινωνία και την επιστήμη. Όταν ο κόσμος επισημαίνει στον επιστήμονα ότι πρέπει να είναι πιο υπεύθυνος ως προς τις επιδράσεις που ασκεί στην κοινωνία, αναφέρεται στις εφαρμογές της επιστήμης. Αν δουλεύεις για να αναπτύξεις την πυρηνική ενέργεια, πρέπει να συνειδητοποιείς και ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί βλαπτικά. Ίσως, λοιπόν, θα περιμένατε ότι σε μια τέτοια διάλεξη ενός επιστήμονα αυτό θα ήταν το σημαντικότερο θέμα, Ωστόσο δεν θα μιλήσω άλλο γι’ αυτό. Νομίζω ότι θα αποτελούσε υπερβολή να ισχυριστούμε πως αυτά είναι επιστημονικά προβλήματα. Σε πολύ μεγαλύτερο βαθμό είναι κοινωνικά προβλήματα. Το γεγονός ότι ο τρόπος που λειτουργεί η δύναμη είναι σαφής αλλά ο τρόπος ελέγχου της όχι δεν αποτελεί και τόσο επιστημονικό θέμα —και είναι κάτι για το οποίο ίσως ο επιστήμονας δεν γνωρίζει πολλά πράγματα.

Επιτρέψτε μου να σας εξηγήσω γιατί δεν επιθυμώ να μιλήσω γι’ αυτό το ζήτημα. Πριν από χρόνια, γύρω στο 1949 ή το 1950, πήγα στη Βραζιλία να διδάξω φυσική. Εκείνη την εποχή υπήρχε ένα πρόγραμμα στο πλαίσιο της αμερικανικής εξωτερικής βοήθειας, ένα πρόγραμμα φιλόδοξο και ελπιδοφόρο —όλοι θα βοηθούσαμε τις υπανάπτυκτες χώρες. Εκείνο που τους χρειαζόταν, φυσικά, ήταν η τεχνογνωσία.

Στη Βραζιλία έμενα στο Ρίο. Στο Ρίο υπάρχουν λόφοι γεμάτοι παραπήγματα —σπίτια που έχουν φτιαχτεί με τσίγγους και ξύλα από παλιές, σπασμένες πινακίδες… Οι άνθρωποι είναι πάμφτωχοι. Δεν έχουν υπονόμους ούτε νερό. Για να προμηθευτούν νερό, κουβαλάνε άδεια παλιά ντεπόζιτα βενζίνης πάνω στο κεφάλι τους ως τους πρόποδες των λόφων. Πηγαίνουν όπου χτίζεται κάποιο καινούργιο κτίριο, επειδή εκεί υπάρχει νερό για να φτιάχνουν τσιμέντο. Γεμίζουν τα ντεπόζιτα, και τα ανεβάζουν πάλι στους λόφους. Λίγο αργότερα βλέπεις το νερό να κυλάει ως τους πρόποδες μέσα σε βρόμικα χαντάκια. Το θέαμα είναι θλιβερό. Δίπλα ακριβώς σ’ αυτούς τους λόφους είναι χτισμένα τα εκπληκτικά κτίρια της παραλίας Κοπακαμπάνα’ όμορφα διαμερίσματα, πάρκα, κ.λπ. Είπα λοιπόν στους φίλους μου από το πρόγραμμα:

«Αυτό είναι πρόβλημα τεχνογνωσίας; Δεν ξέρουν πώς ν’ ανεβάσουν ένα σωλήνα με νερό ως το λόφο; Δεν γνωρίζουν αυτοί οι άνθρωποι να τραβήξουν ένα σωλήνα ως την κορυφή για να μπορούν τουλάχιστον να ανεβαίνουν την ανηφόρα με άδεια τα ντεπόζιτα και να την κατεβαίνουν με γεμάτα;»

Οπωσδήποτε, λοιπόν, δεν είναι πρόβλημα τεχνογνωσίας, αφού στις γειτονικές πολυκατοικίες υπάρχουν και σωλήνες και αντλίες. Αυτό τώρα πια το έχουμε συνειδητοποιήσει· και έχουμε την πεποίθηση ότι είναι πρόβλημα οικονομικής βοήθειας —αν και δεν γνωρίζουμε κατά πόσον έτσι θα υπάρξει ουσιαστικότερο αποτέλεσμα ή όχι. Δεν αξίζει, λοιπόν, τον κόπο να ασχοληθούμε με το ερώτημα πόσο κοστίζει να τοποθετηθεί ένας σωλήνας και μια αντλία στην κορυφή ενός λόφου.

Εν πάση περιπτώσει, παρ’ ότι δεν ξέρουμε πώς να λύσουμε το πρόβλημα, θα ήθελα να επισημάνω ότι δοκιμάσαμε δυο πράγματα: την τεχνογνωσία και την οικονομική βοήθεια. Αποθαρρυνθήκαμε και από τα δυο, και τώρα δοκιμάζουμε κάτι άλλο. Όπως θα δείτε αργότερα, το βρίσκω ενθαρρυντικό αυτό. Πιστεύω ότι το να δοκιμάζεις συνεχώς νέες λύσεις είναι ο τρόπος για να πετύχεις τα πάντα.

Αυτές, λοιπόν, είναι οι πρακτικές πλευρές της επιστήμης, τα νέα πράγματα που μπορείς να κάνεις. Είναι τόσο προφανή ώστε δεν χρειάζεται να αναφερθούμε διεξοδικότερα.

Την άλλη πλευρά της επιστήμης αποτελεί το περιεχόμενό της, τα πράγματα που έχουμε εξιχνιάσει. Αυτή είναι η συγκομιδή. Είναι ο χρυσός. Είναι η έξαψη, η ανταμοιβή σου για την πειθαρχημένη σκέψη και τη σκληρή δουλειά. Η δουλειά δεν γίνεται χάρη κάποιας εφαρμογής. Γίνεται για τη συγκίνηση και τον ενθουσιασμό που σου προξενούν αυτά που ανακαλύπτεις. Οι περισσότεροι από σας μάλλον το γνωρίζετε.

Όσους όμως δεν το ξέρουν είναι σχεδόν αδύνατο να τους εξοικειώσω, μέσα από μια διάλεξη, με τούτη τη σημαντική πλευρά, αυτό το συναρπαστικό μέρος, τον πραγματικό λόγο που μας ωθεί να ασχολούμαστε με την επιστήμη. Και αν αυτό δεν το ’χεις κατανοήσει, σου έχει διαφύγει όλη η ουσία. Δεν μπορείς να καταλάβεις την επιστήμη και τη σχέση της με οτιδήποτε άλλο αν δεν αντιληφθείς και δεν εκτιμήσεις τη μεγάλη περιπέτεια των καιρών μας. Δεν ζεις στην εποχή μας αν δεν έχεις καταλάβει ότι αυτή είναι μια εκπληκτική περιπέτεια, κάτι το παράφορο και συναρπαστικό.

Το νόημα των πραγμάτων, Σκέψεις ενός πολίτη-επιστήμονα - Richard P. Feynman - Skroutz.gr

***

Richard Feynman – Το νόημα των πραγμάτων

Πηγή

Κατηγορίες:
Και κάτι άλλο...

Το ταξίδι των αριθμών ανάμεσα στους αιώνες – Από την ύπαρξη της μονάδας μέχρι και το «φανταστικό σύνολο»

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Η έννοια των αριθμών, έστω και ως εργαλείο καταμέτρησης, γεννήθηκε πολύ παλαιότερα από κάθε άλλο στοιχείο στον κόσμο των μαθηματικών. Αυτό το συνεχώς εξελισσόμενο σύνολο αποτέλεσε τον θεμέλιο λίθο για κάθε άλλη ανακάλυψη που προέκυψε μεταγενέστερα στην ιστορία των επιστημών. Η εγγενής ανάγκη του ανθρώπου να μετρήσει, οδήγησε τους πρώτους μαθηματικούς στην ιστορία της ανθρωπότητας να δημιουργήσουν μία ομάδα συμβόλων, που αποτέλεσε το αρχικό σύστημα αρίθμησης.

fh-by-numbers-wordcloud

Τα πρώτα βήματα και η ανακάλυψη των Φυσικών Αριθμών

Κανείς δεν μπορεί να υπολογίσει την περίοδο που η ιδέα της αρίθμησης άρχισε να απασχολεί την ανθρωπότητα. Οι άνθρωποι πιθανότατα μετρούσαν ο,τι τους ενδιέφερε αρκετές χιλιετίες πριν δημιουργηθεί το πρώτο, έστω και αφηρημένο, σύστημα αρίθμησης στην αρχαία Μεσοποταμία, γύρω στο 3.500 π.Χ. Τέσσερις δεκαετίες αργότερα οι Αιγύπτιοι μαθηματικοί παρουσίασαν ένα δικό τους, πιο ορθά δομημένο, σύστημα με βάση το 10. Το πρώτο σύνολο αριθμών γρήγορα διαδόθηκε στους πιο εξελιγμένους πολιτισμούς, με τους αρχαίους Ελληνες να παίρνουν τα… σκήπτρα για να συμβάλλουν στην πορεία των μαθηματικών.

Τα πρώτα προβλήματα που ώθησαν τους επιστήμονες της εποχής να δημιουργήσουν τους αριθμούς αφορούσαν τον υπολογισμό της διάρκειας της ημέρας, αλλά και την καταμέτρηση αντικειμένων. Οι αριθμοί ξεκινούσαν από τη μονάδα, που αντιστοιχούσε στην ύπαρξη ενός αντικειμένου, και συνέχιζαν με ανάλογο τρόπο. Το πρώτο σύστημα αρίθμησης δηλαδή ήταν ουσιαστικά αυτό που στη συνέχεια της μαθηματικής ιστορίας ονομάστηκε «Φυσικοί Αριθμοί».

Η αφηρημένη έννοια του αρνητικού αριθμού – Οι «αγώνες» για την αναγνώριση του μείον

Οσο οι μαθηματικοί περιορίζονταν στον υπολογισμό του πλήθους των φυσικών αντικειμένων, η έννοια του αρνητικού αριθμού δεν είχε σημασία. Οπως φάνταζε λογικό εκείνη την εποχή, οι αριθμοί άρχιζαν από το «1» και συνέχιζαν μέχρι να αντιπροσωπεύσουν το πλήθος που καταμετρείται. Η πρώτη αναφορά σε αρνητικούς αριθμούς βρίσκεται μέσα σε εννέα βιβλία γραμμένα από Κινέζους συγγραφείς, περίπου το 100 π.Χ. Ωστόσο, η έννοια ήταν ακόμα εντελώς αφηρημένη, ενώ αρκετοί επιστήμονες της εποχής δεν μπορούσαν να την αντιληφθούν.

Ο Διόφαντος ήταν ο πρώτος μαθηματικός που εισήγαγε την έννοια των αρνητικών αριθμών στον δυτικό κόσμο τον 3ο αιώνα μ.Χ. Προσπαθώντας να βρει λύση για την εξίσωση 4x+20=0 κατέληξε πως τα αποτελέσματα είναι εντελώς παράλογα. Τρεις αιώνες αργότερα,αρκετοί Ινδοί μαθηματικοί ασχολήθηκαν με την ύπαρξη των αρνητικών αριθμών, στην προσπάθεια τους να υπολογίσουν τα χρέη κάποιων συμπολιτών τους. Ωστόσο, η ανυπόστατη έννοια ενός αριθμού που δεν υπάρχει, άργησε να γίνει αποδεκτή από τον κόσμο των μαθηματικών. Μέχρι και τον 17ο αιώνα η πλειοψηφία των μαθηματικών δεν αναγνώριζε την ύπαρξη τους. Οι αριθμοί αυτοί χαρακτηρίζονταν ως «παράλογοι» έως ότου μια σειρά από διάσημους και αναγνωρισμένους μαθηματικούς τους… επιτρέψουν.

Τί υπάρχει ανάμεσα σε δύο ακεραίους; – Η εμφάνιση των Ρητών Αριθμών

Παράλληλα, όσο εξελισσόταν η διαμάχη περί ύπαρξης ή όχι των αρνητικών αριθμών, είχαν δημιουργηθεί και αρκετά ακόμα αναπάντητα ερωτήματα από μαθηματικούς. Οι Φυσικοί Αριθμοί αρκούσαν για τον υπολογισμό των φυσικών αντικειμένων, όμως δεν ήταν ικανοί να καλύψουν τις… μαθηματικές ανάγκες των μεταγενέστερων εποχών. Είναι δυνατόν ανάμεσα στο «1» και στο «2» να μην υπάρχει κανένας άλλος αριθμός; Η ανακάλυψη των Ρητών Αριθμών δεν άργησε να έρθει, με τους Αιγυπτίους να «πρωτοστατούν» στην δημιουργία τους. Οι Ρητοί Αριθμοί είναι γνωστοί και ως κλάσματα, μόνο που αριθμητής και παρονομαστής τους ήταν Φυσικοί Αριθμοί. Αναφορές στους Ρητούς υπήρχαν από τον 2ο αιώνα π.Χ. σε έργα Αιγυπτίων μαθηματικών, αλλά όπως είναι λογικό η αναγνώριση τους άργησε να έρθει από την μαθηματική κοινότητα.

Το πρόβλημα του Πυθαγόρα, οι Αρρητοι και η συμπλήρωση του συνόλου των Πραγματικών Αριθμών

Ο συνδυασμός αυτών των τριών συνόλων ήταν ικανός να λύσει σχεδόν κάθε μαθηματικό πρόβλημα που προέκυπτε. Ωστόσο, υπήρχαν ακόμα άλυτα ερωτήματα τα οποία δεν μπορούσαν να αντιμετωπιστούν ούτε από αυτό το τεράστιο σύνολο αριθμών. Γνωστότερο όλων ήταν το Πυθαγόρειο πρόβλημα το οποίο αποδείκνυε την αρρητότητα της τετραγωνικής ρίζας του 2. Η υποτείνουσα ενός τριγώνου με πλευρές ίσες με 1 δεν ήταν δυνατό να υπολογιστεί. Ο Πυθαγόρας δεν μπορούσε να διαψεύσει την ύπαρξή των αρρήτων μέσα από τη λογική, αλλά δεν μπορούσε και να δεχθεί την ύπαρξή τους. Το πρόβλημα παρέμεινε άλυτο και έπρεπε να περάσουν πάνω από δύο χιλιετίες ώστε οι Αρρητοι Αριθμοί να αναγνωρισθούν, από μια σειρά πρωτοπόρων μαθηματικών τον 19ο αιώνα.

Οι θεωρίες μαθηματικών όπως ο Βάιστρας, ο Ντέντεκιντ και ο Καντόρ ήταν πλέον ικανές να αποδείξουν την ύπαρξη των Αρρητων. Με αυτό το τρόπο δημιουργήθηκε το ολοκληρωμένο σύνολο των Πραγματικών Αριθμών, στο οποίο ανήκουν όλοι οι αριθμοί. Φτάνοντας σε αυτό το σύνολο, οι μαθηματικοί θεώρησαν πως δημιούργησαν το απόλυτο εργαλείο για τις μελέτες τους. Ενα σύνολο αριθμών από το οποίο δεν έλειπε απολύτως τίποτα. Εκαναν για ακόμα μια φορά όμως ένα μεγάλο λάθος, αφού δεν χρησιμοποίησαν επαρκώς την… φαντασία τους.

