Και κάτι άλλο... (275 άρθρα)

Τον Μάιο του 1923 ο Βέρνερ Χάιζενμπεργκ επέστρεψε στο Μόναχο από το Γκέττιγκεν, όπου ήταν επισκέπτης φοιτητής, για να ολοκληρώσει το τελευταίο του εξάμηνο γράφοντας τη διδακτορική του διατριβή. Γνωρίζοντας την φήμη του Χάιζενμπεργκ για αμφιλεγόμενες λύσεις σε προβλήματα της κβαντικής θεωρίας, ο μέντοράς του στο Μόναχο (και φίλος της πατέρα του) Arnold Sommerfeld , πρότεινε να γράψει τη διατριβή του στον πιο παραδοσιακό τομέα της υδροδυναμικής. Το θέμα ήταν σχετικό με την τυρβώδη ροή. Επέλεξε το θέμα αυτό θέλοντας να διευρύνει τις γνώσεις και την κατανόηση του Heisenberg στην μαθηματική φυσική. Προέκυψε από μια συνεργασία του Sommerfeld με μια εταιρεία που διοχέτευε τον ποταμό Isar διαμέσου του Μονάχου.

Ο Heisenberg έπρεπε επίσης να παρακολουθήσει το τετράωρο εργαστηριακό μάθημα στην πειραματική φυσική που έκανε ο καθηγητής Wilhelm Wien. Ο Wien επέμεινε ότι οποιοσδήποτε φυσικός, συμπεριλαμβανομένων και των λαμπρών θεωρητικών του Sommerfeld, πρέπει να είναι πλήρως καταρτισμένος στην πειραματική φυσική. Οι Wien και Sommerfeld συμμετείχαν και στην τελική προφορική εξέταση του υποψηφίου.

Ο Heisenberg υπέβαλε την διατριβή του 59 σελίδων με τίτλο «On the Stability and Turbulence of Liquid Currents» στο Πανεπιστήμιο του Μονάχου στις 10 Ιουλίου του 1923. Το πρόβλημα ήταν να προσδιοριστεί η ακριβής μετάβαση ενός ομαλά ρέοντος υγρού (στρωτή ροή) σε τυρβώδη ροή. Ήταν ένα εξαιρετικά δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα. Στην πραγματικότητα, ήταν τόσο δύσκολο που ο Heisenberg βρήκε μια κατά προσέγγιση λύση. «Δεν θα πρότεινα αυτό το θέμα ως διατριβή σε κανέναν από τους άλλους φοιτητές μου», έγραψε ο Sommerfeld. Το Πανεπιστήμιο δέχθηκε την διατριβή και ο Wien την αποδέχθηκε για δημοσίευση στο περιοδικό φυσικής που ήταν επιμελητής, αλλά όταν ο μαθηματικός Fritz Noether (ο αδελφός της Emmy Noether) προέβαλε αντιρρήσεις το 1926, τα αποτελέσματα παρέμειναν αμφίβολα για σχεδόν ένα τέταρτο αιώνα έως ότου τελικά επιβεβαιώθηκαν.

Η έγκριση της διατριβής είχε ως προϋπόθεση και την επιτυχία του υποψηφίου στην τελική προφορική εξέταση. Και εκεί δημιουργήθηκε πρόβλημα. Η εξεταστική επιτροπή αποτελούνταν από τους Sommerfeld και Wien, μαζί με τους εκπροσώπους δύο δευτερευόντων μαθημάτων του Heisenberg, τα μαθηματικά και την αστρονομία.

Όταν ο 21χρονος Heisenberg εμφανίστηκε ενώπιον των τεσσάρων καθηγητών στις 23 Ιουλίου 1923, απάντησε εύκολα τις ερωτήσεις του Sommerfeld και εκείνες των μαθηματικών, αλλά άρχισε να δυσκολεύεται στην αστρονομία και την πειραματική φυσική. Στην εργαστηριακή του εργασία ο Heisenberg έπρεπε να χρησιμοποιήσει ένα συμβολόμετρο Fabry-Perot, μια συσκευή για την παρατήρηση της συμβολής του φωτός, την οποία ο Wien είχε διδάξει εκτενώς. Όμως ο Heisenberg δεν μπορούσε να απαντήσει σε απλές ερωτήσεις, για την μέγιστη διακριτική ικανότητα του συμβολόμετρου ή πως ορίζεται η διακριτική ικανότητα ενός μικροσκοπίου. Όταν ο θυμωμένος Wien ρώτησε πώς λειτουργεί ένας συσσωρευτής, ο υποψήφιος πάγωσε. Ο Wien δεν έβρισκε κανένα λόγο για να περάσει τον νεαρό φοιτητή, ανεξάρτητα από το πόσο λαμπρός ήταν σε άλλους τομείς.

Μια σύγκρουση ξέσπασε μεταξύ των Sommerfeld και Wien σχετικά με την σημασία της θεωρίας και του πειράματος. Το αποτέλεσμα ήταν ότι ο Heisenberg θα έπαιρνε μεν το διδακτορικό του, αλλά θα βαθμολογείτο με τον προτελευταίο βαθμό – τον βαθμό III.

Ο Heisenberg σοκαρίστηκε. Συνηθισμένος να είναι πάντα πρώτος στην τάξη του, δυσκολεύτηκε να δεχτεί τον χαμηλό βαθμό στο διδακτορικό του. Ο Sommerfeld προετοίμασε ένα μικρό πάρτι στο σπίτι του εκείνο το απόγευμα για τον Dr. Heisenberg, αλλά ο Heisenberg βρήκε μια πρόφαση και πήρε το τρένο τα μεσάνυχτα για το Gottingen, όπου εμφανίστηκε στο γραφείο του Max Born το επόμενο πρωί. Ο Born είχε ήδη προσλάβει τον Heisenberg ως βοηθό του για το επόμενο διδακτικό έτος. Αφού ενημέρωσε τον Born για την αποτυχία του στα προφορικά, τον ρώτησε δειλά, «Αναρωτιέμαι αν με θέλετε ακόμα ως βοηθό;» Ο Born ήταν βέβαιος ότι ο Heisenberg θα ανέκαμπτε και του το είπε.

Ο ανήσυχος πατέρας του Heisenberg έγραψε στον διάσημο πειραματιστή του Gottingen,James Franck, ζητώντας του να διδάξει στον γιό του πειραματική φυσική. Ο Franck το έκανε, αλλά εξαιτίας της έλλειψης ενδιαφέροντος από τον Heisenberg, εγκατέλειψε την προσπάθεια. Aν ο Heisenberg κατάφερνε να επιβιώσει στον χώρο της φυσικής, θα το έκανε ως καθαρά θεωρητικός.

Το αστείο σ’ αυτή την ιστορία είναι ότι όταν ο Heisenberg διατύπωσε τις σχέσεις αβεβαιότητας αρκετά χρόνια μετά, χρησιμοποίησε την διακριτική ικανότητα του μικροσκοπίου για να τις εξηγήσει – αλλά το φάντασμα του παρελθόντος εμφανίστηκε πάλι, δημιουργώντας του δυσκολίες! Όταν ο Bohr διαφώνησε μαζί του, επισημαίνοντας λάθη στον συλλογισμό του, ο Heisenberg οδηγήθηκε πάλι σε συναισθηματικό μπλοκάρισμα. Το θετικό αποτέλεσμα από την υπόθεση ήταν πως η αντίδραση του Heisenberg ώθησε τον Bohr να διατυπώσει τις δικές του απόψεις για το θέμα, οι οποίες οδήγησαν τελικά στη λεγόμενη ερμηνεία της Κοπεγχάγης της κβαντικής μηχανικής.