Το… φανταστικό μέρος των μαθηματικών – Η ολοκαίνουργια έννοια των μιγαδικών

Τα μαθηματικά εξελίχθηκαν, οι ανάγκες των μαθηματικών αυξήθηκαν και έτσι ακόμα και οι Πραγματικοί Αριθμοί δεν ήταν ικανοί να λύσουν τα ερωτήματα τους. Δημιούργησαν έτσι τους Φανταστικούς Αριθμούς. Η πρώτη ιδέα είχε ακουστεί από τους Ιταλούς μαθηματικούς Ταρτάλια και Κάρντανο, όμως δεν άργησε να απορριφθεί. Η μαθηματική κοινότητα θεώρησε… τρελούς όσους ασχολούνταν με την ύπαρξη ενός φανταστικού συνόλου και απαξίωσε κάθε επιχείρημα τους. Στις αρχές του 19ου αιώνα όμως οι Φανταστικοί Αριθμοί ξαναήρθαν στο προσκήνιο, αυτή τη φορά από τον Γκάους, ένα μαθηματικό διεθνούς φήμης.

Οι μαθηματικοί άρχισαν να ασχολούνται παραπάνω με την υπόθεση του Γκάους. Χρειάστηκε περίπου ένας αιώνας ώστε, αυτό που είχε πρωτοαναφερθεί το 1640, επιτέλους να αναγνωρισθεί. Οι Φανταστικοί Αριθμοί συνδυάστηκαν με τους ήδη υπάρχοντες για να δημιουργήσουν το σύνολο των Μιγαδικών Αριθμών. Αυτή ήταν και η τελευταία προσθήκη στο σύνολο των αριθμών ως σήμερα. Εικάζεται πως το υπάρχον σύνολο αριθμών δεν μπορεί να ενισχυθεί επιπλέον. Ωστόσο αυτή η εντύπωση υπήρχε διαχρονικά, ειδικά μετά από κάθε καινούργια ομάδα αριθμών που ανακαλυπτόταν.

Το ταλέντο της… προσαρμογής – Η μελλοντική εξέλιξη των αριθμών

Η πορεία του συνόλου των αριθμών είναι συνυφασμένη με την εξέλιξη των επιστημών αλλά και γενικότερα με την περιπέτεια της ανθρώπινης ύπαρξης. Εξάλλου οι αριθμοί δεν είναι τίποτα περισσότερο από ένα εργαλείο επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν από τις ανάγκες της εποχής. Το μόνο ερώτημα που θα παραμένει αναπάντητο, είναι το κατά πόσο η ανθρώπινη ευφυΐα είναι ικανή να προχωρήσει και να οδηγήσει σε νέα, εξελιγμένα και πρωτοποριακά μαθηματικά που με τη σειρά τους θα εμπλουτίσουν τον συναρπαστικό κόσμο των αριθμών.

 

Πηγή

Κατηγορίες:
Και κάτι άλλο...

Η μαθηματική όψη της μουσικής του Μπαχ

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Η ευφυΐα του Γερμανού συνθέτη της εποχής Μπαρόκ Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ (1685-1750) είναι αναγνωρισμένη εδώ και αιώνες. Υπάρχουν, επίσης, αρκετές αναλύσεις και προσεγγίσεις της μουσικής του, η οποία παραμένει μέχρι σήμερα ανεξάντλητη πηγή πνευματικής έμπνευσης για μουσικούς, συγγραφείς αλλά και μαθηματικούς. Αυτή τη διάσταση της μουσικής του Μπαχ αναδεικνύει ο μηχανολόγος μηχανικός και λάτρης της μαθηματικής επιστήμης Jos Leys.

Bach

Ο Jos Leys έστρεψε το ενδιαφέρον του σε ένα από τα σπουδαιότερα μουσικά έργα του Μπαχ το οποίο διακρίνεται για τον πλούτο και την πολυπλοκότητά του. Δεν στάθηκε στην ακουστική απόλαυση που προσφέρει η μουσική, αλλά προχώρησε στην οπτική αναπαράσταση του αινιγματικού Κανόνα 1 και 2 του έργου «Μεγάλη Προσφορά» (1747) του συνθέτη.

Στο βίντεο που ακολουθεί μπορείτε να παρατηρήσετε την πορεία της μουσικής στην παρτιτούρα νότα-νότα και να δείτε πώς το μουσικό κομμάτι εξελίσσεται και αντιστρέφεται κινούμενο προς την αντίθετη κατεύθυνση. Στη συνέχεια, η παρτιτούρα παρουσιάζεται ως μια ενιαία μουσική ακολουθία που εκτελείται ταυτόχρονα προς τα πίσω και προς τα εμπρός. Ο Jos Leys  αποκαλύπτει, μέσα από αυτή τη διαδικασία, αντιστοιχίες της μουσικής του Μπαχ με τη φόρμα της περίφημης λωρίδας του Möbius.

 

 

moebius

Αν ταξιδεύατε μέσα σε ένα σύμπαν Möbius (Μέμπιους), θα επιστρέφατε στο σημείο στο οποίο ξεκινήσατε με τη δεξιά και αριστερά πλευρά σας αντεστραμμένες. Αν κάνατε έναν ακόμα γύρο της λωρίδας, όταν επιστρέφατε στο σημείο εκκίνησης τα όργανά σας θα είχαν πάρει πάλι τον αρχικό προσανατολισμό τους. Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να δημιουργήσουμε μουσική Μέμπιους. Η μουσική παίζεται κανονικά την πρώτη φορά. Όταν ο μουσικός φτάσει στο σημείο απ’ όπου ξεκίνησε, παίζει πάλι τη μουσική, αλλά με κάποιες παραλλαγές. Για παράδειγμα, τη δεύτερη φορά η παρτιτούρα μπορεί να είναι κατοπτρική της πρώτης, ή να παίζεται ανάποδα.

Ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ έγραψε «μουσική Μέμπιους» – για παράδειγμα, ο Καρκινικός Κανόνας – στην οποία ο μουσικός μπορεί να παίξει ένα κομμάτι και μετά να αναποδογυρίσει την παρτιτούρα και να παίξει το ίδιο κομμάτι.

Πηγή

Κατηγορίες:
Και κάτι άλλο...

Η Τεχνητή Νοημοσύνη ανακαλύπτει νέα Φυσική

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

 

Η αρχή διατήρησης της ενέργειας είναι μια βασική αρχή της φυσικής, η παραβίαση της οποίας συνήθως συνεπάγεται νέα φυσική. Στην πρόσφατα δημοσιευμένη εργασία με τίτλο «Machine-Learning Non-Conservative Dynamics for New-Physics Detection» παρουσιάζεται μια μέθοδος μηχανικής μάθησης που χρησιμοποιείται για την ανακάλυψη «νέας φυσικής» εξετάζοντας πειραματικά δεδομένα.

Συγκεκριμένα, δεδομένης της τροχιάς που καθορίζεται από άγνωστες δυνάμεις, ο μέθοδος που ονομάστηκε NNPhD (Neural New-Physics Detector=Νευρωνικός Ανιχνευτής Νέας Φυσικής) στοχεύει στην ανίχνευση νέας φυσικής αναλύοντας το πεδίο της δύναμης σε δύο τμήματα: αυτό που διατηρεί την ενέργεια και αυτό που δεν την διατηρεί (το συντηρητικό και μη συντηρητικό). Στην εργασία αποδεικνύεται ότι η μέθοδος NNPhD ανακαλύπτει ξανά με επιτυχία την νέα φυσική σε διάφορα παλαιότερα παραδείγματα: όπως την τριβή στο διπλό εκκρεμές (1493), τον πλανήτη Ποσειδώνα από τα δεδομένα της τροχιάς του Ουρανού (1846) και τα βαρυτικά κύματα (2017) από μια σπειροειδή τροχιά.

H μέθοδος μηχανικής μάθησης NNPhD κατάφερε να ξανα-ανακαλύψει διάφορα γνωστά κλασσικά παραδείγματα

Η διατήρηση της ενέργειας είναι ένας θεμελιώδης φυσικός νόμος, και όταν παρατηρείται η μη διατήρησή της σε ένα σύστημα σωμάτων, οι φυσικοί το θεωρούν ως απόδειξη της ύπαρξης ενός αόρατου σώματος ή νέων εξωτερικών δυνάμεων, χωρίς να αμφισβητούν τον ίδιο τον νόμο διατήρησης. Στην εν λόγω εργασία η μη διατήρηση της ενέργειας αναφέρεται ως νέα φυσική και επιχειρείται η αυτόματη ανίχνευσή της. Πολλές νέες ανακαλύψεις της φυσικής πραγματοποιήθηκαν μετά από παρατηρήσεις που έδειχναν ότι παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της ενέργειας, για παράδειγμα η τριβή, ο πλανήτης Ποσειδώνας, τα νετρίνα, η σκοτεινή ύλη, οι εξωπλανήτες και τα βαρυτικά κύματα.

Σε αυτές τις περιπτώσεις, η νέα φυσική ταυτοποιήθηκε από την αποκάλυψη μιας ελλείπουσας αλληλεπίδρασης, μέσα από την προσαρμογή των δεδομένων σε γνωστές συντηρητικές δυνάμεις. Η προτεινόμενη μέθοδος μηχανικής μάθησης NNPhD, μπορεί να ανακαλύψει τη νέα φυσική ακόμα και όταν η μορφή της διατηρητικής «παλιάς φυσικής» δεν είναι γνωστή.

Οι νέες ανακαλύψεις μέσα από την ανάλυση πειραματικών δεδομένων πολλές φορές είναι επίπονες και χρονοβόρες. Για παράδειγμα, ο Κέπλερ πέρασε 25 χρόνια αναλύοντας αστρονομικά δεδομένα πριν διατυπώσει τους τρεις νόμους του. Τα εργαλεία της μεθόδου NNPhD στοχεύουν στην αυτοματοποίηση και την «επιτάχυνση» της ανακάλυψης νέας φυσικής μέσα από τα διαθέσιμα πειραματικά δεδομένα. Πιο συγκεκριμένα, δεδομένης της τροχιάς ενός ή περισσότερων σωμάτων που καθορίζεται από κάποια δύναμη, η μέθοδος επιχειρεί την διάσπαση της δύναμης σε δυο τμήματα, ένα συντηρητικό και ένα μη συντηρητικό. Τετριμμένο παράδειγμα είναι η δύναμη της στην φθίνουσα ταλάντωση F=−kq−γq’, στο συντηρητικό κομμάτι Fc = −kx και στο μη συντηρητικό Fn = −γq˙.

H μέθοδος NNPhD επιχειρεί αυτοματοποιημένα να αποσυνθέσει αυτά τα τρία πεδία δυνάμεων σε ένα συντηρητικό μέρος (πρώτος όρος) και ένα μη συντηρητικό μέρος (δεύτερος όρος) που αντιστοιχεί στη «νέα φυσική»

Μπορεί όποιος επιθυμεί να διαβάσει περισσότερες τις λεπτομέρειες σχετικά με την μέθοδο NNPhD ΕΔΩ: https://arxiv.org/pdf/2106.00026.pdf. Είναι φανερό από την εργασία αυτή ότι η τεχνητή νοημοσύνη υπεισέρχεται αθόρυβα στην ζωή μας, σε τομείς που δεν φανταστήκαμε ποτέ – ακόμα και στην βασική έρευνα που στοχεύει την ανακάλυψη νέας φυσικής.

Γι’ αυτό αξίζει να συνεχίσουμε με ένα χαρακτηριστικό απόσπασμα από το βιβλίο του Max Tegmark (ενός από τους συγγραφείς της παραπάνω εργασίας) : «LIFE 3.0, Τι θα σημαίνει να είσαι άνθρωπος στην εποχή της τεχνητής νοημοσύνης«, (μετάφραση Νίκος Αποστολόπουλος), εκδόσεις Τραυλός.

«(Βλέπουμε) λοιπόν ότι η Τεχνητή Νοημοσύνη (ΤΝ) θα γεννήσει πιθανότατα σπουδαίες ευκαιρίες, αλλά θα φέρει και δύσκολες προκλήσεις. Μια στρατηγική που μάλλον θα βοηθήσει σε κάθε περίπτωση είναι η συνεργασία μας, η κοινή δράση για να βελτιωθεί η κοινωνία μας πριν προλάβει η ΤΝ να απογειωθεί για τα καλά. Το καλύτερο που έχουμε να κάνουμε είναι να εκπαιδεύσουμε τους νέους ώστε να καταστήσουμε την τεχνολογία εύρωστη και ωφέλιμη, πριν της παραδώσουμε τον απόλυτο έλεγχο των πραγμάτων και της ζωής μας. Να ενημερώσουμε και να επικαιροποιήσουμε τους νόμους μας, πριν η τεχνολογία τους στείλει στο περιθώριο. Να επιλύσουμε τις διεθνείς διενέξεις πριν κλιμακωθούν και οδηγήσουν σε μια κούρσα εξοπλισμών με αυτόνομα όπλα. Να δημιουργήσουμε μια οικονομία η οποία θα διασφαλίζει την ευημερία για όλους, πριν καταπλεύσει η ΤΝ και μεγεθύνει τις ανισότητες. Είναι πολύ προτιμότερη μια κοινωνία όπου τα αποτελέσματα των ερευνών σχετικά με την ασφάλεια της ΤΝ θα εφαρμόζονται και δεν θα αγνοούνται. Κι αν κοιτάξουμε ακόμα πιο πέρα, στις προκλήσεις που σχετίζονται με την υπερανθρώπινη τεχνητή γενική νοημοσύνη (ΤΓΝ), το καλύτερο που έχουμε να κάνουμε πριν αρχίσουμε να τα διδάσκουμε σε πανίσχυρες μηχανές, είναι να συμφωνήσουμε τουλάχιστον σε ορισμένα βασικά ηθικά πρότυπα. Σε έναν πολωμένο και χαοτικό κόσμο, όσοι θα έχουν τη δύναμη να χρησιμοποιήσουν κακόβουλα την ΤΝ θα έχουν και περισσότερα κίνητρα και ικανότητες να το κάνουν, ενώ ομάδες που θα συναγωνίζονται για να δημιουργήσουν ΤΓΝ θα αισθάνονται περισσότερη πίεση, με αποτέλεσμα να υποχωρούν σε ζητήματα ασφάλειας, αλλά και συνεργασίας. Κοντολογίς, αν μπορούμε να δημιουργήσουμε μια πιο αρμονική ανθρώπινη κοινωνία η οποία θα χαρακτηρίζεται από τη συνεργασία με σκοπό την επίτευξη των κοινών μας στόχων, τότε θα αυξηθούν και οι πιθανότητες για ευτυχή κατάληξη στην επανάσταση της ΤΝ.

Με άλλα λόγια, αν θέλουμε να βελτιώσουμε το μέλλον της ζωής, πρέπει να βελτιώσουμε το αύριο. Έχουμε τη δύναμη να το κάνουμε με πολλούς τρόπους. Μπορούμε φυσικά να ψηφίζουμε στις εκλογές και να λέμε στους πολιτικούς τις απόψεις μας για την εκπαίδευση, τα ατομικά δικαιώματα, τα θανατηφόρα αυτόνομα όπλα, την ανεργία που επιφέρει η τεχνολογία και άλλα θέματα. Ψηφίζουμε όμως και κάθε μέρα μέσα από αυτά που επιλέγουμε να αγοράζουμε, μέσα από τις ειδήσεις που επιλέγουμε να καταναλώνουμε, από αυτά που επιλέγουμε να μοιραζόμαστε και από τα πρότυπα που επιλέγουμε ν’ ακολουθήσουμε. Θέλετε να γίνετε κάποιος ή κάποια που διακόπτει κάθε συζήτηση για να ελέγξει το κινητό του/της, ή κάποιος που αισθάνεται ενισχυμένος όταν χρησιμοποιεί την τεχνολογία συνειδητά και προγραμματισμένα; Θέλετε να εξουσιάζετε εσείς την τεχνολογία σας, ή να εξουσιάζει εσάς η τεχνολογία; Τι θέλετε να σημαίνει άνθρωπος στην εποχή της ΤΝ; Σας προκαλώ να κουβεντιάσετε όλα αυτά τα ερωτήματα με τους φίλους σας, με τους δικούς σας ανθρώπους – δεν είναι απλώς μια σημαντική συζήτηση, είναι μια συναρπαστική συζήτηση.

Εμείς είμαστε σήμερα οι φύλακες του μέλλοντος της ζωής, εμείς διαμορφώνουμε την εποχή της ΤΝ.. Αισθάνομαι σήμερα ότι τούτο το μέλλον δεν κρύβει τίποτε το αναπόφευκτο, και ότι τελικά είναι πολύ πιο εύκολο απ’ όσο αρχικά πίστευα, εντέλει να κάνεις τη διαφορά. Το μέλλον μας δεν έχει χαραχτεί στην πέτρα ούτε περιμένει να μας συμβεί – είναι δικό μας. εμείς το δημιουργούμε.

Ας δημιουργήσουμε όλοι μαζί ένα όμορφο μέλλον. ένα μέλλον που θα μας εμπνεύσει!»

 

Πηγή

Κατηγορίες:
Και κάτι άλλο...

Η θεωρία παιγνίων και ο John Nash

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Η Θεωρία Παιγνίων (Game Theory) ένας αυτοδύναμος κλάδος των μαθηματικών, με ένα τεράστιο εύρος εφαρμογών σχεδόν στα πάντα στη καθημερινή μας ζωή. Το κύριο θέμα μελέτης του, είναι η μελέτη στρατηγικών που πρέπει να ακολουθηθούν για το ατομικό (κυρίως) καλό, αλλά και για το καλό της ομάδας πολλές φορές. Στόχος φυσικά η νίκη στο παιχνίδι (παίγνιο). Θα λέγαμε ότι πρόκειται για τη στρατηγική λήψης αποφάσεων μεταξύ μιας ομάδας ατόμων οι οποίοι ακολουθούν πάντα λογικά βήματα.

Nash

Η ομάδα αυτή ανταγωνίζεται με σκοπό το κάθε μέλος της να αποκτήσει το μεγαλύτερο όφελος-κέρδος. Οι αποφάσεις αυτές λαμβάνονται σε διάφορες καταστάσεις όπου τα άτομα (παίκτες) αλληλεπιδρούν βάσει των αποφάσεων που λαμβάνουν. Επομένως το παίγνιο αντιπροσωπεύει την κατάσταση κατά την οποία δύο ή περισσότερες οντότητες (οι παίκτες) επιλέγουν τρόπους με τους οποίους θα ενεργήσουν (οι αποφάσεις που θα λαμβάνουν), δημιουργώντας έτσι μεταξύ τους καταστάσεις αλληλεξάρτησης. Η θεωρία παιγνίων δεν αναφέρεται μόνο σε παιχνίδια του τζόγου, αλλά περιλαμβάνει από απλά προβλήματα της καθημερινής μας ζωής μέχρι σε θέματα βιολογίας, πολιτικής, κοινωνιολογίας, πληροφορικής, ψυχολογίας και πολλών άλλων επιστημών.

Το ξεκίνημα της θεωρίας παιγνίων στην ταινία Beautiful Mind (Ένας υπέροχος άνθρωπος)

Η επίμαχη σκηνή: με την ξανθιά στην ταινία Beautiful Mind όπου του ήρθε η ιδέα στο Νας να περιγράψει μια καινούργια θεωρία

Στην ταίνια Beautiful Mind ο προικισμένος φοιτητής του Πρίνστον βρίσκεται σε ένα μπαράκι μαζί με άλλους συμφοιτητές του πίνοντας και δουλεύοντας στο μυαλό του τις ιδέες του.  Κάποια στιγμή κάνει την εμφάνισή της μέσα στο μπαράκι μια γυναικεία παρέα από πέντε κοπέλες, μια εντυπωσιακή ξανθιά και τέσσερις μελαχρινές. Οι τέσσερις φίλοι γοητεύονται από την ξανθιά και προκαλούν ο ένας τον άλλο για το ποιος θα καταφέρει να την κατακτήσει. Όλοι καρφώνονται πάνω της. Όλοι θέλουν αυτή και μόνο αυτή. Αμέσως μαζεύεται η παρέα και οργανώνει με τί σειρά ο καθένας θα πλησιάσουν τη ξανθιά ύπαρξη. Παρατηρώντας καλύτερα βλέπουμε ότι έχουμε ένα κλασικό παίγνιο με παίκτες (οι άντρες-φοιτητές του Πρίνστον) και οι ενέργειες που θα επιλέξει να πράξει ο καθένας, να αποτελούν τις στρατηγικές του παιχνιδιού.

Αυτή η ιστορία, παρ’ όλο που πλάστηκε στο μυαλό των σεναριογράφων της ταινίας και όχι του ίδιου του Νας, μας διδάσκει ότι το καλύτερο σύστημα δεν είναι πάντα αυτό στο οποίο καθένας αγωνίζεται για το ατομικό συμφέρον του.

Τη στιγμή αυτή ο ένας από τους φοιτητές διατυπώνει τη μέχρι τότε γνωστή θεωρία που υπήρχε (Adam Smith (1723-1790)): Κάθε παίκτης (άντρας) πρέπει να κινηθεί μεμονωμένα και ανεξάρτητα χωρίς να λάβει υπόψη τη κίνηση των υπολοίπων ή ισοδύναμα «σε ένα παίγνιο το καλύτερο για μια ομάδα είναι να κάνει ο καθένας το καλύτερο που μπορεί για εκείνον». Η θεωρία αυτή του μεγάλου αυτού οικονομολόγου πρότεινε, ότι θα ήταν καλύτερο για την ομάδα εάν όλοι οι άντρες πήγαιναν για την ξανθιά, έτσι οι πιθανότητες να τη κατακτήσουν ήταν οι περισσότερες δυνατές.

Η ανακάλυψη του Νας;

Ακούγοντας ο Νας τη θεωρία του Adam Smith ξαφνικά του ήρθε μια νέα ιδέα. Κατάλαβε πως η μέχρι τότε γνωστή θεωρία του Smith ήταν ελλιπής. Συγκεκριμένα στην ταινία ο Νας (μέσω του Ράσελ Κρόου) αναφέρει:

«Εάν προσπαθήσουμε όλοι να κατακτήσουμε την ξανθιά, θα ακυρώσουμε αμοιβαία τις προσπάθειές μας και κανένας μας δεν πρόκειται να την κατακτήσει. Στη συνέχεια, όταν θα συμβιβαστούμε με τις μελαχρινές, εκείνες θα μας απορρίψουν, γιατί καμιά γυναίκα δεν θέλει να αποτελεί τη δεύτερη επιλογή. Αλλά τι θα συμβεί αν κανένας δε πάει για την ξανθιά; Δε μπαίνει ο ένας στο δρόμο του άλλου και δεν προσβάλλουμε τα άλλα κορίτσια. Αυτός είναι ο μόνος τρόπος για να κερδίσουμε. Μπορεί όχι τη ξανθιά, αλλά σίγουρα δε θα μείνει κανένας χωρίς κοπέλα. Και φυσικά αυξάνουμε τις πιθανότητες αν πάει ένας από εμάς στη ξανθιά να τη κατακτήσει (έχοντάς τη απομονώσει από τις φίλες της)».

Το ποιός θα πάει (το λεγόμενο «σημείο εστίασης» στη θεωρία Nash) επιλέγεται αυτός με τις μεγαλύτερες πιθανότητες νίκης. Έτσι λοιπόν έλαμψαν τα μάτια του Ράσελ Κρόου στη ταινία, καθώς ουσιαστικά στεκόταν απέναντι σε μια θεωρία αιώνων μέχρι εκείνη τη στιγμή. Με περίσσιο θάρρος την αμφισβητούσε όπως πράγματι είχε κάνει ο Τζον Νας πριν ακόμα η σχιζοφρένεια κάνει την εμφάνισή της στη ζωή του.

Έτσι ο Τζον Νας, τη δεκαετία του ’50, δημιούργησε ένα νέο μαθηματικό πεδίο που ονομάστηκε «θεωρία παιγνίων»: για να κατανοήσει πώς συμπεριφέρονται οι άνθρωποι σε διάφορες καταστάσεις. Έφτιαξε λοιπόν ένα απλοποιημένο σχήμα των σχέσεων και των ενεργειών τους και επεξεργάστηκε κάποιες εξισώσεις που τις περιέγραφαν. Το αποτέλεσμα δεν ήταν βέβαια ο μαθηματικός τύπος των ανθρώπινων σχέσεων, όμως αποδείχτηκε αρκετά σημαντικό ώστε να του χαρίσει το νόμπελ οικονομίας το 1994.

Το Θεώρημα Nash

Το θεώρημα που διατύπωσε ο Nash αναφέρει πως κάθε παίγνιο με πεπερασμένο πλήθος παικτών και ενεργειών έχει τουλάχιστον ένα σημείο ισορροπίας, σύμφωνα με το οποίο όλοι οι παίκτες σκέφτονται τι μπορεί να διαλέξει ο αντίπαλος τους, προσπαθούν να καταλάβουν τη συμπεριφορά των άλλων και επιλέγουν την στρατηγική τους σύμφωνα με αυτό. επιλέγουν τις πιο συμφέρουσες για αυτούς ενέργειες, γνωρίζοντας και τις επιλογές των αντιπάλων τους.

Αυτός ο συνδυασμός στρατηγικών αποτελεί τη λεγόμενη ισορροπία Nash. Ο παίκτης επιλέγει εκείνη από τις δικές του στρατηγικές, η οποία είναι η καλύτερη απάντηση στην στρατηγική που νομίζει ότι θα επιλέξει ο άλλος παίκτης, δεδομένου ότι κάθε πεποίθηση του εκάστοτε παίκτη για το τι θα πράξει ο άλλος είναι σωστή. Επομένως κανένας παίκτης δεν έχει κίνητρο να φύγει μονομερώς από αυτήν την ισορροπία που έχει δημιουργηθεί, καθώς οποιαδήποτε αλλαγή στις στρατηγικές από οποιονδήποτε από αυτούς, θα οδηγήσει σε χαμηλότερο κέρδος από αυτό που θα είχαν αν παρέμεναν στη σωστή στρατηγική. Δυστυχώς σχεδόν όλοι σκέφτονται μόνο το προσωπικό συμφέρον, με αποτέλεσμα να οδηγηθούν σε μη επιθυμητά αποτελέσματα.

Τζον φον Νόιμαν και θεωρία παιγνίων

«Αν παίζουν δύο, συμφέρει να μπλοφάρεις μόνο όταν έχεις τα χειρότερα χαρτιά, όχι όταν έχεις μέτρια».. Αυτός ο κανόνας αναφέρεται στο βιβλίο Theory of Games and Economic Behaviour (1944) του μαθηματικού Τζον φον Νόιμαν και του οικονομολόγου Όσκαρ Μόργκενστερν, που συγκαταλέγονται τους θεμελιωτές της θεωρίας παιγνίων.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μείνει μόνο δύο παίκτες. Ο μοναδικός τρόπος για να κερδίσω ενώ έχω τα χειρότερα χαρτιά είναι να μπλοφάρω. Αν περιμένω την κίνηση του αντίπαλου, θα χάσω, είτε αυτός ποντάρει είτε όχι.

Τον φον Νόιμαν τον ενδιέφερε το πόκερ μόνο ως σημείο αφετηρίας για μια θεωρία που θα εξηγούσε κάθε είδος ανθρώπινης σχέσης, από την οικονομία ως τις σχέσεις των ζευγαριών. «Η ζωή είναι γεμάτη μπλόφες», υποστήριζε, «γεμάτη μικρές τακτικές παραπλάνησης: αυτό αποκρυπτογραφούν τα παιχνίδια της θεωρίας μου». Στόχος ομολογουμένως πολύ φιλόδοξος, ακόμα και γι’ αυτόν τον εκκεντρικό επιστήμονα που, όπως λέγεται, κατάφερνε να απομνημονεύσει μια σελίδα του τηλεφωνικού καταλόγου μέσα σε λίγα λεπτά.

Ωστόσο ο ίδιος έθεσε τη συνεργασία στους ακρογωνιαίους λίθους της θεωρίας του. Γνώριζε, πράγματι, ότι σε ορισμένες περιπτώσεις η συνεργασία είναι επωφελής, όπως στην παραπάνω φανταστική σκηνή της ταινίας Ένας υπέροχος άνθρωπος.

Υπολογισμός της «ωφέλειας»

Στα παιχνίδια όπου μπορεί να καθοριστεί η «ωφέλεια» κάθε παίκτη μπορούν να βρεθούν πολύ συγκεκριμένες λύσεις. Ένα καλό παράδειγμα είναι η διαπραγμάτευση, την οποία μελέτησε ο Νας το 1950: δύο άτομα πρέπει να μοιραστούν ένα χρηματικό ποσό, ο ένας είναι πλούσιος ενώ ο άλλος όχι. Ενώ ο φτωχός, λόγω ανάγκης, θα ικανοποιηθεί ακόμα και με λίγα, ο πλούσιος, λόγω ισχύος, θα ευχαριστηθεί μόνο με πολλά χρήματα. Αυτό το μοντέλο οδηγεί σε ένα άνισο αποτέλεσμα. Στην περίπτωση που έλυσε ο Νας, αν το ποσό είναι 500 ευρώ, ο πλούσιος θα πάρει 310 ενώ ο φτωχός μόλις 190.

Ο Νας λαμβάνει υπόψη ένα θεμελιώδη παράγοντα: τα πράγματα, ακόμα και το χρήμα, έχουν διαφορετική αξία για κάθε άτομο και αυτό επηρεάζει το παιχνίδι.