Πηγή

Ένα ενδιαφέρον μαθηματικό πρόβλημα είναι η πλακόστρωση ενός επιπέδου – η κάλυψή του με πολυγωνικά πλακάκια, χωρίς όμως να δημιουργούνται κενά ή επικαλύψεις. Ο περισσότερος κόσμος νομίζει ότι κάτι τέτοιο είναι δυνατό αν χρησιμοποιηθούν μόνο τετράγωνα ή μόνο ισόπλευρα τρίγωνα ή μόνο κανονικά εξάγωνα παλκάκια, όπως βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα:

Υπάρχουν κι άλλα απλά πλακίδια που μπορούν να πλακοστρώσουν το επίπεδο, όπως για παράδειγμα τα παρακάτω δεκαπέντε είδη πενταγώνων:

Όμως όλα τα παραπάνω παραδείγματα είναι περιοδικά, που σημαίνει ότι επαναλαμβάνονται κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο προς δυο ανεξάρτητες διευθύνσεις. Στα μαθηματικά λέμε ότι υπάρχει ένα περιοδικό παραλληλόγραμμο – ένα παραλληλόγραμμο που αν σημαδευτεί κατά κάποιο τρόπο και επαναληφθεί ξανά και ξανά προς τις δυο διευθύνσεις που είναι παράλληλες προς τις πλευρές του, θα αναπαράγει το δεδομένο μοτίβο της πλακόστρωσης:

Το ερώτημα που δεν είχε απαντηθεί μέχρι σήμερα ήταν το «αν υπάρχει κάποιος απεριοδικός τρόπος παλκόστρωσης που να χρημοποιεί ένα μόνο πλακάκι».
Η απάντηση φαίνεται πως δόθηκε από τους μαθηματικούς Smith et al στην δημοσίευσή τους με τίτλο: «An aperiodic monotile» .
Εκεί παρουσιάζεται το πλακίδιο «αϊνστάιν» που μοιάζει με καπέλο και μπορεί να καλύψει μια άπειρη επιφάνεια χωρίς ποτέ να δημιουργήσει ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο. Το πλακίδιο δεν έχει καμμία σχέση με τον φυσικό Einstein. Ονομάστηκε έτσι διότι στα γερμανικά «ein stein» σημαίνει «μία πέτρα».

Το πλακίδιο «αϊνστάιν» είναι ένα πολύγωνο δεκατριών πλευρών και θα μπορουσε κανείς να πει ότι το εν λόγω πλακίδιο συνίσταται από οκτώ μικρότερα πολύγωνα σε σχήμα χαρταετού:

Εκτός από την … διακόσμηση ενός σπιτιού, τα απεριοδικά πλακίδια χρησιμεύουν ως μαθηματικά μοντέλα για τους ημικρυστάλλους που ανακαλύφθηκαν το 1982 από τον Dan Shechtman, ο οποίος στη συνέχεια κέρδισε το βραβείο Νόμπελ το 2011. Το νέο απεριοδικό πλακίδιο «αϊνστάιν» θα δώσει το έναυσμα για περαιτέρω έρευνες στην επιστήμη των υλικών.

Πηγή

(…) Το απλούστερο στοιχείο στο Σύμπαν, το υδρογόνο (₁H), είναι και το πιο άφθονο. Το δεύτερο απλούστερο στοιχείο στο Σύμπαν, το ήλιο (₂Ηe), είναι το το δεύτερο πιο άφθονο. Σε ένα εύτακτο από αισθητική άποψη Σύμπαν, το τρίτο απλούστερο στοιχείο, το λίθιο (₃Li), θα ήταν και το τρίτο πιο άφθονο, κ.ο.κ. Αλλά το Σύμπαν μας δεν είναι εύτακτο. Το τρίτο πιο διαδεδομένο στοιχείο είναι το οξυγόνο (₈Ο), το στοιχείο με ατομικό αριθμό 8. Γιατί όμως; Ίσως κάποιος επιστήμονας να απαντούσε ότι το οξυγόνο διαθέτει έναν πολύ σταθερό πυρήνα, ο οποίος δεν διασπάται. Εντούτοις, μια τέτοια απάντηση απλώς μεταθέτει το ερώτημα: Γιατί ορισμένα στοιχεία, όπως το οξυγόνο, έχουν τόσο σταθερό πυρήνα;

Σε αντίθεση με τους περισσότερους σύγχρονούς της, η Μαρία Γκέπερτ- Μάγερ διέκρινε εδώ έναν παραλληλισμό με την αξιοσημείωτη σταθερότητα των ευγενών αερίων. Υποστήριξε ότι τα πρωτόνια και τα νετρόνια του πυρήνα κατανέμονται σε πυρηνικούς «φλοιούς», όπως τα ηλεκτρόνια κατανέμονται σε ηλεκτρονιακές στιβάδες, και ότι η συμπλήρωση των πυρηνικών φλοιών με τον κατάλληλο αριθμό σωματιδίων συντελεί στην πυρηνική σταθερότητα. Στα μάτια ενός τρίτου φαντάζει μια εύλογη, κομψή αναλογία. Αλλά τα βραβεία Νόμπελ δεν κατακτώνται με εικασίες, και δη εικασίες άμισθων καθηγητριών. Επιπλέον, η ιδέα των πυρηνικών φλοιών προκάλεσε αναστάτωση στους πυρηνικούς φυσικούς, καθότι οι πυρνηνικές διαδικασίες είναι ανεξάρτητες από τις χημικές. Δεν υπάρχει λόγος τα φερέγγυα νετρόνια και πρωτόνια, οι σπιτόγατοι του ατόμου, να συμπεριφέρονται όπως τα μικροσκοπικά, παρορμητικά ηλεκτρόνια, που εγκαταλείπουν το σπίτι τους χάριν ελκυστικών γειτόνων. Και πράγματι, ως επί το πλέιστον, συμπεριφέρονται πολύ διαφορετικά.

Αλλά η Γκέπερτ-Μάγιερ διερεύνησε την εικασία της και, συνδυάζοντας μεταξύ τους ορισμένα ασύνδετα πειράματα, απέδειξε ότι όντως υπάρχουν πυρηνικοί φλοιοί και ότι ενίοτε σχηαμτίζονται «μαγικοί πυρήνες», όπως τους ονόμασε η ίδια. Για πολύπλοκους μαθηματικούς λόγους, οι μαγικοί πυρήνες δεν έχουν περιοδικότητα όπως οι χημικές ιδιότητες των στοιχείων. Η μαγεία ανακύπτει στους ατομικούς αριθμούς 2, 8, 20, 28, 50, 82, κ.ο.κ. Η Γκέπερτ-Μάγερ απέδειξε ότι, στους συγκεκριμένους ατομικούς αριθμούς, τα πρωτόνια και τα νετρόνια συγκροτούν καθ΄όλα συμμετρικές σφαίρες υψηλής σταθερότητας. Αξίζει να σημειωθεί ότι τα οκτώ πρωτόνια και τα οκτώ νετρόνια του οξυγόνου καθιστούν τον πυρήνα του ατόμου του διπλά μαγικό, και ως εκ τούτου αενάως σταθερό – γεγονός που εξηγεί τη φαινομενική υπεραφθονία του οξυγόνου στο Σύμπαν. Το μοντέλο των πυρηνικών φλοιών εξηγεί και γιατί χημικά στοιχεία όπως το ασβέστιο (το στοιχείο με ατομικό αριθμό 20) είναι δυσανάλογα άφθονα και, διόλου συμπτωματικά, γιατί ο οργανισμός μας εκμεταλλεύεται τέτοια εύκολα διαθέσιμα ανόργανα υλικά.

Η θεωρία της Γκέπερτ-Μάγερ απηχεί την πλατωνική ιδέα περί τελειότητας των όμορφων σχημάτων. Και το μοντέλο των μαγικών, σφαιρικών πυρήνων αναδείχθηκε στην ιδεατή μορφή έναντι της οποίας κρίνονται όλοι οι πυρήνες. Αντιστρόφως, χημικά στοιχεία που απέχουν πολύ από τους δυο εγγύτερούς τους μαγικούς αριθμούς είναι λιγότερο διαδεδομένα, διότι σχηματίζουν άσχημους, επιμήκεις πυρήνες. Στην περίπτωση μάλιστα του στοιχείου με ατομικό αριθμό 67, του ολμίου (₆₇Ho), οι επιστήμονες έχουν ανακαλύψει άτομα με έλλειμμα νετρονίων τα οποία έχουν παραμορφωμένο πυρήνα που μοιάζει με μπάλα αμερικανικού φουτμπόλ. Όπως μπορείτε να μαντέψετε από το μοντέλο της Γκέπερτ-Μάγιερ (ή έχοντας παρακολουθήσει την μπάλα να πέφτει από τα χέρια κάποιου παίκτη σε αγώνα αμερικανικού φουτμπόλ), οι πυρήνες ολμίου δεν είναι ιδιαίτερα σταθεροί. Και σε αντίθεση με τα άτομα που έχουν μη εξισορροπημένες ηλεκτρονιακές στιβάδες, τα άτομα με παραμορφωμένους πυρήνες δεν μπορούν να αποσπάσουν νετρόνια και πρωτόνια άλλων ατόμων ώστε να εξισσοροπήσουν τους πυρήνες τους. Ως εκ τούτου, άτομα με δύσμορφους πυρήνες, όπως το ισότοπο του ολμίου, δεν σχηματίζονται ποτέ. Και σε περίπτωση που όντως σχηματιστούν, αμέσως αποσυντίθενται.

Το μοντέλο των πυρηνικών φλοιών αποτελεί μια ιδιοφυή ανακάλυψη. Επομένως, η Γκέπερτ-Μάγερ πρέπει να ένιωσε απόγνωση, δεδομένης μάλιστα της επισφαλούς θέσης της στην επιστημονική κοινότητα, όταν πληροφορήθηκε ότι το ίδιο μοντέλο είχε περιγραφεί από άρρενες φυσικούς στη γενέτειρά της. Η Μαρία κινδύνευε να απολέσει πλήρως τα επιστημονικά πρωτεία. Ωστόσο, οι δυο πλευρές είχαν αναπτύξει την ιδέα ανεξάρτητα μεταξύ τους. Και όταν οι Γερμανοί αναγνώρισαν ευγενικά το έργο της και της πρότειναν να συνεργαστούν, η καριέρα της απογειώθηκε. Η Γκέπερτ-Μάγερ έλαβε επιτέλους τα εύσημα για τις ανακαλύψεις της, και το 1959 μετακόμισε για τελευταία φορά με τον σύζυγό της στο Σαν Ντιέγκο, όπου ανέλαβε μια κανονική, έμμισθη ακαδημαϊκή έδρα στις νεότευκτες εγκαταστάσεις του πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας εκεί. Παρ’ όλα αυτά, δεν κατάφερε ποτέ να αποτινάξει το στίγμα της ερασιτέχνισσας. Όταν η Σουηδική Ακαδημία ανακοίνωσε, το 1963, ότι θα απονεμόταν στην Γκέπερτ-Μάγερ η ύψιστη διάκριση του επαγγέλματός της, η τοπική εφημερίδα του Σαν Ντιέγκο χαιρέτισε το σπουδαίο επίτευγμά της με τον πρωτοσέλιδο τίτλο: «Μητέρα από το Σαν Ντιέγκο κατακτά το βραβείο Νόμπελ»

Αλλά ίσως να εξαρτώνται όλα από την οπτική γωνία του καθενός. Αν οι εφημερίδες δημοσίευαν ένα ανάλογα ταπεινωτικό πρωτοσέλιδο για τον Γκίλμπερτ Λιούις, το πιθανότερο είναι εκείνος να πετούσε τη σκούφια του (…)

απόσπασμα από το βιβλίο του Sam Kean, ‘Το κουτάλι που εξαφανίζεται’, μετάφραση: Παναγιώτης Δεληβοριάς, εκδόσεις κάτοπτρο

Πηγή

«Θα έχουμε τσιπάκι  στο μυαλό, μεγαλύτερη μνήμη, σεξουαλική ενέργεια και αντιστάσεις στο Αλτσχάιμερ»

Συνέντευξη του Δημήτρη Νανόπουλου στον Δημήτρη Δανίκα – protothema.gr

Γεννήθηκε στην Αθήνα. Σπούδασε Φυσική στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, απ’ όπου αποφοίτησε το 1971. Συνέχισε τις σπουδές του στο Πανεπιστήμιο Σάσεξ της Αγγλίας, όπου απέκτησε το διδακτορικό του (Ph.D) το 1973 στη Θεωρητική Φυσική των Υψηλών Ενεργειών. Διετέλεσε ερευνητής στο Κέντρο Πυρηνικών Ερευνών Ευρώπης (CERN) στη Γενεύη και επί σειρά ετών ανήκε στο ανώτερο ερευνητικό προσωπικό του.

Υπήρξε ερευνητής στην Ecole Normale Superieure (Παρίσι), καθώς και στο Χάρβαρντ. Το 1989 εκλέγεται καθηγητής στο Τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Τέξας A&M, College Station. Οπου από το 1992 είναι διακεκριμένος καθηγητής, και όπου από το 2002 κατέχει την έδρα Mitchell/Heep της Φυσικής Υψηλών Ενεργειών!

Δεν τελείωσα. Επίσης είναι διευθυντής του Κέντρου Αστροσωματιδιακής Φυσικής του Κέντρου Προχωρημένων Ερευνών του Χιούστον (HARC), όπου διευθύνει ένα ερευνητικό τμήμα του World Laboratory που εδρεύει στη Λοζάνη Ελβετίας. Από το 1997 είναι τακτικό μέλος της Ακαδημίας Αθηνών και το 2015 εξελέγη πρόεδρος για ένα έτος.

Πάλι δεν ολοκλήρωσα. Πάει μακριά η βαλίτσα με το όνομα Δημήτρης Νανόπουλος. Αφού έχει διακριθεί για τη σημαντική συνεισφορά του σε ένα ευρύ φάσμα τομέων της Φυσικής Υψηλών Ενεργειών και της Κοσμολογίας. Η έρευνά του σήμερα επικεντρώνεται στις ενοποιημένες θεωρίες των υπερχορδών, στις θεμελιώδεις αρχές της κβαντικής θεωρίας, στην αστροσωματιδιακή φυσική και σε μοντέλα λειτουργίας του ανθρώπινου εγκεφάλου εμπνευσμένα από την κβαντική φυσική.

Καταλάβατε; Εγώ, ειλικρινά, όχι. Ομως κατάλαβα ότι αυτός ο ανήσυχος εγκέφαλος είναι τόσο τρομερός και ασύλληπτος που σαν σκηνοθέτης-οραματιστής «βλέπει» το μέλλον. Μετά από πολλά, πολλά χρόνια. Κι εμείς; Ολοι εμείς καθόμαστε και «κολυμπάμε» στα σκουπίδια.

The Future my Friend. Ακούει κανείς;

«Φεύγω Παρασκευή (εννοεί την περασμένη Παρασκευή 16 Δεκεμβρίου), πάω στη Βοστόνη και μετά στο Χιούστον, εκεί είναι το σπίτι μου. Ο χρόνος μοιρασμένος στα δύο. Και στην Ελλάδα και στις ΗΠΑ».

-Και πώς ένας ερευνητής του σύμπαντος, όπως εσείς, στέκεται απέναντι σε όλα αυτά τα κοσμοϊστορικά γεγονότα;
«Οπως όλοι μας. Ζούμε σε μια περίεργη κατάσταση, με εύθραυστες ισορροπίες. Οπως ο πόλεμος στην Ουκρανία. Οπως η κόντρα για την Ταϊβάν και όπως οι ορέξεις του Ερντογάν. Εύχομαι, ελπίζω και πιστεύω να μη φτάσουμε στα άκρα».

– Και οι τεχνολογικές ανακαλύψεις;
«Νομίζω πως η έκρηξη στην τεχνολογία δημιουργεί ένα περίεργο συνονθύλευμα στο μυαλό της κοινωνίας. Ετσι δημιουργείται κορεσμός πληροφοριών. Μαζί με φόβο. Ετσι μαζεύεσαι στο καβούκι σου. Επικίνδυνα όλα αυτά. Η συσσώρευση γνώσης προκαλεί τραντάγματα. Ο άνθρωπος δεν προλαβαίνει να χωνέψει και να συμφιλιωθεί. Γι’ αυτό αισθάνεται απροστάτευτος. Οταν λόγου χάρη, λόγω αυτοματισμού, απολύονται και χάνουν την εργασία τους, τότε φουντώνουν οι κοινωνικές αντιθέσεις».

– Δηλαδή μερικά τεχνολογικά επιτεύγματα εκλαμβάνονται εχθρικά και επικίνδυνα.
«Για παράδειγμα, στην παραγωγή τα πράγματα έχουν αλλάξει ριζικά από το παρελθόν. Και τα πανεπιστήμια αδειάζουν από λογιστές και διοικητικό προσωπικό, τώρα τα κάνουμε όλα μόνοι μας. Λόγου χάρη, γιατί να ταξιδέψουμε επαγγελματικά, αφού μπορούμε με το Zoom να επικοινωνούμε από το σπίτι μας και να καταλήγουμε σε αυτό που θέλουμε;».

«Οι δουλειές θα ελαττωθούν»

– Ποια είναι τα σημαντικότερα που έχουμε ανακαλύψει;
«Στην Υγεία έχουμε με καινούρια ηλεκτρονικά μηχανήματα. Στην παραγωγή γίνεται με τη ρομποτική, εκεί γίνεται η μεγάλη επανάσταση. Οι δουλειές θα ελαττωθούν».