Αυτό το συμπέρασμα μπορεί να μοιάζει κυνικό, όμως η ίδια θεωρία μπορεί να εκφράσει συναισθήματα αγάπης, αλτρουισμού και φιλανθρωπίας. Ένα παράδειγμα είναι το παρακάτω. Ένας πατέρας παίζει μουτζούρη με το μικρό γιο του και οι κανόνες είναι απλοί: χάνει όποιος μείνει στο τέλος με το μουτζούρη. Αν το παιδί με κάποιον τρόπο δώσει στο γονέα του να καταλάβει ποιό χαρτί είναι ο μουτζούρης, παρ’ όλο που οι κανόνες προβλέπουν ότι χάνει αυτός που μένει με το μουτζούρη, ο πατέρας και πάλι θα το πάρει. Γιατί σε αυτή την περίπτωση η ωφέλειά του δεν είναι τόσο να νικήσει ο ίδιος όσο να δει το παιδί ευχαριστημένο. Ο αλτρουισμός των παικτών είναι ένα στοιχείο του παιχνιδιού και πρέπει να λαμβάνεται υπόψη προκειμένου η θεωρία να περιγράψει, έστω και τμηματικά, τη ζωή.

 

Πηγή

Κατηγορίες:
Και κάτι άλλο...

Τι είναι η θεωρία παιγνίων;

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

game-theory

Η Θεωρία Παιγνίων μελετά την ορθολογική λήψη αποφάσεων σ’ ένα ανταγωνιστικό περιβάλλον. Για παράδειγμα, οι στρατηγικές επιλογές μιας εταιρίας επηρεάζονται από τις ενέργειες των ανταγωνιστών της, οι οποίοι με την σειρά τους λαμβάνουν υπόψη τους τις πιθανές κινήσεις των αντιπάλων τους προκειμένου να καθορίσουν τις δικές τους κινήσεις.  Εξετάζει μια ομάδα που ανταγωνίζεται µε σκοπό η κάθε μία να αποκτήσει το µεγαλύτερο όφελος. Μπορεί να αφορά και ένα μόνο άτομο που σκοπός του είναι να µεγιστοποιήσει το κέρδος του, το οποίο µετράται σε µια κλίµακα ωφέλειας.

Τέτοιες αλληλεπιδράσεις μεταξύ ανταγωνιστών στη λήψη στρατηγικών αποφάσεων παρατηρούνται συχνά στον κόσμο των επιχειρήσεων, τόσο μεταξύ ανταγωνιστικών εταιριών όσο και μεταξύ στελεχών της ίδιας εταιρείας. Η Θεωρία Παιγνίων μελετά αυτές τις καταστάσεις και βοηθά στην καλύτερη κατανόηση των παραμέτρων που καθορίζουν την ανταγωνιστική συμπεριφορά.

Εποµένως το παίγνιο που αναφέρεται στην θεωρία παιγνίων αντιπροσωπεύει την κατάσταση κατά την οποία δύο ή περισσότεροι παίκτες επιλέγουν τρόπους ενέργειας, που δηµιουργούν καταστάσεις αλληλεξάρτησης.

Τα πράγματα αποκτούν περισσότερο ενδιαφέρον στην πράξη εάν λάβουμε υπ’ όψιν πως δεν έχουμε μόνο να κάνουμε με ορθολογιστές αλλά και με ανισόρροπους αντιπάλους ή, αν θέλετε, με παίκτες. Κοινώς, και με τρελούς, ακόμα και με ψυχασθενείς. Εδώ υπεισέρχεται η ψυχολογία και μάλιστα με αξιώσεις που επισκιάζουν τους μαθηματικούς αναλυτές.

Ένα ιστορικώς καταγεγραμμένο πολιτικό και στρατιωτικό θέμα εφαρμογής έγινε κατά τον Δεύτερο Παγκόσμιο πόλεμο από τους Άγγλους, οι οποίοι προσπάθησαν να αποκωδικοποιήσουν τις κινήσεις του Χίτλερ χρησιμοποιώντας παρόμοιες μεθόδους και με προσοχή συνέλεγαν όλα τα στοιχεία που μπορούσαν να βρουν για τη συμπεριφορά του. Στόχος ήταν να προβλέψουν την επόμενη κίνηση και να τοποθετηθούν καταλλήλως.

Δυο από τα πολύ γνωστά μοντέλα της θεωρίας παιγνίων είναι το chicken game και το prisoners dilemma. Το πρώτο έχει να κάνει με αντιπάλους που δεν υπολογίζουν τίποτα. Δυο επιθετικούς ανταγωνιστές που έχουν διάθεση να φτάσουν στα άκρα, ελπίζοντας όμως ότι στην κρίσιμη στιγμή θα κάνει πίσω ο εχθρός για να μην καταστραφεί, αν όμως δεν κάνει, μπορεί να εξολοθρευτούν και οι δυο. Συμβαίνει και στην πράξη σήμερα, σε ένα είδος απαγορευμένου φυσικά αγωνίσματος, όταν τρέχουν δυο ανταγωνιστές με φουλ γκαζωμένα αυτοκίνητα σε πορεία μετωπικής σύγκρουσης. Ποιος θα κάνει πρώτος στην μπάντα; Μπορείτε να στοιχηματίσετε.

Το δεύτερο αναφέρεται στη δύσκολη θέση δυο ή περισσότερων κακοποιών, συνεταίρων, για τους οποίους όμως δεν υπάρχουν αρκετά και διαθέσιμα αποδεικτικά στοιχεία στην εισαγγελία. Κλεισμένοι σε χωριστά κελιά πιέζονται να ομολογήσουν, ο ένας εναντίων των άλλων, με αντάλλαγμα ο συνεργαζόμενος με τις Αρχές να τη βγάλει σχεδόν καθαρή, ο άλλος να μπει βαθιά στη στενή για χρόνια. Αν δεν μαρτυρήσει κανένας, ίσως να γλιτώσουν και οι δυο ή όλοι.

Ιστορική αναδροµή

Η πρώτη γνωστή αναφορά στη Θεωρία Παιγνίων έγινε τον 18ο αιώνα (1838) από τον Γάλλο οικονοµολόγο Augustin Cournot ο οποίος κατάφερε να αναλύσει ολιγοπωλιακές καταστάσεις µε τρόπο παρόµοιο µε τις σύγχρονες µεθόδους της θεωρίας παιγνίων.

Ωστόσο η ουσιαστική της ανάπτυξη αποδίδεται στον Ούγγρο φυσικό και µαθηµατικό, John von Neumann, ο οποίος το 1928 απέδειξε ότι τα παιχνίδια µηδενικού αθροίσµατος έχουν πάντα λύση και ότι η απώλεια ενός παίκτη είναι ίση µε το κέρδος του δεύτερου. Καθοριστική στην µετέπειτα ανάπτυξη της θεωρίας παιγνίων ήταν η δηµοσίευση του βιβλίου “Theory of Games & Economic Behavior”, το 1944, από τους John von Neumann και Oskar Morgenstern.

Στις αρχές της δεκαετίας του 1950 ο Αµερικανός µαθηµατικός και οικονοµολόγος John Nash εισήγαγε µια ισορροπία για παιχνίδια µη-µηδενικού αθροίσµατος, γνωστή σαν ισορροπία Nash. Πρόκειται για µια κατάσταση, όπως θα δούµε και παρακάτω, από την οποία κανέναν παίκτη δεν τον συµφέρει να αποµακρυνθεί, δεδοµένων των επιλογών των αντιπάλων τους. Η ζωή του έγινε θέµα της ταινίας “Ένας υπέροχος άνθρωπος” µε τον Russel Crow, όχι µόνο για όλα όσα προσέφερε στη θεωρία παιγνίων, αλλά και επειδή έπασχε από σύνδροµο καταδίωξης και σχιζοφρένειας από την ηλικία των 29 ετών.

Από εκείνο το σηµείο και µετά η θεωρία παιγνίων είχε αλµατώδη ανάπτυξη και άρχισε να εφαρµόζεται σε όλους τους τοµείς και τις πολιτικές επιστήµες, ενώ πληθώρα ερευνητικών πειραµάτων ξεκίνησαν προσπαθώντας να βρουν λύση σε όλο και περισσότερα προβλήµατα. Το 1965 ο Reinhard Selten µελέτησε τα δυναµικά παίγνια(αυτά που εξελίσσονται στο χρόνο) εισάγοντας την έννοια της ισορροπίας στα υποπαίγνια (subgame perfect equilibrium) και της ισορροπίας τρεµάµενου χεριού(trembling hand perfect equilibrium), ενώ το 1975 ο John Harsanyi γενίκευσε τις ιδέες του John Nash και µελέτησε παίγνια µη-πλήρους πληροφόρησης.

Για τις εργασίες τους, οι τρεις αυτοί άνθρωποι τιµήθηκαν αργότερα, το 1994, µε το βραβείο Νόµπελ της Σουηδικής Ακαδηµίας Επιστηµών.

Τη δεκαετία του 1970 άρχισε να εφαρµόζεται και στον κλάδο της βιολογίας, σαν αποτέλεσµα της εργασίας του John Maynard Smith σχετικά µε την έννοια της “εξελικτικά σταθερής στρατηγικής”(evolutionary stable strategy).

Στα τέλη της δεκαετίας του 1990 η θεωρία παιγνίων εφαρµόστηκε στον σχεδιασµό δηµοπρασιών. Πάνω σε αυτό ασχολήθηκαν διάφοροι επιστήµονες για την κατανοµή δικαιωµάτων χρήσης του ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος στη βιοµηχανία των κινητών τηλεπικοινωνιών.

Το 2005 ο Αµερικανός επιστήµονας Tomas Schelling και ο Γερµανός θεωρητικός παιγνίων Robert Aumann κέρδισαν το βραβείο Νόµπελ για τις Οικονοµικές επιστήµες “επειδή εµπλούτισαν την αντίληψη µας σχετικά µε τις έννοιες του ανταγωνισµού και της συνεργασίας µέσω της παιγνιοθεωρητικής ανάλυσης ”.

Τους ακολούθησαν το 2007 οι Roger Myerson, Leonid Hurwicz και Eric Maskin “για τη θεµελίωση της θεωρίας σχεδιασµού µηχανισµών”.

Εφαρµογές στην καθηµερινή ζωή

Όπως είδαµε µέχρι τώρα και θα δούµε και παρακάτω, η θεωρία παιγνίων έχει µεγάλη γκάµα εφαρµογών. Θα λέγαµε πως όλα έχουν κάποια σχέση µε την θεωρία παιγνίων αφού έχει εφαρµογές στην οικονοµία, στις επιχειρήσεις, στην πληροφορική, στις τηλεπικοινωνίες, στην πολιτική, στην κοινωνιολογία, στη βιολογία και φυσικά στην καθηµερινότητα. Μια σύγχρονη µαθηµατική θεωρία µπορεί να αναλύσει κάθε είδος αναµέτρησης , από την ντάµα και το σκάκι µέχρι τον τζόγο ή έναν πυρηνικό πόλεµο, και να προβλέψει τον νικητή.

Οι οικονοµολόγοι εδώ και πολύ καιρό χρησιµοποιούν τη θεωρία παιγνίων(έχοντας ως υλικά υποστήριξης τα πέντε βραβεία Νόµπελ στα οικονοµικά) για να αναλύσουν διάφορους κλάδους όπως για παράδειγµα η βιοµηχανική οργάνωση(industrial organization), ο σχεδιασµός µηχανισµών(mechanism design) µε υποκλάδο τις δηµοπρασίες, τις συµφωνίες, τα ολιγοπώλια, τα µονοπώλια, (ο Γάλλος µαθηµατικός Κουρνό το 1838 έγραψε το πρώτο µοντέλο δυοπωλίου )  τα συστήµατα για να µπορεί κάποιος να ψηφίσει και πολλά άλλα. Οι έρευνες αυτές για να πραγµατοποιηθούν εστιάζουν στην ισορροπία που υπάρχει στα παιχνίδια, την οποία θα σχολιάσουµε παρακάτω.

Επιπρόσθετα παίζει σηµαντικό ρόλο στην παγκόσµια διπλωµατία και στις πολεµικές στρατηγικές, επηρεάζοντας τη µοίρα των διαφόρων χωρών ακόµη και αν δεν είναι άµεσα ορατό.

Χρησιµοποιείται όµως και στην Πολιτική Οικονοµία και ειδικά στη θεωρία της συλλογικής δράσης (Collective action), όπου εξηγεί ενδεχόµενα συνεργασίας µεταξύ των παικτών. Αυτό βρίσκεται σε άµεση συσχέτιση µε τον ρόλο του κράτους και των θεσµών σε θέµατα συνεργασίας. Χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η παροχή δηµόσιων αγαθών και η φορολογία.

Στη βιολογία η θεωρία παιγνίων έχει χρησιµοποιηθεί για να κατανοήσουµε διάφορα φαινόµενα. Πρωτοχρησιµοποιήθηκε για να εξηγήσει την εξέλιξη(και την σταθερότητα) της αναλογίας 1 προς 1 στα φύλα. Ο Ronald Fisher (1930) πρότεινε ότι αυτή η αναλογία είναι αποτέλεσµα εξελικτικών δυνάµεων που δρουν µεµονωµένα, προσπαθώντας να µεγιστοποιήσουν τον αριθµό των εγγονιών! Συµπληρωµατικά οι επιστήµονες προσπάθησαν να εξηγήσουν την εµφάνιση της επικοινωνίας στα ζώα, ενώ ανέλυσαν και την επιθετική συµπεριφορά τους.

Είναι ξεκάθαρο ότι µπορούµε να αναφέρουµε άπειρες εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων σε διάφορους τοµείς ακόµη και στην καθηµερινότητα µας, από τα πιο πολύπλοκα έως τα πιο απλά όπως για παράδειγµα πιο αυτοκίνητο να αγοράσουµε, που θα πάµε το βράδυ ή τι θα φορέσουµε.

Βασικές έννοιες της θεωρίας παιγνίων

Θεµέλιο λίθο στην θεωρία παιγνίων αποτελούν τα βασικά χαρακτηριστικά του παιγνίου. Ως στοιχεία του παιγνίου θεωρούνται το σύνολο των παικτών, το σύνολο των πιθανών ενεργειών που θα πραγµατοποιήσουν οι παίκτες(οι στρατηγικές τους), οι πληροφορίες που υπάρχουν κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού, τα αποτελέσµατα που µπορεί να αποκοµίσει ο παίκτης για κάθε ενέργεια του, καθώς επίσης και οι προτιµήσεις των παικτών µε βάσει τα αποτελέσµατα. Το αποτέλεσµα που µπορεί να αποκοµίσει ο παίκτης(outcome), εξαρτάται από τις στρατηγικές που θα ακολουθήσει και από τις αποδόσεις που µπορεί να λάβει. Η απόδοση (payoff), είναι η αριθµητική αποτίµηση των στόχων του, η χρησιµότητα που θα αποκτήσει όταν το παιχνίδι θα τελειώσει.

Με τον όρο στρατηγική ορίζουµε το σύνολο των κανόνων σχετικά µε το ποια επιλογή πρέπει να ακολουθήσει ο παίκτης, ποιες είναι οι επιλογές του στο κάθε παίγνιο ξεχωριστά, έχοντας όµως υπόψη του και όλες τις κινήσεις του αντιπάλου.