– Απαισιόδοξος;
«Από τη φύση μου είμαι συγκρατημένα αισιόδοξος, βρισκόμαστε σε μια εποχή περίεργη, σε μια διεγερμένη κατάσταση, μια νέα κατάσταση, μια νέα ισορροπία. Για παράδειγμα, στο πεδίο το δικό μου, στην Κοσμολογία, με το James Webb Telescope έχει αλλάξει δραματικά η εικόνα για το σύμπαν. Κι έτσι καταλήγουμε στην απορία “τι ρόλο παίζουμε εμείς εδώ πέρα;”. Οταν βγαίνω δημοσίως και λέω ότι το σύμπαν είναι μια τυχαία διακύμανση απ’ το τίποτα, τότε ο άνθρωπος αισθάνεται ένα μηδενικό».

– Μπορείτε να το εξηγήσετε;
«Βρισκόμαστε στο αχανές σύμπαν κι εμείς είμαστε ένα μυρμηγκάκι σε σχέση με τα 13,8 δισεκατομμύρια χρόνια ύπαρξης του σύμπαντος. Και στον Χώρο και στον Χρόνο είμαστε ένα τίποτα. Στην αρχή το σύμπαν ήταν πάρα, μα πάρα πολύ μικρό. Μέγεθος “ατόμου”. Σε αυτή την περίπτωση δεν ισχύουν οι νόμοι της φυσικής, της βαρύτητας και του Νεύτωνα. Πρόκειται για τον κόσμο της Κβαντικής. Εμείς είμαστε οι καρικατούρες της πραγματικότητας. Πρόσεξε, τώρα: ο μακρόκοσμος προέρχεται από τον μικρόκοσμο. Οι νόμοι των βασικών συστατικών είναι διαφορετικοί από αυτούς που ισχύουν στον μακρόκοσμο. Ας πούμε, δεν μπορείς να εντοπίσεις την ακριβή θέση ενός ηλεκτρονίου και την ακριβή δυναμική του. Η δυναμική της Κβαντικής είναι διαφορετική από τους Νόμους του Νεύτωνα. Εδώ ισχύει η αρχή της αβεβαιότητας του Χάιζεμπεργκ. Παρεμπιπτόντως, ο Βέρνερ Καρλ Χάιζενμπεργκ (1901-1976), γνωστός και ως “ο δολοφόνος του Μπορ”, ήταν Γερμανός φυσικός, με σπουδαία συμβολή στη θεμελίωση της Κβαντομηχανικής, για την οποία τιμήθηκε με το βραβείο Νόμπελ Φυσικής του 1932. Αρα λοιπόν ένα ηλεκτρόνιο τη μια στιγμή υπάρχει και την άλλη δεν υπάρχει».

– Η αβεβαιότητα είναι το στίγμα της εποχής;
«Στην Κβαντική Φυσική για να περιγράψουμε το ηλεκτρόνιο λέμε “κυματοσυνάρτηση”. Που σημαίνει ότι μπορεί το σύμπαν να μην υπήρχε και μετά, την επομένη, να υπήρξε. Το σύμπαν στην αρχή προήλθε από το κβαντικό κενό. Αμα είναι έτσι, τότε τυχαία γίνονται όλα. Και δεν έχουν νόημα να τα συζητάμε. Ο καθένας βρίσκει τον δικό του σκοπό. Οι νόμοι που έχουμε φτιάξει είναι για την επιβίωσή μας. Ποιος θα επιβιώσει; Ο προσαρμόσιμος».

– Και στο μέλλον;
«Στο μέλλον η τεχνολογία θα μας βοηθήσει να μετοικήσουμε σε άλλους πλανήτες, στον Αρη. Το μέλλον είναι διαφορετικό. Αυτό το βλέπω αναπόφευκτο, όπως αναπνέω».

– Ο μετα-άνθρωπος, δηλαδή άνθρωπος και μηχανή μαζί…
«Ο μετα-άνθρωπος είναι η εξέλιξή μας. Ανθρωπος και μηχανή μαζί. Ενα καινούριο είδος ανθρώπου. Εν αντιθέσει με τα ζώα, οι άνθρωποι ανέπτυξαν το μυαλό τους. Χάρη στην ανάπτυξη της τεχνολογίας, κατορθώσαμε να επιβληθούμε στη φύση. Κατορθώσαμε να ανακαλύψουμε φωτιά, ηλεκτρισμό. Δεν είναι τυχαίο ότι οι πρώτοι πολιτισμοί αναπτύχθηκαν στη Μεσόγειο λόγω κλίματος. Κάναμε μια επέμβαση στην εξέλιξή μας. Τώρα όπου και να ζεις, μπορείς να επιζήσεις».

– Πιο συγκεκριμένα;
«Τα πειράματα με ρομπότ ήδη γίνονται. Είμαστε στην τέταρτη βιομηχανική επανάσταση. Η πρώτη έγινε με τον ατμό και τις μηχανές. Η δεύτερη με την ηλεκτρική ενέργεια. Η τρίτη με τα ηλεκτρονικά. Και η τέταρτη είναι με την τεχνολογία της πληροφορίας, τεχνητή νοημοσύνη και ρομποτική».

– Ολα αυτά θα επηρεάσουν τις ιδεολογίες;
«Οπως έλεγε ο Γκράμσι, ο μεγάλος θεωρητικός του μαρξισμού, η αλήθεια είναι σκληρή. Οι ιδεολογίες του παρελθόντος έχουν τελειώσει, δεν μπορούμε να φοράμε παρωπίδες. Αυτές οι ιδεολογίες αναπτύχθηκαν από ανάγκες. Ο Μαρξ είδε τη Βιομηχανική Επανάσταση με το καταπιεσμένο προλεταριάτο και κατάλαβε ότι περνάμε σε άλλη εποχή εκμετάλλευσης. Ενας πανέξυπνος άνθρωπος. Τώρα όλα αυτά έχουν αλλάξει. Η εργασία έχει πάρει άλλη μορφή».

– Ο καπιταλισμός θριαμβεύει;
«Πρέπει να γίνεται πόλεμος, να αδειάζει και να ξαναρχίζει. Η μεταβολή από ισχνές σε παχιές αγελάδες. Οταν είναι ισχνές, πρέπει να δίνεις, να τυπώνεις χρήμα, έτσι έκανε ο Ρούσβελτ. Για να μην παρεξηγηθώ, όλα αυτά έχουν αλλάξει από ανάγκη. Οπως είχε πει ο Καμί, δεν με ενδιαφέρουν αυτοί που γράφουν Ιστορία, αλλά εκείνοι που υποφέρουν από την Ιστορία».

– Θα ερχόσασταν για έρευνα στην Ελλάδα;
«Ναι, βεβαίως, μα είμαι εδώ ένα μεγάλο διάστημα. Δεν είναι η Ελλάδα του 1971 που έφυγα. Τώρα είναι καλύτερη. Αν θα την ήθελα ακόμα καλύτερη; Ναι! Θα ήθελα οι ελληνικές κυβερνήσεις και το κράτος να συμπεριφέρονται καλύτερα στους Ελληνες του εξωτερικού. Ναι! Μας αξίζει το καλύτερο. Με το μυαλό, τη φαντασία και τον ενθουσιασμό θα μπορούσαμε καλύτερα. Εξω δεν είναι τόσο δεδομένες αυτές οι αρετές. Το οξυγόνο μου είναι η Φυσική».

– Τα πολιτικά στην Ελλάδα;
«Πάντα πολωμένα. Εχει μπει λίγο τάξη, να δουλεύει η Δημοκρατία και οι θεσμοί να λειτουργούν. Οι νόμοι να ισχύουν για όλους. Υπάρχει το έγκλημα και η τιμωρία. Αντε να δούμε».

Το μποζόνιο Higgs

– Η ταραχή, η δημιουργική ταραχή, είναι εφαλτήριο ευφυΐας, μακροζωίας, ανησυχίας, φαντασίας, οραματισμού και μελλοντολογίας. Με την επιστημονική έννοια του όρου…
«Εδώ που τα λέμε, πράγματι, όταν ήμουν πιτσιρικάς και διάβαζα καταπίνοντας ολόκληρες σελίδες, την ίδια στιγμή ήταν σαν να σκηνοθετούσα. Την ίδια στιγμή, με τη φαντασία μου, αυτά που διάβαζα τα έβλεπα σε εικόνες. Οταν με ρωτούσαν “Δημητράκη, τι θα γίνεις όταν μεγαλώσεις”, απαντούσα “σκηνοθέτης”».

– Κάπου εδώ συναντώνται οι πορείες μας. Με τον κινηματογράφο φυσικά.
«Και πρέπει να ξέρεις ότι ο Φεντερίκο Φελίνι με γοητεύει περισσότερο από τον Αϊνστάιν».

– Αν δεν κάνω λάθος, το όνομά σας είναι ταυτισμένο με το μποζόνιο Higgs. Που υποδηλώνει ότι το σύμπαν έχει πεπερασμένη διάρκεια ζωής. Τι σόι πράγμα είναι αυτό;
«Το μποζόνιο Higgs προέρχεται από το όνομα Bose. Οπως και το φερμιόνιο που προέρχεται από το όνομα του Ιταλού Ενρίκο Φέρμι, βραβευμένου με Νόμπελ».

– Ποια η διαφορά;
«Τα μποζόνια έχουν spin ακέραιων αριθμών, δηλαδή 0, 1, 2, 3, 4 και πάει λέγοντας. Τα θερμιόνια έχουν spin ημιακέραιων, όπως 1/2, 3/2, 5/2 κ.λπ.».

– Τι είναι το spin;
«Πάρε για παράδειγμα τη Γη. Η Γη γυρίζει γύρω από τον Ηλιο και λόγω αυτής της κίνησης έχει στροφορμή. Στροφική ορμή. Η Γη ταυτόχρονα γυρίζει γύρω από τον άξονά της και λόγω αυτής της κίνησης έχει ιδιο-στροφορμή. Αυτή ακριβώς η ιδιο-στροφορμή αντιστοιχεί στο spin των σωματιδίων. Κατάλαβες;».

Στο περιθώριο από μυαλό

– Επιστροφή στο παρελθόν, στον χιπισμό…
«Δεν ήμουν ακριβώς χίπης, αλλά είχα κι εγώ μακριά μαλλιά και μούσια. Ομως ομολογώ ότι μ’ αρέσει να είμαι περιθωριακός. Δεν εννοώ αυτούς που αναγκάζονται να βγουν στο περιθώριο και στη συνέχεια μπορεί να καταλήξουν λαμόγια. Εννοώ τους άλλους που το περιθώριο γι’ αυτούς είναι επιλογή. Εννοώ αυτούς που έχουν μυαλό. Εγώ είμαι αυτός που θα μπορούσα να κάνω ό,τι θέλω. Σε αυτή την κατηγορία ανήκω. Οπως, ας πούμε, ο τιτάνας Ορσον Γουέλς. Ο άνθρωπος που “σκοτώθηκε” από τον μεγιστάνα Χιρς (σ.σ.: εννοεί τον παραγωγό μερικών ταινιών του Ορσον Γουέλς)».

– Πάλι οι αναφορές σας προέρχονται από τον κινηματογράφο…
«Μα σ’ το είπα. Με γοητεύει ο Φεντερίκο Φελίνι. Εχω διαβάσει πως όταν κάποιος ρώτησε τον Γουέλς “πώς αισθάνεσαι, Ορσον;”, εκείνος απάντησε: “Πάντα αισθάνεσαι καλύτερα όταν ξέρεις πως είσαι αθάνατος”».

– Κι εσείς, αθάνατος;
«Εχω κάνει καλή δουλειά. Εχω πραγματοποιήσει έργο. Αυτό θα μείνει. Γιατί οι περισσότεροι γνωρίζουν το όνομα Νανόπουλος από την τηλεόραση. Ομως υπάρχει κάτι περισσότερο πίσω από τη μικρή οθόνη. Μ’ αρέσουν οι άνθρωποι που πίσω τους έχουν φορτίο. Μας έχουν κλέψει τα όνειρα».

– Πολύ καλό αυτό… «μας έχουν κλέψει τα όνειρα»…
«Η ελπίδα πάει με την προσδοκία. Ελπίζεις; Ε, τότε προσδοκάς σε κάτι καλύτερο. Και η προσδοκία πηγαίνει με το όνειρο. Δηλαδή ονειρεύεσαι το μέλλον σου. Ελπίδα, προσδοκία, όνειρο πάνε μαζί. Η ελπίδα σε δυναμώνει. Και όταν ματαιώνεται η ελπίδα τότε “πεθαίνεις”».

– Ζωντανός-νεκρός, δηλαδή ζόμπι.
«Πάντοτε ελπίζεις σε κάτι. Δεν λέμε “η ελπίδα πεθαίνει τελευταία”;».

– Και η αιτία;
«Μα φυσικά από την έλλειψη παιδείας. Και από την απουσία κουλτούρας. Να μια λέξη που σήμερα θεωρείται αρνητική, που είναι υποτιμημένη. Μιλάω για την αληθινή κουλτούρα. Από εκεί προέρχονται όλα. Δεν έχουμε σωστή παιδεία. Και το παιδί δεν μεγαλώνει σωστά στο σπίτι. Στο σχολείο δεν μαθαίνει αυτά που πρέπει να μάθει. Εμείς μαθαίναμε γράμματα».

– Πού, στα ιδιωτικά;
«Οχι, σε δημόσιο σχολείο».

– Δεν είναι εξωφρενικό που όλα αυτά συμβαίνουν με την Αριστερά;
«Δεν λέω. Ολα τα κόμματα της εξουσίας έβαλαν κι αυτά το χεράκι τους. Ουδείς αθώος του “εγκλήματος”. Και πρέπει να σου πω ότι όλα αυτά που λέω δεν προέρχονται από κάποια κομματική σκοπιμότητα. Δεν έχω δική μου ατζέντα. Δεν θέλω από κανέναν απολύτως τίποτα. Μια χαρά είμαι. Ούτε την ευλογία τους θέλω, ούτε τίποτα».

Σε δέκα χρόνια θα έχουν αλλάξει τα πάντα

– Πώς θα είναι ο κόσμος σε δέκα χρόνια;
«Θα αλλάξουν τα πάντα. Θα αλλάξουμε κι εμείς».

– Πότε αυτό; Σε μια δεκαετία;
«Ηδη γίνεται. Και πρόσεξε, η αλλαγή θα γίνει εκ του φυσικού. Θα αλλάζουμε μέσα στη διαδικασία της εξέλιξης. Πρόκειται για ένα μείγμα Φυσικής, Ψηφιακής, Ρομποτικής και Κβαντικής. Τέλος με τον άνθρωπο. Θα αρχίσει η εποχή του μετα-ανθρώπου. Ο μετάνθρωπος».

– Για παράδειγμα;
«Θα έχουμε τσιπάκι στο κεφάλι. Ενα τσιπάκι με το οποίο θα αυξάνει η μνήμη μας, θα σταματάει το Αλτσχάιμερ, θα βοηθάει τη σεξουαλική μας ενέργεια. Θα τα κάνει όλα. Θα μπορούμε, επίσης, να “παίρνουμε” τον εγκέφαλό μας και να τον τοποθετούμε στο software. Ετσι θα αποθηκεύονται όλες οι εγκεφαλικές μας λειτουργίες και πληροφορίες Οταν λέω θα “παίρνουμε” τον εγκέφαλο δεν εννοώ φυσικά ότι θα τον… βγάζουμε».

– Μα γίνονται τέτοια πράγματα;
«Φυσικά γίνονται. Ηδη τα βλέπουμε όλα αυτά σε εργαστήρια. Αυτό σημαίνει πως υπάρχει Existence Proof (απόδειξη ύπαρξης). Και ότι υπάρχει κβαντικός κομπιούτερ. Με απίστευτη δύναμη, που θα αλλάξει ριζικά τα πάντα. Φαντάσου ότι το smartphone σήμερα διαθέτει πληροφορίες ισοδύναμες με όλα τα κομπιούτερ της NASA όταν το “Apollo 11” πήγε στη Σελήνη».

– Θα αλλάξουν όλα λοιπόν;
«Ολα! Αυτή είναι η διαδικασία της εξέλιξής μας. Μερικοί φυσικά θα παραμείνουν “πίθηκοι”. Αλλά οι δύστυχοι δεν το ξέρουν… Οσο αναπτύσσεται το μυαλό μας, τόσο θα αλλάζουμε. Σκέψου τι γινόταν στο παρελθόν, όταν ο άνθρωπος αναγκάστηκε να παρεμβαίνει στη φύση. Αρα κάνουμε παρεμβάσεις στο περιβάλλον. Αρα σταματήσαμε και φύγαμε από τη διαδικασία του λεγόμενου Survival of the Fittest, δηλαδή της επιβίωσης του ικανότερου, όπως έλεγε ο Δαρβίνος. Εχουμε φύγει από αυτό το στάδιο. Τώρα με τον μετα-άνθρωπο αρχίζουμε να εξελισσόμαστε σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Δεν θα υπάρχουν Νανόπουλοι και Δανίκες».