Μια διάκριση που µπορεί να γίνει στις στρατηγικές είναι σε αµιγείς“pure”και σε µεικτές “mixed”στρατηγικές. Μια αµιγής(καθαρή) στρατηγική είναι εκείνη στην οποία κάθε µία από τις δυνατές επιλογές που έχει ο παίκτης επιλέγεται στο ακέραιο. Αντίθετα µεικτή είναι η στρατηγική η οποία περιλαµβάνει συνδυασµό επιλογών, από τις οποίες τουλάχιστον µία επιλέγεται µε µη ακέραιες τιµές. Οι µεικτές στρατηγικές δηλαδή καθορίζουν ότι η στρατηγική που θα διαλέξει ο παίκτης θα επιλεγεί τυχαία από το σύνολο των καθαρών στρατηγικών που έχει, µε κάποια πιθανότητα. Εποµένως µια µεικτή στρατηγική είναι µια κατανοµή ιθανοτήτων πάνω στις καθαρές στρατηγικές που έχει ο παίκτης.

Ένα παίγνιο στο οποίο οι παίκτες παίζουν ταυτόχρονα, µπορεί να απεικονιστεί ως “κανονική”(normal) ή “στρατηγική”(strategic) µορφή χρησιµοποιώντας έναν πίνακα ο οποίος συσχετίζει τις στρατηγικές των παικτών µε τις αποδόσεις που θα έχουν.

Ένα στρατηγικό παιχνίδι είναι ένα µοντέλο όπου έχουµε Ν παίκτες, καθένας από τους οποίους διαλέγει µόνο µία στρατηγική, η οποία δεν αλλάζει. Σε ένα στρατηγικό παιχνίδι υπάρχουν διάφορες συµπεριφορές παικτών:

• Το παιχνίδι παίζεται µόνο µία φορά.

• Κάθε παίκτης “ξέρει” το παιχνίδι(κάθε παίκτης γνωρίζει όλες τις κινήσεις και τις αποδόσεις του παιχνιδιού).

• Οι παίκτες είναι ορθολογικοί. Ένας ορθολογικός παίκτης είναι ένας παίκτης που παίζει εγωιστικά, θέλοντας να µεγιστοποιήσει το κέρδος του στο παιχνίδι, ενώ ταυτόχρονα γνωρίζει πως και οι αντίπαλοι του είναι ορθολογιστές.

• Όλοι οι παίκτες διαλέγουν τις κινήσεις τους ταυτόχρονα χωρίς όµως να γνωρίζουν τις επιλογές των άλλων παικτών.

Για να κατανοήσουµε καλύτερα την κανονική µορφή των παιγνίων, παραθέτουµε το τέταρτο παίγνιο του ερωτηµατολογίου το οποίο θα χρησιµοποιήσουµε σαν παράδειγµα για να εξηγήσουµε τα στρατηγικά παίγνια.

Πίνακας 1.1 Παίγνιο κυριαρχίας κινδύνου “Risk Dominance”

image

Το συγκεκριµένο παίγνιο είναι δύο γραµµών επί δύο στηλών και έχουµε δύο παίκτες, τον Α και τον Β. Ο Α παίκτης ονοµάζεται “παίκτης γραµµής”, ενώ ο Β “παίκτης στήλης”. Οι επικεφαλίδες των στηλών και των γραµµών είναι οι στρατηγικές του κάθε παίκτη. Η πρώτη στρατηγική επιλογή του Α παίκτη είναι η πρώτη γραµµή, η οποία ονοµάζεται α1, ενώ η δεύτερη στρατηγική του είναι η α2.

Οµοίως για τον παίκτη Β η πρώτη στρατηγική επιλογή του είναι η πρώτη στήλη, δηλαδή η β1, ενώ η δεύτερη στρατηγική του είναι η δεύτερη στήλη, η β2. Στα κελιά του κάθε πίνακα υπάρχουν αριθµοί που δείχνουν το κέρδος(όφελος, payoff) κάθε παίκτη για κάθε συνδυασµό στρατηγικών. Το πρώτο νούµερο σε κάθε κελί αντιστοιχεί στον παίκτη γραµµής, ενώ το δεύτερο ανήκει στον παίκτη στήλης.

Το παιχνίδι ξεκινάει και οι παίκτες διαλέγουν ταυτόχρονα µία στρατηγική. Το κελί που αντιστοιχεί στο σηµείο τοµής των δύο επιλογών δείχνει το κέρδος που έχουν οι δύο παίκτες. Αν για παράδειγµα, ο Α παίκτης διαλέξει την πρώτη στρατηγική επιλογή(α1) και ο Β επίσης την πρώτη(β1) τότε το κέρδος τους θα είναι 5 µονάδες για τον καθένα.

Οι παίκτες πριν πάρουν κάποια απόφαση και διαλέξουν ποια στρατηγική θα ακολουθήσουν, κοιτάνε ποια στρατηγική πραγµατικά τους ωφελεί, µε ποια θα έχουν το µεγαλύτερο δυνατό κέρδος ότι και να κάνει ο αντίπαλος τους. Σε αυτό το σηµείο η επιλογή γίνεται µε βάση την κυριαρχία των στρατηγικών.

Μια στρατηγική λέµε ότι είναι κυρίαρχη “dominant” εάν για όλους τους συνδυασµούς στρατηγικών των άλλων παικτών έχει το µεγαλύτερο όφελος σε σχέση µε τις υπόλοιπες. Είναι πάντα καλύτερη ότι και να κάνει ο άλλος παίκτης αφού έχει το µεγαλύτερο κέρδος σε σχέση µε τις άλλες εναλλακτικές επιλογές του. Αντιθέτως µια στρατηγική χαρακτηρίζεται ως κυριαρχούµενη “dominated” όταν υπάρχει κάποια άλλη στρατηγική που είναι πάντα καλύτερη ότι και να κάνει ο άλλος παίκτης.

Στο παραπάνω παράδειγµα βλέπουµε πως για τον Β παίκτη η στρατηγική β1 κυριαρχεί της στρατηγικής β2, αφού (5>4)και (1>0), δηλαδή αν ο Α παίκτης διαλέξει την α1 στρατηγική, ο Β θα επιλέξει την β1και το ίδιο θα κάνει αν ο Α διαλέξει την α2. Εποµένως η καλύτερη κίνηση του είναι να επιλέξει την β1 στρατηγική.

Για τις στρατηγικές του παίκτη Α όµως δεν παρατηρούµε το ίδιο. Αυτό γιατί αν ο Α ξέρει πως ο Β θα επιλέξει την β1 στρατηγική, τον συµφέρει να διαλέξει την α1, αφού (5>0) εάν όµως ο Β διαλέξει την β2, ο Α δεν θα επιλέξει πάλι την α1 αλλά την α2 αφού (-100<0). Εποµένως για τον Α παίκτη καµιά στρατηγική δεν κυριαρχεί της άλλης.

Αν κάποιος παίκτης έχει κυρίαρχη στρατηγική την ακολουθεί και τότε το παιχνίδι έχει λύση κυρίαρχης στρατηγικής. Όπως είδαµε όµως είναι πολύ πιθανό να µην υπάρχουν πάντα κυρίαρχες στρατηγικές αλλά να υπάρχουν ασθενείς κυριαρχίες.

Μια στρατηγική κυριαρχεί ασθενώς “weakly dominates” εάν για κάθε µία από τις εναλλακτικές στρατηγικές του παίκτη έχει τουλάχιστον ίση απολαβή για όλους τους συνδυασµούς στρατηγικών των υπολοίπων παικτών και καλύτερη απολαβή για τουλάχιστον έναν συνδυασµό στρατηγικών των άλλων παικτών. Όλες οι άλλες εναλλακτικές στρατηγικές ονοµάζονται ασθενώς κυριαρχούµενες “weakly dominated  strategy”. Στο παραπάνω παίγνιο η στρατηγική α1 κυριαρχεί ασθενώς της α2 αφού (5>-100) και (0=0).

Ο συνδυασµός των στρατηγικών που επιλέχθηκαν από κάθε παίκτη µας δίνει την έννοια της ισορροπίας “equilibrium”. Η ισορροπία στο παίγνιο δηλαδή προέρχεται από τις καλύτερες στρατηγικές µία για κάθε παίκτη στο παιχνίδι.  Στο παράδειγµα µας η ισορροπία βρίσκεται στο κελί (α1, β1) δηλαδή στη λύση (5, 5)  αφού η καλύτερη επιλογή για τον Α παίκτη είναι η α1, για τον Β παίκτη η β1 και η τοµή τους είναι το κελί (α1, β1).

Για να βρούµε αυτήν την ισορροπία εάν υπάρχει κυρίαρχη στρατηγική για κάποιον παίκτη τότε επιλέγεται, όπως αναφέραµε και παραπάνω. Σε περίπτωση όµως που δεν υπάρχει, ο περιορισµός των κυριαρχούµενων στρατηγικών “dominated” µπορεί να οδηγήσει στη δηµιουργία νέων κυριαρχούµενων στρατηγικών, οι οποίες µε τη σειρά τους θα απαλειφθούν κι αυτές. Ξεκινώντας το παιχνίδι διαγράφονται µία µια οι ασθενώς κυριαρχούµενες στρατηγικές από τις επιλογές του παίκτη και αυτό συνεχίζεται µέχρι να βρεθεί µόνο µία στρατηγική για κάθε παίκτη.

Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται απαλοιφή κυριαρχούµενων στρατηγικών “Iterated Elimination of Dominated Strategies, IEDS”. Η διαδικασία αυτή είναι απολύτως λογική αφού και οι παίκτες είναι λογικοί και γνωρίζουν πως και οι αντίπαλοι τους είναι λογικοί γεγονός που δείχνει ότι κανένας από αυτούς δεν θα επιλέξει µια στρατηγική η οποία είναι ασθενώς κυριαρχούµενη. Αν απαλείψουµε µόνο κυριαρχούµενες στρατηγικές, η σειρά της απαλοιφής δεν επηρεάζει το αποτέλεσµα. Ο κίνδυνος υπάρχει µόνο αν απαλείψουµε µε λάθος σειρά ασθενώς κυριαρχούµενες στρατηγικές, οδηγώντας µας σε λάθος αποτέλεσµα. Σωστή σειρά θεωρείται η ταυτόχρονη απαλοιφή για όλους τους παίκτες σε κάθε γύρο. 

Η σηµαντικότερη έννοια ισορροπίας στη θεωρία παιγνίων είναι η ισορροπία Nash που θα αναλύσουµε στην συνέχεια.

1.5 Κατηγορίες παιγνίων

Τα παίγνια µπορούν να ταξινοµηθούν σε διάφορες κατηγορίες µε βάση διάφορα είδη κριτηρίων. Εδώ θα προσπαθήσουµε να τα χωρίσουµε σε κάποιες κατηγορίες. Έτσι λοιπόν έχουµε τους εξής διαχωρισµούς:

Σύµφωνα µε τον αριθµό των παικτών που παίρνουν µέρος. Αν υπάρχουν δύο παίκτες τότε ονοµάζονται “παίγνια δύο παικτών”, ενώ αν οι παίκτες είναι περισσότεροι(έστω n), τότε έχουµε “παίγνια n παικτών”, τα οποία βέβαια δεν έχουν µελετηθεί τόσο πολύ όσο τα πρώτα. Υπάρχει φυσικά και η περίπτωση που υπάρχει µόνο ένας παίκτης έχοντας σαν αντίπαλο του “τη φύση”, όπως για παράδειγµα ισχύει στην πασιέντζα. Τα παίγνια αυτά βέβαια θεωρούνται πως ανήκουν στην πρώτη κατηγορία των παιγνίων µε δύο παίκτες.

Σύµφωνα µε τη δυνατότητα συνεργασίας. Οι παίκτες(δύο ή περισσότεροι) πριν παίξουν το παίγνιο έχουν τη δυνατότητα να συνεργαστούν και να κάνουν συµφωνίες µεταξύ τους για τις στρατηγικές που θα ακολουθήσουν. Αυτά ονοµάζονται “συνεργατικά παίγνια”(cooperative games) σε αντίθεση µε τα παίγνια όπου ο παίκτης παίρνει τις αποφάσεις χωρίς να συνεννοηθεί µε τους άλλους, τα οποία ονοµάζονται “µη συνεργατικά ” (non cooperative games).

Σύµφωνα µε τα χαρακτηριστικά των αποδοχών τους. Όταν το κέρδος ενός παίκτη είναι ίσο µε την απώλεια του αντιπάλου του, το παίγνιο ονοµάζεται “παίγνιο µηδενικού αθροίσµατος”(zero-sum games). Σε αυτά τα παίγνια το άθροισµα των αµοιβών είναι ίσο µε µηδέν µε αποτέλεσµα η συνεργασία για τους παίκτες να είναι ανέφικτη. Αντίστοιχα υπάρχουν “παίγνια µη-µηδενικού αθροίσµατος”(non zero-sum games) στα οποία το άθροισµα των αµοιβών είναι διάφορο του µηδενός. Το κέρδος κάποιου δεν σηµαίνει απαραίτητα τη ζηµιά κάποιου ανταγωνιστή, και οι δύο µπορεί να κερδίσουν ή και να χάσουν αντίστοιχα.

Σύµφωνα µε τη σειρά που παίρνονται οι αποφάσεις. Αν οι αντίπαλοι κινηθούν ταυτόχρονα επιλέγοντας µια στρατηγική στην αρχή του παιχνιδιού, χωρίς ο ένας να γνωρίζει τι θα πράξει ο άλλος, τότε µιλάµε για “στατικό παίγνιο” ή “στρατηγικό παίγνιο” ή “παίγνιο σε κανονική µορφή”. Στην αντίθεση περίπτωση έχουµε τα “δυναµικά παίγνια” ή “παίγνια σε εκτεταµένη µορφή” όπου οι παίκτες έχουν κάποια γνώση για τις προηγούµενες ενέργειες και έτσι η σειρά µε την οποία λαµβάνονται οι αποφάσεις έχει σηµασία. Στα παίγνια αυτά η αναπαράσταση γίνεται µε τη βοήθεια δέντρου.

Σύµφωνα µε τον αριθµό των στρατηγικών. Τα παίγνια σε αυτήν την κατηγορία χωρίζονται σε “πεπερασµένα” και σε “µη πεπερασµένα”. Τα πεπερασµένα παίγνια τελειώνουν σε ένα µετρήσιµο αριθµό κινήσεων, σε αντίθεση µε τα άλλα τα οποία διαρκούν για άπειρες κινήσεις και ο νικητής γίνεται γνωστός αφού όλες αυτές οι κινήσεις τελειώσουν.

Τέλος σύµφωνα µε την πληροφόρηση που παρέχουν. Λέµε ότι έχουµε “παίγνια πλήρους πληροφόρησης” όταν οι παίκτες είναι πλήρως ενηµερωµένοι για τις κινήσεις των αντιπάλων. Έτσι µόνο τα δυναµικά παίγνια µπορεί να είναι παίγνια πλήρους πληροφόρησης, µιας και στα στατικά οι παίκτες δεν είναι ενηµερωµένοι. Όταν οι παίκτες είναι µερικώς ενηµερωµένοι λέµε ότι έχουµε “παίγνια ατελούς πληροφόρησης”.

Η ζωή του John Nash

Στους βασικούς θεµελιωτές της θεωρίας παιγνίων ανήκει ο John Nash ο οποίος εισήγαγε στα παίγνια την ιδέα της ισορροπίας η οποία χρησιµοποιείται πλέον ευρέως σε όλους τους κλάδους της σύγχρονης επιστήµης.