– Και τα ρομπότ;
«Ηδη κατασκευάζονται και μάλιστα αρκετοί επιστήμονες έχουν εκφράσει φόβους πως αυτά τα ανδροειδή κάποια στιγμή μπορεί να επαναστατήσουν και να εξολοθρεύσουν το ανθρώπινο είδος. Αν δηλαδή αυτά τα ρομπότ αυτοπροσδιοριστούν, τότε την έχουμε βάψει».

– Θα τα ζήσουμε όλα αυτά;
«Η επόμενη γενιά θα τα ζήσει. Και κάτι ακόμα: πρέπει επειγόντως, από τώρα, να βρούμε ένα νέο σύστημα ώστε αυτός ο κόσμος να μπορέσει να ζήσει ανθρώπινα και όλοι να ωφεληθούν από την εξέλιξη. Δύσκολα τα χρόνια που ζούμε σήμερα. Δεν θα μπορέσουν οι νομικοί να διοικήσουν. Να διαχειριστούν αυτή τη νέα εποχή. Πρέπει τα ηνία να τα αναλάβουν επιστημονάρες με συμβούλους νομικούς. Η εποχή αλλάζει. Τώρα ξέρουμε την αρχή του σύμπαντος. Οι πολιτικοί δεν έχουν ιδέα».

– Μπορούμε να το κάνουμε πιο συγκεκριμένο αυτό το μέλλον;
«Σε μια άλλη, σε μια αυριανή κοινωνία που έχω εγώ στο μυαλό μου, το ποιος θα εκλέγεται αρχηγός δεν θα είναι ζήτημα ψηφοφορίας, αλλά επιλογής ανάμεσα σε ίσους και ισοδύναμους. Μια εκλογή που θα γίνεται σε στρογγυλό τραπέζι. Το σημερινό, το παγκόσμιο σύστημα, με τους νομικούς και τους λόγιους, αλλά και τους θεωρητικούς της οικονομίας, είναι τελειωμένο. Αυτή είναι η δική μου εξήγηση για τη σημερινή, παγκόσμια παρακμή».

– Δηλαδή ζούμε στην εποχή της μετάβασης;
«Ακριβώς αυτό. Βρισκόμαστε στο τέλος μιας εποχής και στην αρχή μιας άλλης. Και όπως, περίπου, έλεγε ο θρυλικός Ιταλός μαρξιστής Αντόνιο Γκράμσι, “όταν γεννιέται μια νέα κατάσταση, τότε εμφανίζεται και η τερατογένεση”. Εκείνος εννοούσε τον φασισμό. Εγώ σήμερα αναφέρομαι και στον δεξιό και στον αριστερό ακραίο λαϊκισμό».

– Ολα αυτά μπορεί να προκαλέσουν φόβο και τρόμο στην κοινωνία.
«Μα δεν τα λέω για να φοβηθεί ο κόσμος. Τα λέω για την ελπίδα και τα όνειρα».

– Οι σημερινοί πολιτικοί είναι άχρηστοι;
«Θέλω να πω ότι οι καταστάσεις τούς έχουν ξεπεράσει».

– Και η Ελλάδα;
«Η Ελλάδα είναι ένα μικροσύμπαν της Γης. Παρ’ όλα αυτά, διατηρώ μια εσωτερική αισιοδοξία για την εξέλιξη της πατρίδας μου. Και κάτι ακόμα. Πολλές φορές αυτά που λέω ενοχλούν μερικούς ανθρώπους. Εγώ τα λέω επειδή έτσι τα σκέφτομαι, όπως πρέπει να τα πω. Δεν ψάχνω να βρω μια θεσούλα. Τα λέω όπως το αισθάνομαι. Αυθόρμητα».

Εκεί προς το τέλος, έτσι για το αστείο της υπόθεσης, να ελαφρύνω την ατμόσφαιρα, τον ρώτησα:

-Για να το καταλάβω, το τσιπάκι στον εγκέφαλο θα βελτιώνει αυτομάτως τις σεξουαλικές επιδόσεις;
«Μα το είπαμε αυτό… (γέλια) Θυμάμαι πάντως, όταν παλιά είχα πει σε μια γραμματέα μου, έτσι για πλάκα, “short and thick does the trick” (το κοντό και χοντρό τα καταφέρνει), εκείνη με ρώτησε: “Why not long and thick?”, γιατί όχι το μακρύ και χοντρό;».

Το ρολόι έδειχνε αργά, σηκώθηκε, χαμογέλασε και έφυγε. Με τέτοια πλάσματα, έστω για μία ώρα, ταξιδεύεις μακριά. Φεύγεις. Λυτρωμένος. Προσωρινά. Αγαπητέ κύριε Νανόπουλε, πάντα καλά και πάντα μπροστά!

Πηγή

η ρωσική εμπειρία

Το βιβλίο αυτό δεν είναι διδακτικό εγχειρίδιο. Δεν είναι ένα βοήθημα για μαθηματικούς διαγωνισμούς. Δεν είναι ένα σύνολο από μαθήματα για διδασκαλία στην τάξη. Δεν παρουσιάζει μια σειρά από εργασίες για μαθητές, ούτε προσφέρει μια ανάπτυξη κάποιων μαθηματικών πεδίων για αυτο­μελέτη.
Τι είδους βιβλίο είναι αυτό;
Είναι ένα βιβλίο που έχει γραφτεί στο πλαίσιο μιας σημαντικής άτυπης εκπαιδευτικής παράδοσης της πρώην Σοβιετικής Ένωσης, η οποία ενθάρρυνε τη δημιουργία ομάδων μαθητών, δασκάλων και μαθηματικών, που ονομάζονταν «μαθηματικοί κύκλοι». Η βασική αντίληψη που το διέπει είναι ότι η μελέτη των μαθηματικών μπορεί να γεννήσει τον ίδιο ενθουσιασμό που προκαλεί και ένα ομαδικό άθλημα – χωρίς να είναι απαραίτητα ανταγωνιστική. Το βιβλίο απευθύνεται σε μαθητές και δασκάλους που αγαπούν τα μαθηματικά και θέλουν να μελετήσουν τους διάφορους κλάδους τους πέρα από τα στενά όρια του σχολικού προγράμματος. Είναι επίσης ένα βιβλίο ψυχαγωγικών μαθηματικών και, ταυτόχρονα, ένα έργο που περιέχει έναν τεράστιο πλούτο θεωρητικής ύλης και προβλημάτων σε βασικούς τομείς «εξωσχολικών μαθηματικών». Το βιβλίο βασίζεται στη μοναδική εμπειρία που έχουν αποκομίσει πολλές γενιές Ρώσων εκπαιδευτών και πανεπιστημιακών δασκάλων.

Υπάρχουν πολλά που μπορούν να ανακαλύψουν, να μάθουν και να απολαύσουν σε αυτό το έργο τόσο οι μαθητές όσο και οι δάσκαλοι… Οι ερασιτέχνες λάτρεις των μαθηματικών επίσης θα γοητευτούν από αυτό… Σε όλα τα κεφάλαια, η παρουσίαση και το ύφος γραφής είναι εξαίσια ελκυστικά και «ανάλαφρα», ακόμα κι όταν εξετάζονται πιο δύσκολα αντικείμενα. Σίγουρα έχει θέση σε κάθε σχολική και προσωπική βιβλιοθήκη. – Mathematical Reviews

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Πρόλογος στην ελληνική έκδοση vii
Πρόλογος xi
Πρόλογος στη ρωσική έκδοση xiii
Κεφάλαιο 0: Κεφάλαιο 0 1
Κεφάλαιο 1: Ισοτιμία 5
Κεφάλαιο 2: Συνδυαστική-1 11
Κεφάλαιο 3: Διαιρετότητα και υπόλοιπα 22
Κεφάλαιο 4: Η Αρχή του Περιστερώνα 37
Κεφάλαιο 5: Γραφήματα-1 46
Κεφάλαιο 6: Η τριγωνική ανισότητα 59
Κεφάλαιο 7: Παίγνια 66
Κεφάλαιο 8: Προβλήματα για τον πρώτο χρόνο 77
Κεφάλαιο 9: Επαγωγή 92
Κεφάλαιο 10: Διαιρετότητα-2: Ισοϋπολοιπικές σχέσεις
και διοφαντικές εξισώσεις 117
Κεφάλαιο 11: Συνδυαστική-2 133
Κεφάλαιο 12: Αναλλοίωτες ποσότητες 153
Κεφάλαιο 13: Γραφήματα-2 167
Κεφάλαιο 14: Γεωμετρία 188
Κεφάλαιο 15: Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 205
Κεφάλαιο 16: Ανισότητες 216
Κεφάλαιο 17: Προβλήματα για τον δεύτερο χρόνο 231
Παράρτημα Α: Μαθηματικοί διαγωνισμοί 252
Παράρτημα Β: Απαντήσεις, υποδείξεις, λύσεις 265
Παράρτημα Γ: Παραπομπές 343

Ακολουθεί ένα απόσπασμα από τον πρόλογο στην ελληνική έκδοση του Γιώργου Λ. Ευαγγελόπουλου:

Το παρόν κείμενο έρχεται να προσθέσει κάποιες σκέψεις στα δύο πολύ ενδιαφέροντα κείμενα που ακολουθούν, δηλαδή στον «Πρόλογο στη ρωσική έκδοση» και τον «Πρόλογο» (στην αμερικανική έκδοση) που έγραψε ο Mark Saul, τα οποία συνιστούμε θερμά στον αναγνώστη να διαβάσει με προσοχή.
Διότι μόνον έτσι θα καταλάβει πώς προέκυψε ο θεσμός των «Μαθηματικών Κύκλων» μέσα από μια συγκεκριμένη εκπαιδευτική λογική για τη μαθηματική παιδεία στην τότε ΕΣΣΔ. Αλλά και γιατί η American Mathematical Society (AMS), επιλέγοντας να εκδώσει αυτό το βιβλίο στα αγγλικά, το μακρινό 1996, ξεκίνησε ένα πείραμα που αφορούσε τη «μετεμφύτευση» στην αμερικανική μαθηματική κουλτούρα ενός θεσμού που προερχόταν από μια άλλη μαθηματική παράδοση. Ενός θεσμού του οποίου η λειτουργία στην Αμερική «υποστηρίχθηκε», στην αρχή, κυρίως από Ρώσους και Ανατολικοευρωπαίους (π.χ. Ούγγρους και Ρουμάνους) μαθηματικούς οι οποίοι μετά το τέλος του Ψυχρού Πολέμου μετακινήθηκαν στις ΗΠΑ και δίδαξαν σε αμερικανικά πανεπιστήμια, αλλά και από κάποιους Αμερικανούς εκπαιδευτικούς που είχαν πρωτοποριακές αντιλήψεις για το είδος και τους σκοπούς της μαθηματικής παιδείας στην πατρίδα τους –η οποία είναι σήμερα ηγέτιδα δύναμη στην επιστημονική και τεχνολογική ανάπτυξη παγκοσμίως–, οπότε είδαν το όλο θέμα με εξαιρετικό ενδιαφέρον. Περίπου 30 χρόνια μετά την έκδοση του ανά χείρας βιβλίου στα αγγλικά, στις ΗΠΑ ο θεσμός των «Μαθηματικών Κύκλων» έχει γνωρίσει εντυπωσιακή ανάπτυξη. Αν ρίξει κανείς, π.χ., μια ματιά στα βιβλία της σειράς «MSRI Mathematical Circles» της AMS, θα διαπιστώσει ότι αρκετά από αυτά δεν αποτελούν μεταφράσεις από τα ρωσικά αλλά έχουν γραφεί απευθείας στα αγγλικά και περιλαμβάνουν εξαιρετικής ποιότητας μαθηματική ύλη που αποτέλεσε αντικείμενο διδασκαλίας σε «Μαθηματικούς Κύκλους» σε διάφορα μέρη των ΗΠΑ. Ανάμεσα σε αυτά είναι και το δίτομο έργο των Zvezdelina Stankova και Tom Rike (επιμ.), A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience, Volume I (AMS, 2008) και A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience, Volume IΙ (AMS, 2014), γεγονός που δεν εκπλήσσει αφού ο θεσμός των «Μαθηματικών Κύκλων» γνωρίζει ιδιαίτερη άνθηση στην Καλιφόρνια. Από πλευράς μου θα ήθελα να προσθέσω, στη συνέχεια, δύο παραμέτρους που θεωρώ κρίσιμες για την κατανόηση του τρόπου λειτουργίας αυτού του θεσμού, οπότε και για την αξία του παρόντος βιβλίου.
Πρώτον, στους «Μαθηματικούς Κύκλους» στην τότε ΕΣΣΔ δεν είχαν πρόσβαση μόνον οι ταλαντούχοι στα Μαθηματικά μαθητές αλλά, αντιθέτως, είχε πρόσβαση όποιος το επιθυμούσε. Οι ταλαντούχοι «προέκυπταν» στην πορεία, μέσα από τη μαθηματική εκπαίδευση που έπαιρναν όσες και όσοι ήθελαν, χάρη στις διαλέξεις, τους μαθηματικούς διαγωνισμούς και τις συζητήσεις που διοργανώνονταν στο πλαίσιο των «Μαθηματικών Κύκλων». Όπως τονίζει ο André Toom στη βιβλιοκρισία που έγραψε για το ανά χείρας βιβλίο και δημοσιεύθηκε στο ακαδημαϊκό περιοδικό The American Mathematical Monthly (1997, τεύχος 104:5, σελ. 468­471), στους ρωσικούς «Μαθηματικούς Κύκλους» δεν γινόταν κάποιο είδος επιλογής –και αυτή είναι η ειδοποιός διαφορά με τους «Μαθηματικούς Κύκλους» που διοργανώνονται σήμερα στις ΗΠΑ–, καθώς μπορούσε να συμμετάσχει σε αυτούς ο καθένας. Και συνεχίζει ως εξής: «Έτσι έκανα ο ίδιος σαράντα χρόνια πριν. Απλώς, πήρα το τρόλεϋ, πήγα στην παλαιά πανεπιστημιούπολη στο κέντρο της Μόσχας και άρχισα να παρακολουθώ ‘ανεπίσημες’ τάξεις στις οποίες δίδασκαν φοιτητές του Πανεπιστημίου της Μόσχας. Δεν υπέβαλα ‘επίσημη’ αίτηση, δεν πλήρωσα δίδακτρα, δεν βαθμολογήθηκα, όμως εκεί έγινα επαγγελματίας μαθηματικός» (ό.π., σελ. 468­469).
Η πρώτη αυτή παράμετρος, την οποία μόλις επεσήμανα, έχει τη σημασία της για την ύλη του παρόντος βιβλίου. Το βιβλίο αποτελεί μια εξαιρετική συλλογή προβλημάτων αλλά ταυτόχρονα περιέχει και σημαντικές «οδηγίες» για όσους θα τα διδάξουν. Κανονικά, οι «Μαθηματικοί Κύκλοι» που έχετε μπροστά σας απευθύνονται σε μαθητές ηλικίας 12­14 ετών, όμως, όπως παρατηρεί και ο André Toom (σελ. 470), το βιβλίο μπορεί να διαβαστεί από αναγνώστες οποιασδήποτε ηλικίας. Σκοπός του είναι να πάρει τον αναγνώστη από το χέρι και, μέσα από μια σειρά προβλημάτων, που ξεκινούν από απλούς γρίφους και φτάνουν μέχρι πολύ δύσκολα μαθηματικά προβλήματα, να τους μάθει πριν απ’ όλα να σκέπτονται «αυτονόμως» και δημιουργικά, δηλαδή να χρησιμοποιούν τις θεωρητικές τους γνώσεις για να προσπαθήσουν να λύσουν προβλήματα «μη καθιερωμένου τύπου» ή αλλιώς «μη τετριμμένα προβλήματα» (συνήθως προβλήματα «Μαθηματικών Ολυμπιάδων» και λοιπών μαθηματικών διαγωνισμών, γραπτών ή προφορικών).
Είναι χαρακτηριστική η διαφωνία του Toom ακόμα και με τους συγγραφείς του βιβλίου, οι οποίοι θεωρούν ότι το αρχικό κεφάλαιο, δηλαδή το «Κεφάλαιο 0», που περιλαμβάνει προβλήματα τα οποία απευθύνονται σε μαθητές 10-­11 ετών, δεν έχει κατ’ ουσία μαθηματικό περιεχόμενο. Χαρακτηρίζει αφελή αυτόν τον ισχυρισμό, καθώς πιστεύει ότι η επίλυση των προβλημάτων αυτού του κεφαλαίου «προϋποθέτει την πιο θεμελιώδη ικανότητα, την ικανότητα για αφαιρετική σκέψη» (ό.π., σελ. 471).
Μάλιστα, δίνει ως παράδειγμα το πρώτο πρόβλημα του «Κεφαλαίου 0», το οποίο έχει ως εξής: «Ένας αριθμός βακτηρίων τοποθετούνται σε έναν δοκιμαστικό σωλήνα. Ένα δευτερόλεπτο αργότερα το κάθε βακτήριο διαιρείται σε δύο βακτήρια, στο επόμενο δευτερόλεπτο καθένα από τα βακτήρια που έχουν προκύψει διαιρείται και πάλι σε δύο, κ.λπ. Μετά από ένα λεπτό, ο σωλήνας έχει γεμίσει. Πότε ήταν ακριβώς μισογεμάτος;».
Η απάντηση έχει ως εξής: Αν σκεφτούμε αντίστροφα, καταλαβαίνουμε ότι, αν ο σωλήνας είναι γεμάτος μετά από 60 δευτερόλεπτα, θα πρέπει να είναι μισογεμάτος ένα δευτερόλεπτο νωρίτερα. Δηλαδή, μετά από 59 δευτερόλεπτα.
Εντούτοις, όπως σημειώνει ο Toom στη βιβλιοκρισία του, ορισμένοι μαθητές απαντούν ότι μισογεμάτος θα είναι ο σωλήνας μετά από μισό λεπτό, εκλαμβάνοντας, συνειδητά η ασύνειδα, την αύξηση ως γραμμική. Κι όμως, λέει ο Toom, αυτό το πρόβλημα δείχνει πόσο πολύ διαφέρει η εκθετική αύξηση από τη γραμμική.
Αναφερόμενος, τώρα, στη δομή που έχουν οι ενότητες των προβλημάτων και στον τρόπο που πρέπει ο διδάσκων να χρησιμοποιεί τα προβλήματα για να μεγιστοποιεί την αποτελεσματικότητα της διδασκαλίας του, ο Toom εφιστά την προσοχή μας σε μια πολύ σημαντική, κατά την άποψή του, έννοια, την οποία αποκαλεί «μεταφορά της εξάσκησης» (transfer of training): «Ας φανταστούμε το σύνολο όλων των πιθανών προβλημάτων ενός κλάδου των Μαθηματικών ως έναν μετρικό χώρο. Κάθε χωριστό πρόβλημα είναι ένα σημείο αυτού του χώρου και όμοια προβλήματα βρίσκονται κοντά το ένα στο άλλο. Συζητώντας ένα πρόβλημα με τους μαθητές μας, καλύπτουμε μια σφαίρα στης οποίας το κέντρο βρίσκεται το πρόβλημα, ενώ η ακτίνα της ισούται με την ικανότητα των μαθητών μας να μεταφέρουν την εξάσκησή τους από αυτό το πρόβλημα σε όμοια προβλήματα. Ο σκοπός μας είναι να καλύψουμε τον μέγιστο δυνατό χώρο με αυτές τις σφαίρες. Είναι η μεταφορά της εξάσκησης δυνατή; Για τους συγγραφείς των Κύκλων, για μένα, και για όλους όσοι έχουμε διδάξει με αυτό τον τρόπο, η απάντηση είναι προφανής: “Ναι, φυσικά, η μεταφορά της εξάσκησης είναι δυνατή και συνδέεται στενά με μια άλλη πολύτιμη ανθρώπινη ικανότητα, τη γενίκευση”» (ό.π., σελ. 469). Σε αυτή την παράγραφο συμπυκνώνεται
παραστατικά και μάλλον πλήρως η όλη λογική του τρόπου διδασκαλίας των προβλημάτων στο πλαίσιο των «Μαθηματικών Κύκλων». (…)