Ο Nash γεννήθηκε στη ∆υτική Βιρτζίνια το 1928. Αν και ενδιαφερόταν για τα µαθηµατικά, αποφάσισε να γίνει ηλεκτρολόγος µηχανικός όπως και ο πατέρας του. Όταν το 1945 γράφτηκε στο “Carnegie Institute of Technology” στο Pittsburgh αποφάσισε να γίνει χηµικός µηχανικός, κάτι που στην πορεία δεν του άρεσε και έτσι επέστρεψε στα µαθηµατικά µε τα οποία ασχολήθηκε.

Όταν πήγε το 1948 στο “Princeton” ήταν ήδη ένας από τους κορυφαίους στην θεωρία παιγνίων και είχε ήδη ασχοληθεί µε “προβλήµατα συµφωνιών”, δηλαδή προβλήµατα στα οποία οι παίκτες µοιράζονται κάποια κοινά συµφέροντα. Με τη φράση “αυτός ο άντρας είναι ιδιοφυία” περιέγραψε τον John Nash στους υπόλοιπους καθηγητές του Princeton University, ο καθηγητής R. L. Duffin.

Η σηµαντικότερη του εργασία όµως ήταν αυτή που ασχολήθηκε µε την ισορροπία στη θεωρία παιγνίων και χάρη στην πολύτιµη συµβολή του πήρε το όνοµα “Nash ισορροπία”. Ο Nash δηµοσίευσε την ιδέα του για την ισορροπία αµέσως σε ηλικία 21 ετών! Μια δισέλιδη αναφορά έγινε το 1950 στο “Proceedings of the National Academy of Sciences”. Με τίτλο “Equilibrium Points in n-Person Games”, το άρθρο δηµοσίευσε περιληπτικά την ύπαρξη λύσεων για παίγνια µε ν παίκτες. Επέκτεινε την έρευνα του και µια µεγαλύτερη έκδοση δηµοσιεύτηκε το 1951 στο “Annals of Mathematics” µε τίτλο “Non-cooperative Games”. 

Αν και δεν έτυχε ευρείας υποδοχής στην αρχή, η προσέγγιση του Nash για την θεωρία παιγνίων, τον οδήγησε στην απόκτηση του βραβείου Νόµπελ στα οικονοµικά το 1994. ∆εν υπάρχει όµως καµιά αµφιβολία ότι η ανάπτυξη της θεωρίας παιγνίων σε όλους τους τοµείς έγινε εφικτή χάρη στην ανακάλυψη του Nash.

Ο Nash σκαρφίστηκε µια γενική “λύση” για όλα τα (πεπερασµένα) παίγνια και απέδειξε ότι κάθε τέτοιο παίγνιο διαθέτει τουλάχιστον µια τέτοια λύση. Έτσι κατάφερε ένα µεγάλο χτύπηµα στην απροσδιοριστία.

Προσέγγιση της ισορροπίας Nash

Το θεώρηµα που διατύπωσε ο Nash και έγινε γνωστό σε όλο τον κόσµο αναφέρει πως κάθε παίγνιο µε πεπερασµένο πλήθος παικτών και ενεργειών έχει τουλάχιστον ένα σηµείο ισορροπίας, σύµφωνα µε το οποίο όλοι οι παίκτες επιλέγουν τις πιο συµφέρουσες για αυτούς ενέργειες, γνωρίζοντας και τις επιλογές των αντιπάλων τους. Οι παίκτες σκέφτονται τι µπορεί να διαλέξει ο αντίπαλος τους, προσπαθούν να καταλάβουν τη συµπεριφορά των άλλων και επιλέγουν την στρατηγική τους σύµφωνα µε αυτό. ∆ηλαδή η στρατηγική ενός παίκτη αποτελεί την καλύτερη αντίδραση(απόκριση) στην στρατηγική του άλλου παίκτη. Αυτός ο συνδυασµός στρατηγικών αποτελεί ισορροπία Nash.

Ο παίκτης επιλέγει εκείνη από τις δικές του στρατηγικές, η οποία είναι η καλύτερη απάντηση στην στρατηγική που νοµίζει ότι θα επιλέξει ο άλλος παίκτης. Εποµένως κανένας παίκτης δεν έχει κίνητρο να φύγει µονοµερώς από αυτήν την ισορροπία που έχει δηµιουργηθεί. Οι παίκτες καταλαβαίνουν πως βρίσκονται σε ισορροπία αν µια αλλαγή στις στρατηγικές από οποιονδήποτε από αυτούς, οδηγήσει σε χαµηλότερο κέρδος από αυτό που θα είχαν αν παρέµεναν στη σωστή στρατηγική. ∆εδοµένου των επιλογών των αντιπάλων, ο παίκτης δεν έχει να κερδίσει κάποιο µεγαλύτερο όφελος και για αυτό δεν αλλάζει στρατηγική.

Όπως είναι φανερό η θεωρία για την ισορροπία Nash, έχει δύο συνιστώσες: πρώτα κάθε παίκτης κάνει την επιλογή του βασιζόµενος στην ορθολογική απόφαση που προέρχεται από τις πεποιθήσεις του για το τι θα πράξει ο αντίπαλος και δεύτερον κάθε πεποίθηση του παίκτη για την επιλογή του αντιπάλου του είναι σωστή. 

Για να κατανοήσουµε πλήρως την έννοια της ισορροπίας Nash, θα χρησιµοποιήσουµε πάλι το πιο πάνω παίγνιο το οποίο παραθέτουµε πάλι για ευκολία. 

image

Πίνακας 2.1 Παίγνιο κυριαρχίας κινδύνου “Risk Dominance”

Ξεκινώντας µε τον Α παίκτη βρίσκουµε ποια στρατηγική θα επιλέξει σε συγκεκριµένη στρατηγική του αντιπάλου. Έστω ότι ο Α πιστεύει ότι ο Β θα επιλέξει την β1 στρατηγική. Τότε προφανώς θα επιλέξει εκείνη από τις δύο δικές του στρατηγικές που θα του δώσει το µεγαλύτερο όφελος. Η α1 θα του δώσει 5 µονάδες ωφέλειας, ενώ η α2 θα του δώσει 0(όπως αναφέραµε και πιο πριν οι πρώτοι αριθµοί σε κάθε κελί αντιστοιχούν στον παίκτη γραµµής, δηλαδή στον Α). Άρα θα επιλέξει την α1 στρατηγική µε κέρδος 5. Αυτό το νούµερο το κυκλώνουµε. Αν ο Α πιστεύει πως ο Β θα διαλέξει την β2 στρατηγική αυτός φυσικά θα προτιµήσει την α2 αφού το κέρδος του θα είναι µεγαλύτερο(-100<0), άσχετα αν πρόκειται για 0 µονάδες.

Ύστερα από τις επιλογές του παίκτη Α, ο πίνακας παρουσιάζεται ως εξής:

imageΠίνακας 2.2 Πρώτο στάδιο του παιγνίου

Οµοίως κάνουµε και για τον παίκτη Β. Αν αυτός νοµίζει ότι ο Α θα επιλέξει την α1 στρατηγική, θα προτιµήσει την β1 στρατηγική που θα του δώσει κέρδος 5 µονάδες και όχι 4 µονάδες(οι δεύτεροι αριθµοί σε κάθε κελί είπαµε πως αναφέρονται στον παίκτη στήλης, δηλαδή στον Β). Αν ο Β νοµίζει για τον Α πως θα ακολουθήσει την α2 στρατηγική, θα προτιµήσει και πάλι την β1 αφού θα έχει κέρδος 1 µονάδα αντί για 0 µονάδες. Αυτά τα νούµερα τα βάζουµε σε ένα µπλε τετράγωνο.

Ύστερα και από τις επιλογές του Β παίκτη ο πίνακας έχει ως εξής:  image

Πίνακας 2.2 ∆εύτερο στάδιο του παιγνίου

Η ισορροπία Nash υπάρχει όταν η καλύτερη απόκριση του παίκτη Α είναι ίδια µε την καλύτερη απόκριση του παίκτη Β, όταν δηλαδή σε ένα κελί υπάρχουν οι επιλογές και των δύο παικτών. Αυτό είναι και το σηµείο ισορροπίας. Στο παράδειγµα µας ισορροπία έχουµε στο κελί (α1, β1)=(5, 5).

Υπάρχουν παιχνίδια που έχουν παραπάνω από µία ισορροπίες Nash, ενώ υπάρχουν και παιχνίδια χωρίς κανένα σηµείο ισορροπίας Nash.

Έχουµε αναφέρει πως εκτός από τις καθαρές στρατηγικές έχουµε και τις µικτές. Είπαµε πως η επιλογή µικτής στρατηγικής ισοδυναµεί µε το να επιλέξει ο παίκτης τυχαία µεταξύ συγκεκριµένων καθαρών στρατηγικών. Για παράδειγµα µπορούµε να πούµε πως ο παίκτης Α θα επιλέξει την α1 στρατηγική µε πιθανότητα p ή την α2 µε πιθανότητα p-1. Ο παίκτης δηλαδή που διαλέγει µικτή στρατηγική επιλέγει τις πιθανότητες καθεµιάς από τις καθαρές στρατηγικές που εµπεριέχονται στην συγκεκριµένη µικτή στρατηγική, αφήνοντας τα υπόλοιπα στην τύχη. Όσο και αν φαίνεται παράξενο υπάρχουν πολλές περιπτώσεις στην καθηµερινή ζωή όπου οι παίκτες προτιµούν να χρησιµοποιήσουν µικτές στρατηγικές.

Ο Nash κατάφερε επίσης να αποδείξει πως όλα τα πεπερασµένα παίγνια εµπεριέχουν τουλάχιστον ένα σύνολο µικτών στρατηγικών (µία ανά παίκτη) που συνιστά ισορροπία Nash σε µικτές στρατηγικές(ΙΝΜΣ) Όταν υπάρχουν πολλές ισορροπίες Nash (σε καθαρές στρατηγικές), τη λύση δίνει η ισορροπία Nash σε µικτές στρατηγικές. 

Ακόµη και αν δεν υπάρχει ισορροπία σε καθαρές στρατηγικές, υπάρχει µία µοναδική ισορροπία σε µικτές στρατηγικές.

Η ισορροπία σε καθαρές στρατηγικές φαίνεται πιο ελκυστική πρόταση από την ισορροπία στις µικτές, αφού δεν χρειάζεται οι παίκτες να επιλέγουν στην τύχη. Όµως από τη στιγµή που δεν υπάρχει ισορροπία σε κάθε παιχνίδι, η ισορροπία σε µικτές στρατηγικές αποκτάει µεγαλύτερη αξία αφού πλέον για κάθε παιχνίδι υπάρχει σίγουρα µία ισορροπία.

Εξέταση διαφόρων παιγνίων

Ένα από τα παράδοξα της ισορροπίας Nash που µπορεί να θεωρηθεί και σαν αδυναµία της είναι ότι σε κάποια παίγνια οι παίκτες έχουν µεγαλύτερο όφελος αν δεν διαλέξουν την ισορροπία Nash και διαλέξουν άλλη στρατηγική. Ενώ η ισορροπία Nash δίνει την ελκυστικότερη λύση για όλους τους παίκτες, οδηγώντας στο σηµείο ισορροπίας, εντούτοις υπάρχουν κάποια διάσηµα παίγνια που είναι εξαίρεση στον κανόνα. Κάποια από αυτά τα παίγνια χρησιµοποιήθηκαν στην έρευνα και θα αναλυθούν στη συνέχεια.

Το δίληµµα του φυλακισµένου “Prisoner’s dilemma

Το πιο γνωστό και σηµαντικό παίγνιο στην ιστορία της θεωρίας παιγνίων είναι το παίγνιο του διλήµµατος του φυλακισµένου(Prisoner’s dilemma).

Τον Ιανουάριο του 1950 οι Melvin Dresher και Merrill Flood επινόησαν το συγκεκριµένο παίγνιο και το χρησιµοποίησαν σαν παράδειγµα στο RAND Corporation. Αργότερα όταν παρουσιάστηκε αυτό το παράδειγµα σε ένα σεµινάριο στο Stanford University, ο Albert W. Tucker σκαρφίστηκε µία ιστορία πάνω στην οποία βάσισε όλη του την διάλεξη. Το παίγνιο αυτό έµεινε από τότε στην ιστορία κάνοντας την θεωρία παιγνίων γνωστή σε όλες τις κοινωνικές επιστήµες, ενώ και πάρα πολλοί µελετητές έχουν ασχοληθεί µε αυτό γράφοντας διάφορα βιβλία .

Η ιστορία του Tucker έχει ως εξής:

∆ύο ύποπτοι για ένα έγκληµα συλλαµβάνονται από την αστυνοµία και κρατούνται σε διαφορετικά κελιά, ώστε να µην έχουν µεταξύ τους επικοινωνία. Οι αστυνοµικοί είναι σίγουροι για την ενοχή τους αλλά ελλείψει αποδεικτικών στοιχείων τους προσφέρουν µια συµφωνία: αν και οι δύο οµολογήσουν ότι διέπραξαν το έγκληµα θα καταδικαστούν µόνο σε τρία χρόνια φυλάκισης. Αν µόνο ο ένας οµολογήσει θα αφεθεί ελεύθερος ενώ ο άλλος που θα αρνηθεί θα φυλακιστεί για πέντε χρόνια. Τέλος, αν κανένας δεν οµολογήσει, και οι δύο θα περάσουνε έναν χρόνο στη φυλακή.

Το παραπάνω πρόβληµα µπορεί να παρουσιαστεί στον επόµενο πίνακα

image

Πίνακας 2.3 Το δίληµµα του φυλακισµένου(αρχική µορφή)

Το δίληµµα αυτό παίρνει τη µορφή του παρακάτω παιγνίου, όπου τα νούµερα είναι η ωφέλεια που αποκοµίζει ο παίκτης .

image

Πίνακας 2.4 Το δίληµµα του φυλακισµένου(τελική µορφή)

Το δίληµµα εµφανίζεται όταν κάποιος υποθέτει ότι και οι δύο φυλακισµένοι νοιάζονται µόνο για να ελαχιστοποιήσουν την ποινή τους. Κάθε παίκτης έχει δύο στρατηγικές επιλογές : είτε να οµολογήσει και να συνεργαστεί µε την αστυνοµία (confess), είτε να παραµείνει σιωπηλός (not confess). Για παράδειγµα το καλύτερο αποτέλεσµα για τον παίκτη Α είναι να οµολογήσει και ο παίκτης Β να µείνει σιωπηλός. Το επόµενο καλύτερο αποτέλεσµα για τον Α είναι να µη µιλήσει κανένας από τους δύο, ενώ το χειρότερο σενάριο είναι να µιλήσει ο Β ενώ ο Α θα παραµείνει σιωπηλός. Το αντίστοιχο ισχύει και για τον παίκτη Β. Είναι λοιπόν φανερό πως οτιδήποτε και να σκοπεύει να κάνει ο Β, ο παίκτης Α θα πρέπει να επιλέξει την πρώτη στρατηγική (να οµολογήσει δηλαδή), αφού έτσι θα έχει καλύτερα αποτελέσµατα. Οµοίως ισχύει και για τον Β παίκτη ο οποίος θα προτιµήσει και αυτός να µη µιλήσει. Σε αυτό το σηµείο υπάρχει το δίληµµα αφού από τον πίνακα φαίνεται πως οι παίκτες θα αποκοµίσουν µεγαλύτερο όφελος αν και οι δύο επιλέξουν να µη µιλήσουν από το να τα οµολογήσουν όλα. . Έτσι η καλύτερη στρατηγική για τον καθένα ξεχωριστά, παράγει ένα αποτέλεσµα που δεν είναι καλό για την οµάδα, κάνοντας τα ατοµικά κίνητρα να υπονοµεύουν το κοινό συµφέρον .

Πρόκειται για ένα παιχνίδι όπου τα κέρδη προέρχονται από τη συνεργασία. Το καλύτερο αποτέλεσµα και για τους δύο παίκτες είναι να µη µιλήσουν στους αστυνοµικούς . Παρόλα αυτά, κάθε παίκτης έχει ένα µεγάλο κίνητρο να γίνει προδότης. Οτιδήποτε και να κάνει ο ένας παίκτης, ο αντίπαλος προτιµάει να οµολογήσει. Έτσι το παίγνιο αυτό έχει µία µοναδική Nash ισορροπία, µία κυρίαρχη στρατηγική, η οποία είναι η λύση (Α1,Β1)=(1,1), η από κοινού οµολογία.

Σε κάθε παίγνιο η λύση παρουσιάζεται και µε τη βοήθεια του προγράµµατος Gambit, το οποίο είναι χρήσιµο εργαλείο στη θεωρία παιγνίων αφού έχει πολλές εφαρµογές και βρίσκει τις ισορροπίες Nash και σε καθαρές και σε µεικτές στρατηγικές.

Στην παρακάτω εικόνα βλέπουµε τη λύση που δίνει το πρόγραµµα για το συγκεκριµένο παίγνιο.

Απεικόνιση στο Gambit του παιγνίου

image

Τα κόκκινα νούµερα αντιπροσωπεύουν τον Α παίκτη ενώ τα µπλε τον Β. Και εδώ η λύση είναι η επιλογή (Α1, Β1)=(1, 1) αφού η ανάλυση δείχνει πως ο πρώτος παίκτης(ο Α) επιλέγει την πρώτη του στρατηγική επιλογή(την Α1) και ο δεύτερος παίκτης(ο Β) επιλέγει την πρώτη του κι αυτός στρατηγική επιλογή(την Β1).

Το παράδοξο του αποτελέσµατος εξηγείται από το γεγονός ότι οι φυλακισµένοι βρίσκονται σε ξεχωριστά κελιά και δεν µπορούν να επικοινωνήσουν µεταξύ τους για να αποφασίσουν από κοινού τι θα κάνουν. Αν µπορούσαν να το συζητήσουν ίσως να έβλεπαν πως η καλύτερη λύση είναι να µη µιλήσει κανένας τους.

Αλλά ακόµη και µε µια προφορική συµφωνία οι φυλακισµένοι ίσως προσπαθήσουν να προδώσουν τον υποτιθέµενο αντίπαλο τους, προλαβαίνοντας τον από µια πιθανή προδοσία. Εδώ επέρχεται ο παράγοντας της αξιοπιστίας: υπάρχει µια έφεση προς συνεργασία µε εκείνους που πιστεύουµε ότι έχουν αντίστοιχη έφεση να συνεργαστούν. Ανορθόδοξη επίσης είναι η απόφαση να προδώσουν ο ένας τον άλλον, µιας και η σιωπή αποτελεί ύψιστη τιµή σε τέτοιες κοινωνικές οµάδες.

Μια άλλη περίπτωση είναι οι δύο ύποπτοι να µην οµολογήσουν, µόνο αν έχουν ξαναπεράσει όλο αυτό και γνωρίζουν πως δεν πρόκειται να προδοθούν Αυτή η ισορροπία λέγεται “υπό-παιγνιακή τέλεια ισορροπία Nash” όπου οι φυλακισµένοι έχουν µάθει να µην καρφώνουν ο ένας τον άλλον και έτσι ελαχιστοποιούν την συλλογική ποινή τους.

Όταν το δίληµµα του φυλακισµένου αφορά πάνω από δύο πρόσωπα ονοµάζεται free rider problem(το πρόβληµα των τζαµπατζήδων). Έχει την ίδια δοµή µε το δίληµµα του φυλακισµένου αφού και εδώ η κυρίαρχη ατοµική στρατηγική υπερέχει της κοινής λογικής. Αφορά όλες τις περιπτώσεις δηµοσίων αγαθών(όλοι τα εκµεταλλεύονται άσχετα αν έχουν πληρώσει γι’αυτά, όπως για παράδειγµα η καθαρή ατµόσφαιρα) όπου η πρόσβαση δεν µπορεί να περιοριστεί σε αυτούς που έχουν πληρώσει και στους άλλους, τους τζαµπατζήδες, οι οποίοι δεν συνεισφέρουν αλλά τα χρησιµοποιούν.

Το πιο διάσηµο παιχνίδι στην ιστορία της θεωρίας παιγνίων µελετήθηκε εκτενέστατα από πάρα πολλούς ανθρώπους, ανάµεσα τους ο John Nash (που αναφέρθηκε παραπάνω) και ο Robert Axelrod. Στα τέλη της δεκαετίας του 70 ο Axelrod προσπάθησε να προσεγγίσει το πρόβληµα όταν αυτό επαναλαµβάνεται, αφού έτσι γίνεται πιο περίπλοκο και δεν είναι απόλυτα σαφές ποια στρατηγική είναι βέλτιστη. Έτσι λοιπόν οργάνωσε ένα πρωτάθληµα όπου κάλεσε θεωρητικούς των παιγνίων να δηµιουργήσουν αλγορίθµους που να περιέχουν από µία στρατηγική και τους έβαλε να διαγωνιστούν για έναν καθορισµένο αριθµό γύρων. Οι “άπληστες”  στρατηγικές έτειναν να έχουν άσχηµη έκβαση, σε αντίθεση µε τις πιο αλτρουιστικές που τα πήγαν καλύτερα. Νικητής αναδείχτηκε ο Anatol Rapoport που δηµιούργησε τον πιο απλό αλγόριθµο, τον Tit for Tat, δηλαδή “µία σου και µία µου”.

Πρόκειται για µία στρατηγική δεσµευµένης συνεργασίας όπου ο παίκτης ξεκινάει µε συνεργασία, σαν κίνηση καλής θέλησης, και έπειτα αντιγράφει την στρατηγική που επέλεξε ο αντίπαλος στον προηγούµενο γύρο. Το πείραµα επαναλήφθηκε και για την περίπτωση όπου η ακολουθία των αγώνων µεταξύ των δύο παικτών θα τερµατιζόταν τυχαία µε νικητή πάλι τον ίδιο αλγόριθµο. Η “σοφία” αυτής της στρατηγικής έχει να κάνει µε τον συνδυασµό αυστηρότητας απέναντι στους αποστάτες(αφού τους τιµωρείς άµεσα) αλλά και ηπιότητας(αφού µέσα σε έναν γύρο µπορείς να τον συγχωρήσεις). Τελικά φαίνεται πως αυτός που δεν συµπεριφέρεται εγωιστικά, είναι αυτός που κερδίζει.

Το δίληµµα του φυλακισµένου αν και φαίνεται άσχετο µε την καθηµερινότητα του ανθρώπου, µπορούµε να το διακρίνουµε παντού, σε όλα τα κοινωνικά φαινόµενα. Υπάρχει µια τεράστια βιβλιογραφία που το αναλύει και µάλιστα πολλοί πιστεύουν πως αποτελεί τον κεντρικό πυρήνα της κοινωνικής ζωής. Οι εφαρµογές του λοιπόν στην καθηµερινότητα ποικίλλουν από την οικονοµία, την πολιτική και την κοινωνιολογία έως την εθνολογία και την εξελικτική βιολογία.

Στην πολιτική για παράδειγµα αυτό το παίγνιο χρησιµοποιείται για να επεξηγήσει το πρόβληµα που έχουν δύο κράτη µε την απόκτηση όπλων. Υπάρχουν δύο στρατηγικές επιλογές για τα κράτη: είτε να αυξήσουν την στρατιωτική τους δύναµη και να αγοράσουν καινούριο εξοπλισµό, είτε να κάνουν µια συµφωνία έτσι ώστε να µειώσουν την χρησιµοποίηση όπλων. Κανένα κράτος δεν είναι βέβαιο ότι το άλλο θα κρατήσει την υπόσχεση του και εποµένως και τα δύο κλίνουν στο να αγοράσουν τελικά τα όπλα. Παράδειγµα για αυτήν την περίπτωση αποτελεί η διαµάχη Αµερικής –Ρωσίας τη δεκαετία του 50 (όταν πρωτοµελετήθηκε το συγκεκριµένο παίγνιο) για την απόκτηση πυρηνικού εξοπλισµού.

Επίσης στον αθλητισµό πολλοί παλαιστές καταφεύγουν στο χάσιµο πολλών κιλών µε σκοπό να διαγωνιστούν µε ελαφρύτερους αντιπάλους , πηγαίνοντας στην µικρότερη κατηγορία. Αυτό µπορεί να το κάνουν πολλοί διαγωνιζόµενοι µε αποτέλεσµα να υποβαθµίζεται ο συναγωνισµός. Ακόµη όµως και αν κάποιος διαγωνιζόµενος παραµείνει στο αρχικό του βάρος, είναι πολύ πιθανό να συναγωνιστεί κάποιον που έχει χάσει αρκετό βάρος.

Είναι φανερό πως σε κάθε συναλλαγή ή σύγκρουση ατοµικών συµφερόντων που θίγει τους ανθρώπους, υπάρχει κάπου εκεί το δίληµµα του φυλακισµένου. Τα παραδείγµατα ποικίλλουν από τα πολιτικά παζάρια και τους πλειστηριασµούς έως την συµπεριφορά των οδηγών στους δρόµους και την επιλογή δύο αντιµαχόµενων µερών για το αν θα χρησιµοποιήσουν δικηγόρους ή/ και θα καταφύγουν στα δικαστήρια για να λύσουν τις διαφορές τους. Το κοινό στοιχείο σε όλα αυτά τα παραδείγµατα είναι ότι αν ο καθένας δράσει συνεργατικά θα υπάρξει το καλύτερο αποτέλεσµα. ∆υστυχώς σχεδόν όλοι σκέφτονται µόνο το προσωπικό συµφέρον, µε αποτέλεσµα να οδηγηθούν σε µη επιθυµητά αποτελέσµατα.

 image

 

Πηγή

Κατηγορίες:
Και κάτι άλλο...

Γιατί πρέπει να πλένετε τα χέρια σας για 20 δευτερόλεπτα;

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά ένας αναλυτικός θεωρητικός υπολογισμός

Πολλά μικρόβια μεταφέρονται μέσω της άμεσης ή έμμεσης επαφής με χέρια ή επιφάνειες που έχουν μολυνθεί. Στα χέρια μας έχουμε κατά μέσο όρο 3.200 διαφορετικά μικρόβια που ανήκουν σε περισσότερα από 150 είδη —μερικά από τα οποία μπορεί να είναι επιβλαβή και να προκαλούν λοιμώξεις— και η χρήση της σωστής τεχνικής για το πλύσιμο των χεριών μπορεί να περιορίσει τη μετάδοσή τους. Μπορείτε να διαβάσετε τις αλήθειες από τους μύθους γύρω από την καλή υγιεινή των χεριών ΕΔΩ: https://www.pfizer.gr/el/how_clean_are_your_hands. Εκεί, μεταξύ άλλων αναφέρεται η οδηγία του Παγκόσμιου Οργανισμού Υγείας, ότι ‘πρέπει να τρίβετε τα χέρια σας για 20 δευτερόλεπτα, όσο χρόνο δηλαδή χρειάζεται για να τραγουδήσετε δύο φορές το τραγούδι των γενεθλίων‘:

Σκηνή από την ταινία του Woody Allen «Whatever Works»: Ο κυνικός πρώην καθηγητής Κβαντομηχανικής στο Πανεπιστήμιο Columbia, πλένει τα χέρια του τραγουδώντας το «Happy Birthday», ώστε να είναι σίγουρος ότι το τρίψιμο των χεριών θα διαρκέσει όσο χρόνο απαιτείται για να απαλλαγεί από τα μικρόβια —δηλ. συνολικά 20 δευτερόλεπτα.

Στα 170+ χρόνια της ιστορίας του πλυσίματος των χεριών στην ιατρική υγιεινή, δεν δημοσιεύθηκε ποτέ ένα ερευνητικό άρθρο σχετικά με τη ρευστοδυναμική του πλυσίματος των χεριών. Στην βιβλιογραφία δεν υπήρχε κανένας θεωρητικός υπολογισμός που να δείχνει ότι πράγματι χρειάζεται χρονικό διάστημα τάξης 20 δευτερολέπτων για την σωστή απολύμανση των χεριών μας.

Όμως, προχτές δημοσιεύθηκε η εργασία του Paul S. Hammond στο περιοδικό Physics of Fluids με τίτλο ‘Will we ever wash our hands of lubrication theory?’, στην οποία υπολογίζεται για πρώτη φορά ο χρόνος του σωστού πλυσίματος των χεριών μας.

Χρησιμοποιώντας την θεωρία της λίπανσης ο Hammond εξετάζει πως μπορούν να απομακρυνθούν τα ασθενώς προσκολλημένα σωματίδια από δυο τραχιές επιφάνειες (τα χέρια μας), που η μία ολισθαίνει πάνω στην άλλη με σταθερή ταχύτητα, καθώς ανάμεσά τους παρεμβάλλεται ένα ρευστό. Κάνοντας εύλογες εκτιμήσεις για τις διάφορες παραμέτρους που υπεισέρχονται καταλήγει στο συμπέρασμα ότι για την απομάκρυνση των σωματιδίων απαιτείται χρονικό διάστημα συγκρίσιμο με τον χρόνο που συνιστάται στις οδηγίες πλυσίματος χεριών, δηλαδή 20 δευτερόλεπτα.

Οι λεπτομέρειες των υπολογισμών που οδηγούν σ’ αυτό το αποτέλεσμα βρίσκονται ΕΔΩ: https://aip.scitation.org/doi/10.1063/5.0060307

Πηγή

Κατηγορίες:
Και κάτι άλλο...

Η πλάνη του τζογαδόρου ή πλάνη Μόντε Κάρλο

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Η «πλάνη του τζογαδόρου» (The Gambler’s fallacy) ή «πλάνη Μόντε Κάρλο» (Monte Carlo Fallacy) όπως είναι ευρέως γνωστή, είναι η πεποίθηση ότι εάν υπάρχουν αποκλίσεις από την αναμενόμενη συμπεριφορά σε επανειλημμένες ανεξάρτητες δοκιμές κάποιας τυχαίας διαδικασίας, τότε οι αποκλίσεις αυτές είναι πιθανό να εξομαλυνθούν από αντίθετες αποκλίσεις στο μέλλον.

average-dice-roll

Ο δειγματικός μέσος μιας ακολουθίας ανεξάρτητων και πολλών τυχαίων μεταβλητών, συγκλίνει σχεδόν βεβαίως προς τον θεωρητικό μέσο (η μέση τιμή) της κατανομής.