Διαβάστε εδώ ένα ενδεικτικό κεφάλαιο του βιβλίου

Πηγή

Η ανακάλυψη το 1956 από τον John Milnor των εξωτικών λείων υπερ-σφαιρών σε χώρο επτά διαστάσεων ήταν εντελώς απροσδόκητη. Σηματοδότησε την εμφάνιση της διαφορικής τοπολογίας και την έκρηξη εμπνεύσεων μιας γενιάς λαμπρών μαθηματικών. Αυτή η έκρηξη κράτησε δεκαετίες και άλλαξε το τοπίο των μαθηματικών.
Τι είναι οι εξωτικές σφαίρες και γιατί δεν υπάρχουν στον τετραδιάστατο χώρο; Αυτό μας εξηγεί το βίντεο του Numberphile ακολουθεί:

«(…) Είχα μάθει να υπολογίζω ολοκληρώματα με διάφορες μεθόδους από ένα βιβλίο το οποίο μου είχε δώσει κάποιος καθηγητής φυσικής στο λύκειο, ο κύριος Bader. Θυμάμαι ότι εκείνη τη φορά μου ζήτησε να παραμείνω στην τάξη μετά το μάθημα: «Feynamn, μιλάς πολύ και κάνεις φασαρία. Ξέρω γιατί. Πλήττεις! Γι’ αυτό θα σου δώσω ένα βιβλίο. Θα κάθεσαι εκεί πίσω στη γωνία και θα το μελετάς. Μόνο όταν θα έχεις μάθει όλα όσα λέει θα ξαναμιλήσεις».
Έτσι, σε κάθε μάθημα φυσικής δεν έδινα σημασία στο νόμο του Pascal ή σε οτιδήποτε άλλο έλεγαν, αλλά καθόμουν και διάβαζα τον απειροστικό λογισμό του Woods⁽¹⁾. O καθηγητής μου ήξερε ότι ήδη είχα διαβάσει τον Απειροστικό λογισμό για τον πρακτικό άνθρωπο, και έτσι μου έδωσε το κολεγιακού επιπέδου βιβλίο. Περιείχε τις σειρές Fourier, τις συναρτήσεις Bessel, ορίζουσες, ελλειπτικές συναρτήσεις – όλα εκείνα τα πράγματα που αγνοούσα.
Το βιβλίο αυτό εξηγούσε επίσης πως να παραγωγίζεις παραμετρικά μέσα από ολοκλήρωμα – μια μέθοδος η οποία μάλλον δεν διδάσκεται πολύ στα πανεπιστήμια. Εγώ όμως έμαθα να τη χρησιμοποιώ, και μάλιστα μου έγινε απαραίτητο εργαλείο. Ως αυτοδίδακτος λοιπόν μαθηματικός, χάρη σε εκείνο το βιβλίο έμαθα να ακολουθώ δικές μου μεθόδους ολοκλήρωσης.
Αργότερα στο ΜΙΤ και στο Πρίνστον, όταν οι συνάδελφοί μου δυσκολεύονταν να βρουν ένα ολοκλήρωμα ήμουν σίγουρος ότι αυτό δεν μπορούσε να υπολογιστεί με τις μεθόδους που είχαν διδαχτεί. Διότι, αν χρειάζονταν επικαμπύλια ολοκλήρωση, θα το είχαν καταλάβει. Αν χρειάζονταν ανάπτυγμα σε σειρά, πάλι θα το είχαν καταλάβει. Έτσι, λοιπόν, όταν μου ζητούσαν να τους βοηθήσω, ξεκινούσα την παραγώγιση μέσα στο ολοκλήρωμα, και συνήθως τα κατάφερνα. Τελικά απέκτησα τη φήμη ότι ήμουν άπιαστος στο να υπολογίζω ολοκληρώματα. Στην πραγματικότητα, αυτό οφειλόταν στο ότι διέθετα μια εργαλειοθήκη διαφορετική από όλους τους άλλους, και όσοι αντιμετώπιζαν προβλήματα έρχονταν σε μένα όταν η δική τους είχε αποτύχει.»
(Richard P. Feynman. «Σίγουρα θα αστειεύεστε κύριε Feynman», μετάφραση και επιστημονική επιμέλεια Ευάγγελος Βιτωράτος, εκδόσεις κάτοπτρο)
⁽¹⁾ μπορείτε να κατεβάσετε τον απειροστικό λογισμό του Woods πατώντας ΕΔΩ: Advanced Calculus, Frederick S. Woods

H μέθοδος Feynman μπορεί να εφαρμοστεί για παράδειγμα στο παρακάτω ολοκλήρωμα που είδαμε στο twitter(!):

Δεδομένου ότι  αλλαγή μεταβλητής  μάλλον περιπλέκει περισσότερο τα πράγματα … ας θεωρήσουμε το ολοκλήρωμα: 
Παραγωγίζουμε ως προς :
 

Βλέπουμε ότι το ολοκλήρωμα Ι(α) είναι ανεξάρτητο από την τιμή της παραμέτρου α! Αν επιλέξουμε την τιμή α=0 προκύπτει ότι: , κάθε τιμή του α! Επομένως για α=1 παίρνουμε την τιμή του αρχικού ολοκληρώματος:

.

διαβάστε επίσης:
1. Advanced Calculus, Frederick S. Woods, σελ.143
2. Leibniz Integral Rule
3. Richard Feynman’s Integral Trick