Για παράδειγμα, αν ένα κέρμα ριχτεί επανειλημμένα και έρχεται «γράμματα» περισσότερες φορές από αυτές που αναμένονται, τότε ένας παίκτης μπορεί λανθασμένα να πιστέψει ότι σε μελλοντικές ρίψεις του νομίσματος το «κεφάλι» είναι πιο πιθανό να έρθει.

Αυτή η προσδοκία είναι λανθασμένη για τον απλό λόγο ότι το κέρμα ή η μπίλια δεν έχει μνήμη. Το αποτέλεσμα επαναλαμβανόμενων ρίψεων είναι στατιστικά ανεξάρτητο, δηλαδή η πιθανότητα να έρθει «κεφάλι» ή «γράμματα» είναι 50% σε κάθε ρίψη.

Το κέρμα αποτελεί απλά ένα αντικείμενο και ως τέτοιο δεν γνωρίζει τα προηγούμενα αποτελέσματα

Η βασικότερη αρχή που συνοδεύει το τζόγο εδώ και τέσσερις περίπου αιώνες ορίζει ότι όσο μεγαλύτερο είναι το δείγμα των αποτελεσμάτων ενός γεγονότος, τόσο πιο αντιπροσωπευτικό είναι ως προς τις πραγματικές πιθανότητες.

Το πιο απλό και συνάμα διαχρονικό παράδειγμα είναι αυτό της ρίψης του κέρματος. Το ίδιο ακριβώς ισχύει τόσο στα παιχνίδια καζίνο όσο και στο στοίχημα. Με βάση αυτή την αρχή πορεύονται και οι στοιχηματικές πλατφόρμες, καθώς βασιζόμενες σε συγκεκριμένο ιστορικό αποτελεσμάτων διαμορφώνουν τις αντίστοιχες πιθανότητες, δηλαδή τις αποδόσεις. Η διαδικασία αυτή αποτελεί τη λεγόμενη «πλάνη του τζογαδόρου».

Άλλο ένα παράδειγμα που καταδεικνύει ότι τα μαθηματικά και η ανθρώπινη διαίσθηση είναι αντικρουόμενες έννοιες, είναι το πρόβλημα των γενεθλίων. Από την 1η Ιανουαρίου μέχρι και την 31η Δεκεμβρίου είναι 366 μέρες, συμπεριλαμβανομένης και της 29ης Φεβρουαρίου. Άρα για να είμαστε 100% σίγουροι ότι θα βρούμε τουλάχιστον δύο άτομα με κοινή μέρα γενεθλίων, χρειαζόμαστε το λιγότερο 367 άτομα, δηλαδή αυτούς του 366 και ακόμα έναν. Ενώ το παραπάνω παράδειγμα είναι πλήρως κατανοητό και μέσα στην «κοινή λογική» δεν ισχύει το ίδιο για τον μικρότερο αριθμό ατόμων που απαιτούνται ώστε η πιθανότητα να βρούμε τουλάχιστον δύο άτομα με την ίδια μέρα γενέθλιων να είναι 99%. Σκεφτείτε το λίγο, κάντε μια πρόβλεψη και μετά διαβάστε το άρθρο πρόβλημα των γενεθλίων στη Wikipedia για να δείτε πόσο έξω πέσατε.

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών (The Strong Law of Large Numbers LLN)

Είναι ένα από τα πιο γνωστά αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Σύμφωνα με το θεώρημα κάτω από κατάλληλες υποθέσεις, ο δειγματικός μέσος μιας ακολουθίας ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν μία κοινή κατανομή συγκλίνει σχεδόν βεβαίως προς τον θεωρητικό μέσο (η μέση τιμή) της κατανομής

Ο νόμος αυτός αποτελεί το βασικό έργο του Ελβετού μαθηματικού Μπερνούλι και ορίζει ότι ο δειγματικός μέσος μιας ακολουθίας ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν μία κοινή κατανομή συγκλίνει σχεδόν βεβαίως προς τον θεωρητικό μέσο (ή μέση τιμή) της κατανομής.

Βάζοντας στο μικροσκόπιο το παράδειγμα με τη ρίψη του νομίσματος, ας υποθέσουμε πως μετά από 100 ρίψεις το ενδεχόμενο «κορώνα» επαληθεύεται 68 φορές και το ενδεχόμενο «γράμματα» 32. Πρόκειται ωστόσο για ένα ιδιαίτερα μικρό δείγμα, κάτι που σημαίνει πως όσο αυξάνονται οι ρίψεις, τόσο τα δύο πιθανά ενδεχόμενα θα τείνουν να αγγίξουν ποσοστιαία το 50%. Αυτή ακριβώς είναι και η ερμηνεία του θεωρήματος του Μπερνούλι. Ο ίδιος παρατήρησε πως μετά από π.χ. 9 συνεχόμενες επαληθεύσεις του ενδεχομένου «κορώνα», ο μέσος άνθρωπος προβλέπει ότι στην επόμενη ρίψη το αποτέλεσμα θα είναι «γράμματα». Πρόκειται όμως για λανθασμένη εκτίμηση καθώς το νόμισμα δεν έχει μνήμη και ως εκ τούτου κάθε ρίψη είναι ανεξάρτητη τόσο από την προηγούμενη όσο και από την επόμενη.

Η λανθασμένη αυτή εκτίμηση αποτελεί την «πλάνη του τζογαδόρου». Όπως προαναφέρθηκε, οι 9 διαδοχικές ρίψεις του νομίσματος αποτελούν ένα επίσης πολύ μικρό δείγμα. Όσο αυξάνονται, τόσο η επιβεβαίωση του κάθε ενδεχομένου θα βαδίζει προς το 50%, κάτι όμως που θα συμβεί σε βάθος χρόνου (και ρίψεων) και που δεν εξασφαλίζει σε καμία περίπτωση πως το αποτέλεσμα της 10ης ρίψης θα είναι «γράμματα». Το ανωτέρω παράδειγμα μας βρίσκει άμεσα εφαρμογή στην ρουλέτα και στο ποντάρισμα στο μαύρο ή κόκκινο (ενώ υπάρχει και η πολύ μικρή πιθανότητα του zero) και στο οποίο θα αναφερθούμε εκτενώς στην συνέχεια του κειμένου μας.

To φαινόμενο της πλάνης του τζογαδόρου έρχεται για να εξηγήσει το πως σκέφτεται ο μέσος παίκτης όταν τζογάρει και βρίσκει εφαρμογή σε αρκετά δημοφιλή τυχερά παιχνίδια. Ας ξεκινήσουμε από τη ρουλέτα και την κλασική επιλογή «μαύρο ή κόκκινο» που αποτελεί ένα πείραμα παραπλήσιο με αυτό της ρίψης του κέρματος.

Πιθανή εμφάνιση του μαύρου συνεχόμενες φορές, οδηγεί αυτόματα τους παίκτες στην πεποίθηση πως έχει έρθει η ώρα η μπίλια να σταματήσει στο κόκκινο. Η μπίλια όμως αποτελεί απλά ένα αντικείμενο και ως τέτοιο δεν γνωρίζει τα προηγούμενα αποτελέσματα. Σε κάθε περιστροφή, το αποτέλεσμα είναι κάθε φορά 50-50, κάτι που αποδείχθηκε περίτρανα ένα βράδυ του 1913 στο καζίνο του Μόντε Κάρλο.

Πιο συγκεκριμένα, η μπίλια του τροχού προσγειώθηκε στο μαύρο χρώμα 26 συνεχόμενες φορές, ένα σενάριο συνοδευόμενο από πιθανότητες επαλήθευσης 1 προς 578 εκατομμύρια! Κι όμως συνέβη!

Στη διάρκεια των 26 αυτών περιστροφών, τοποθετήθηκαν πολλά και υπέρογκα πονταρίσματα από τους παίκτες του τραπεζιού, σε μια προσπάθεια να εξορθολογήσουν αυτό το τυχαίο γεγονός και να δημιουργήσουν μια προβλέψιμη εξήγηση. Μέχρι την εμφάνιση του κόκκινου χρώματος στην 27η ρίψη, το καζίνο είχε εξασφαλίσει ένα αμύθητο κέρδος και η εν λόγω ιστορία στιγμάτισε το πολυτελές καζίνο δίνοντας του την ονομασία «Monte Carlo Fallacy» (η πλάνη του Μόντε Κάρλο).

Κάτι αντίστοιχο ισχύει και στο παιχνίδι των κουλοχέρηδων όπου τα αποτελέσματα βασίζονται στη γεννήτρια τυχαίων αριθμών και υπάρχει πάντα ένα default ποσοστό επιστροφής (return to player ή RTP). Είναι συχνό φαινόμενο πολλοί παίκτες να συνεχίζουν το πάτημα του κουμπιού «Spin» στο αγαπημένο τους φρουτάκι παρά το γεγονός πως έχουν μετρήσει ήδη σημαντικές απώλειες. Ο λόγος είναι πως γνωρίζοντας την ύπαρξη του ποσοστού RTP, θεωρούν πως κάποια στιγμή το μηχάνημα θα τους επιστρέψει την προβλεπόμενη επιστροφή.

Πρόκειται όμως για μια ακόμη εφαρμογή του θεωρήματος του Μπερνούλι, βάσει του οποίου το ποσοστό αυτό αποτελεί απλά έναν μέσο όρο. Στο πλαίσιο αυτό, απαιτείται και πάλι ένα μεγάλο δείγμα – περιστροφών των τροχών αυτή τη φορά – προκειμένου να επιβεβαιωθεί το οριζόμενο ποσοστό επιστροφής. Ως άμεση συνέπεια, απαιτείται και το ανάλογο ρίσκο!

Η ίδια ακριβώς πλάνη φαίνεται να διακατέχει και τους λάτρεις των παιχνιδιών τύπου λοταρίας (λόττο, τζόκερ, λαχεία) στα καλύτερα online casino. Σίγουρα θα έχετε ακούσει για τακτικούς παίκτες που συνηθίζουν να επιλέγουν τους ίδιους αριθμούς επί πολλά χρόνια και κυρίως επί πολλές διαδοχικές κληρώσεις. Η τακτική αυτή πηγάζει από την απλή πεποίθηση πως πλησιάζει η στιγμή που θα κληρωθεί η επιλεχθείσα ομάδα αριθμών, εφόσον αυτό δεν έχει συμβεί για μεγάλο χρονικό διάστημα. Μια τέτοια περίπτωση ωστόσο, μόνο εγγυημένη δεν είναι καθώς τα αποτελέσματα εξάγονται και πάλι από μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών.

 

Πηγή

Κατηγορίες:
Και κάτι άλλο...

Η Ηλιακή Γεωμηχανική σώζει σοδειές!

| 0 ΣΧΟΛΙΑ

Προσφατη μελέτη υποδεικνύει ότι η ηλιακή γεωμηχανική μπορεί να μετριάσει τις επιδράσεις της κλιματικής αλλαγής στη γεωργία, σε αντίθεση με ό,τι έδειχναν προηγούμενες έρευνες. Η γεωργία είναι ένας ακόμη τομέας που επηρεάζεται από την κλιματική αλλαγή, και οι επιστήμονες προσπαθούν να βρουν τρόπο να σώσουν ό,τι σώζεται. Πρόσφατη μελέτη δείχνει ότι τεχνικές της ηλιακής γεωμηχανικής μπορούν να συμβάλλουν στη μείωση των επιπτώσεων στις καλλιέργειες.

Αύξηση αντανάκλασης, μείωση θερμοκρασίας

Η ηλιακή γεωμηχανική είναι ένα σύνολο τεχνικών που θα μπορούσαν θεωρητικά να αυξήσουν την αντανάκλαση των ηλιακών ακτίνων από την ατμόσφαιρα προς το Διάστημα, κάτι που ενδέχεται να συμβάλλει στη μείωση της θερμοκρασίας στην επιφάνεια του πλανήτη.

Η λίστα των τεχνικών αυτών περιλαμβάνει την «ένεση» αερολυμάτων στη στρατόσφαιρα για αύξηση της αντανάκλασης, την επέμβαση στους θυσάνους (σύννεφα που απορροφούν θερμότητα και συμβάλλουν στην αύξηση της θερμοκρασίας) και την λεγόμενη λεύκανση των νεφών, η οποία βασίζεται, μεταξύ άλλων, στην ενίσχυση της ανακλαστικότητας με ψεκασμό θαλασσινού νερού.

Θετική συμβολή στη γεωργία

Παλαιότερες μελέτες είχαν δείξει ότι αυτού του είδους οι τεχνικές δεν έχουν τα επιθυμητά αποτελέσματα στη γεωργία, αφού η μείωση της ηλιακής ακτινοβολίας που φτάνει στο έδαφος ενδέχεται να μειώνει την παραγωγικότητας των καλλιεργειών.

Πρόσφατη έρευνα ωστόσο υποδεικνύει ότι η ηλιακή γεωμηχανική θα μπορούσε να έχει ευεργετικά αποτελέσματα στις σοδειές. Οι ερευνητές στηρίχθηκαν σε μαθηματικά μοντέλα για να εκτιμήσουν τις πιθανές επιπτώσεις της ηλιακής γεωμηχανικής σε καλλιέργειες καλαμποκιού, ζαχαροκάλαμου, σιταριού, ρυζιού, σόγιας και βαμβακιού.

Τα μοντέλα έδειξαν ότι οι εν λόγω τεχνικές μπορούν να ρίξουν τη θερμοκρασία χωρίς να διαταράσσουν την απορρόφηση διοξειδίου του άνθρακα, της πρώτης ύλης που χρησιμοποιούν τα φυτά για την ανάπτυξή τους.

Χρειάζεται συνδυασμός στρατηγικών

Όπως σημείωσαν οι ερευνητές, η αντιμετώπιση της κλιματικής αλλαγής απαιτεί έναν συνδυασμό  διαφορετικών προσεγγίσεων και όχι μία μονοδιάστατη στρατηγική. «Το ρίσκο λόγω της κλιματικής αλλαγής δεν μπορεί να εξαλειφθεί χρησιμοποιώντας ένα μόνο εργαλείο» υποστήριξε ο Δρ. Ντέιβιντ Κέιθ, επικεφαλής της δημοσίευσης και καθηγητής Διεθνούς Πολιτικής στο Τμήμα Μηχανικής και Εφαρμοσμένων Επιστημών του Πανεπιστημίου του Χάρβαρντ, συμπληρώνοντας ότι «ακόμη κι εάν οι εκπομπές εξαφανίζονταν αύριο, οι πιο ευάλωτες περιοχές της Γης θα εξακολουθήσουν να υποφέρουν από την κλιματική αλλαγή».

Όπως σημείωσε ο ίδιος, οι ιθύνοντες θα πρέπει να σκεφτούν με ποιον τρόπο η μείωση των εκπομπών των αερίων του θερμοκηπίου θα συνδυαστεί με τεχνικές οι οποίες θα μετριάσουν τις επιδράσεις της κλιματικής αλλαγής σε τοπική κλίμακα.

Πηγή

Κατηγορίες:
Και κάτι άλλο...
web design by